初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数精品教案设计

这是一份初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数精品教案设计，共15页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，课件1展示，师生活动，复习提问，课件2展示，共同总结等内容，欢迎下载使用。

26.1.2 反比例函数的图象和性质
课时1 反比例函数的图象和性质
【知识与技能】
1.能用描点法画出反比例函数y=的图象.
2.能根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质,并能灵活运用解决函数问题.
3.理解反比例函数中比例系数k(k≠0)的几何意义.
4.初步建立反比例函数解析式与图象之间的关系.
【过程与方法】
1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.
3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.
【情感态度与价值观】
1.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中,进一步理解变量和常量间的辨证关系,培养严谨的科学态度,感受数学美,并发现学习的乐趣.

用描点法画反比例函数的图象，探索反比例函数的图象特点和性质.

探究反比例函数的图象特点和性质的过程及比例系数的几何意义.

多媒体课件.

导入一:
【课件1展示】
校园内有一块矩形草坪的面积为200 m2,它的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间满足的函数关系是什么?当它的长y(单位:m)增加时,它的宽x(单位:m)将怎样变化?
【师生活动】 学生思考回答,并观察该反比例函数中y随x的增大而减小,教师引出课题.
[设计意图] 由生活实际情景导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,同时通过观察,思考问题中长y与宽x之间的关系,很自然地由实际问题抽象出本课时学习重点之一的反比例函数图象的增减性.
导入二:
【复习提问】
(1)以前学习一次函数、二次函数时,是用什么思路和方法研究的?
(先根据函数解析式画出函数的图象,然后观察、分析、归纳得到函数的性质)
(2)一次函数、二次函数的图象分别是什么?
(直线、抛物线)
(3)请你说出一次函数、二次函数的性质是什么.
(一次函数增减性、图象所经过象限；二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等)
(4)画函数图象的基本步骤是什么?
(列表、描点、连线)
【导入语】 我们可以类比研究一次函数、二次函数的性质的方法来研究反比例函数的性质,如果可以,应先研究什么?
[设计意图] 通过复习画函数图象的基本步骤,为本节课的学习做好铺垫,复习通过画函数图象来研究一次函数、二次函数的性质的方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度.

[过渡语] 这节课我们通过画反比例函数的图象来研究它的一般性质.
一、描点法画反比例函数图象
画函数y=与y=的图象.
思路一
教师引导,师生共同完成,同时展示画图象的过程.
(1)自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么?
(2)画函数图象时取哪些x的值列表,使函数图象完整、准确?
(师生共同完成列表)
(3)在平面直角坐标系中描点.
(4)如何用平滑的曲线连接各点?
(5)从左到右连线时,图象与x轴、y轴有没有交点?为什么?
教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接,由自变量、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴没有交点,故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同,坐标轴把图象分成两部分.
[设计意图] 通过师生合作,经历用描点法画函数图象的过程,培养学生动手操作能力,理解描点法画函数图象的本质,经历知识的形成,进一步体会数形结合思想,通过课件展示画图的过程,直观形象,学生既感兴趣又记忆深刻.
思路二
【任务】 同桌合作,每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象.
【师生活动】 学生独立完成列表、描点、连线,画图后,小组合作交流,发现组内成员的画图错误,并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整画图过程后展示典型画图错误.
【课件2展示】
(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
(教师强调:列表时取值不能太少,也不能只取正值)
(2)描点.(教师强调:描点时横、纵坐标易混淆)
(3)连线.(教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量x不等于0,所以画函数图象时,不能将左右两个图象连接起来)
[设计意图] 通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图象的过程,进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤,培养学生动手操作能力,经历知识的形成过程.通过小组合作交流,培养学生合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程,加深了学生对画函数图象的理解和认识.
二、反比例函数y=(k>0)的性质
[过渡语] 通过函数图象可以得到函数的有关性质,让我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧!
思路一
如图，观察函数图象,学生在教师的引导下思考回答:
(1)你能描述反比例函数图象的形状吗?
(教师给出双曲线的定义)
(2)反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?与函数解析式之间有什么关系?
(因为自变量x、函数值y不能等于0,所以函数图象与x轴、y轴没有交点)
(3)函数图象在哪个象限内?该图象关于原点O对称吗?
(在第一、第三象限,关于原点O对称)
(4)观察函数图象,当x<0时,随着x的增大,y如何变化?当x>0时呢?你能根据函数解析式说明理由吗?
(当x<0时,随着x的增大,y减小；当x>0时,随着x的增大,y也减小)
(5)对于反比例函数y=(m>0),以上结论还成立吗?
【师生活动】 学生在教师设计的问题下边思考边回答,教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思考解决问题,对回答有困难的问题,教师要给学生足够的时间思考、交流.
[设计意图] 将探究函数的性质设计成问题的形式,使学生在探究过程中有方向和目的,降低学习新知识的难度,同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法.
【共同总结(课件3展示)】
(1)反比例函数y=(k>0)的图象是双曲线；
(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限；
(3)在每个象限内,y随着x的增大而减小；
(4)两支双曲线向两边无限延伸,与坐标轴没有交点；
(5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.
思路二
类比以前研究的一次函数、二次函数的性质的方法,根据所列表格、函数解析式、所画函数图象,你能得到哪些结论?看看哪个小组得到的正确结论最多.
【师生活动】 学生观察函数图象后先独立思考,再小组合作交流,然后学生展示,教师在巡视过程中及时帮助有困难的学生,发现学生思考片面时,可以及时提醒学生从图象形状、增减性、对称性等多个角度观察思考,学生展示后,教师点评,师生共同归纳函数的性质.
【共同总结】 (板书)
(1)反比例函数y=(k>0)的图象是双曲线；
(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限；
(3)在每个象限内,y随着x的增大而减小；
(4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点；
(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.
[设计意图] 通过小组合作交流,归纳反比例函数的性质,学生之间的合作交流,培养了学生合作精神,同时提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结,让学生体会数学中重要的学习方法——类比法,同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.
三、反比例函数y=(k<0)的图象与性质
【导入语】 回顾以上探究过程,你能用同样的方法探究函数y=(k<0)的图象与性质吗?
【师生活动】 学生在刚才的平面直角坐标系中画函数y=-与y=-的图象.观察函数图象,小组合作交流,归纳反比例函数y=(k<0)的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生,引导学生归纳反比例函数的性质.
【共同归纳】 (1)反比例函数y=(k<0)的图象是双曲线；
(2)双曲线的两支分别位于第二、第四象限；
(3)在每个象限内,y随着x的增大而增大；
(4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点；
(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.
四、归纳反比例函数y=(k≠0)的图象与性质
【课件4展示】
一般地,反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线,它具有以下性质:
(1)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小；
(2)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大；
(3)反比例函数图象向两边无限延伸,与两坐标轴没有交点,两支双曲线关于原点成中心对称.
【追加思考】
(1)反比例函数图象的位置及函数的增减性是由谁决定的?
(2)反比例函数的性质“在每个象限内,y随x的增大而减小”中,可不可以去掉“在每个象限内”?为什么?
[设计意图] 通过归纳反比例函数的性质,培养学生的归纳总结能力,追加问题的思考,强化学生对性质的理解和掌握,并强化应用性质时的易错点.
五、例题讲解
反比例函数y=的图象大致是 ( )
〔解析〕 (1)反比例函数解析式y=(k≠0)中,哪个量决定函数图象的位置?(比例系数k决定函数图象的位置)(2)已知函数y=中,用哪个代数式表示比例系数k?(k2+1表示比例系数k,决定函数图象的位置)(3)你能判断k2+1的正负吗?(因为k2≥0,所以k2+1>0)(4)你能确定函数图象的位置吗?(由k2+1>0得函数图象在第一、三象限) (5)自变量x的取值范围是什么?(自变量x的取值范围是x≠0)故选D.
若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函数y=的图象上,则下列结论中正确的是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
〔解析〕 (1)已知三点的横、纵坐标分别是什么?(2)函数值y1,y2,y3与已知点的横坐标有什么关系?(点的横坐标和纵坐标满足函数解析式)(3)已知函数解析式和自变量的值,怎样求出对应的函数值?(把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求出y1,y2,y3的值吗?三者的大小关系是什么?(把x1=-2,x2=-1,x3=1分别代入函数解析式求出y1,y2,y3)(5)反比例函数y=的图象及增减性是怎样的?(反比例函数的图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断y1,y2,y3的大小关系吗?(第三象限图象上的点的纵坐标小于0,且y随x的增大而减小；第一象限图象上的点的纵坐标大于0)
【师生活动】 学生独立思考,并回答问题,教师及时点评,然后归纳两种比较函数值大小的方法.
解法1:把三个点的横坐标分别代入y=,得y1=-,y2=-1,y3=1,∴y3>y1>y2.故选C.
解法2:可以看出点(-2,y1),(-1,y2)在同一象限,∵k=1>0,∴在每个象限内,y随x的增大而减小.∵-2<
-1<0,∴y20,∴y3>0,∴y3>y1>y2.故选C.
[设计意图] 通过例题加深学生对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,体会运用数形结合思想解决函数问题的方法和技巧,提高学生分析问题、解决问题的能力.例2中用不同思路解决问题,培养学生多角度思考问题的能力.
[知识拓展] (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的.
(2)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限.
(3)反比例函数y=(k≠0)的图象的两个分支关于原点成中心对称.
(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点,双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交,这是因为x≠0,y≠0.
(5)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的,反过来,由双曲线的位置或函数的增减性可以判断k的符号.
(6)反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”,当k>0时,在每一个象限内,y随着x的增大而减小,但不能笼统地说:当k>0时,y随着x的增大而减小.同样,当k<0时,在每一个象限内,y随着x的增大而增大,也不能笼统地说:当k<0时,y随着x的增大而增大.

正比例函数与反比例函数的区别与联系.

第1课时
1.描点法画反比例函数图象
2.反比例函数y=(k>0)的性质
3.反比例函数y=(k<0)的图象与性质
4.归纳反比例函数y=(k≠0)的图象与性质
5.例题讲解
例1
例2

一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列四个点,在反比例函数y=-的图象上的是 ( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,3) D.(-2,-3)
2.若反比例函数y=的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在 ( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、三象限 D.第二、四象限
3.已知反比例函数y=,下列结论不正确的是( )
A.图象必经过点(1,2)
B.y随x的增大而减小
C.图象在第一、三象限
D.若x>1,则04.如图是反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象,则一次函数y=kx-k的图象大致是 ( )
5.若点P(-1,2)在反比例函数y=的图象上,则k= .
6.已知反比例函数y=(k是常数,k≠0),在其图象所在的每一个象限内,y的值随着x的值的增大而增大,那么这个反比例函数的解析式是 .(只需写一个)
7.已知y=(m+1)是反比例函数,若其图象位于第二、四象限,则m的值是 .
8.若反比例函数y=(k<0)的图象过点P(2,m),Q(1,n),则m与n的大小关系是:m n.(填“>”“=”或“<”)
9.已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象都经过点A(a,2).
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)判断点B是否在该反比例函数的图象上,请说明理由.
【能力提升】
10.已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象相交,其中有一个交点的横坐标是2,则k的值是 .
11.如图,菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4),顶点A在x轴的正半轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过顶点B,则k的值为 .
12.已知反比例函数y=(m为常数)的图象在第一、三象限.
(1)求m的取值范围.
(2)如图,若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0),求函数解析式.
(3)若点E(x1,y1),F(x2,y2)都在该反比例函数的图象上,且x1>x2>0,则y1和y2有怎样的大小关系?
【拓展探究】
13.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数y=(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数y=(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.
【答案与解析】
1.A解析:根据点在图象上,点的坐标满足函数解析式,将各点坐标代入验算,满足y=-的点即为所求,易得点(3,-2)满足y=-.故选A.
2.D解析:把(2,-1)代入y=,得k=2×(-1)=-2,∵k=-2<0,∴反比例函数的图象在第二、四象限.故选D.
3.B解析:把(1,2)代入得:左边=右边,故A正确；当k=2>0时,图象在第一、三象限,在每个象限内,y 随x的增大而减小,故B错误,C正确；k=2>0,当x>1时,04.B解析:根据图象知,反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象位于第一、三象限,∴k>0,∴一次函数y=kx-k的图象与y轴的交点在y轴的负半轴,且该一次函数值y随x的增大而增大,∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限.故选B.
5.-2解析:把(-1,2)代入反比例函数解析式,得k=(-1)×2=-2.故填-2.
6.y=- （答案不唯一）解析:因为该图象在每一个象限内,y的值随着x的值的增大而增大,所以k<0,故答案中反比例函数解析式里只需k<0即可.
7.-2解析:由题意得m2-5=-1,解得m=±2,∵它的图象在第二、四象限,∴m+1<0,解得m<-1,∴m=-2.故填-2.
8.>解析:∵k<0,∴函数图象在每个象限内,y随x的增大而增大.∵2>1>0,∴m>n.
9.解:(1)将A(a,2)代入y=x+1中得2=a+1,解得a=1,即A(1,2).将A(1,2)代入反比例函数解析式中得k=2,则反比例函数的解析式为y=.
(2)将x=2代入反比例函数解析式,得y==,∴点B在反比例函数的图象上.
10.6解析:把x=2代入y=x+1,得y=2+1=3,所以该交点坐标为(2,3),把(2,3)代入反比例函数解析式,得k=2×3=6.故填6.
11.32解析:过C点作CD⊥x轴,垂足为D.∵点C的坐标为(3,4),∴OD=3,CD=4.由勾股定理可得OC=5,∴OC=BC=5,∴点B的坐标为(8,4).∵反比例函数y=(x>0)的图象经过顶点B,∴k=32.故填32.
12.解:(1)根据题意,得1-2m>0,解得m<.
(2)∵四边形ABOD为平行四边形,∴AD∥OB,AD=OB=2.∵A点的坐标为(0,3),∴D点的坐标为(2,3),∴1-2m=2×3=6,∴反比例函数的解析式为y=.
(3)∵x1>x2>0,∴E,F两点都在第一象限,即y随x的增大而减小,∴y113.解:(1)设直线DE的解析式为y=kx+b(k≠0).∵点D,E的坐标分别为(0,3),(6,0),
∴ 解得∴y=-x+3.∵点M在AB边上,B(4,2),而四边形OABC是矩形,∴点M的纵坐标为2.又∵点M在直线y=-x+3上,∴2=-x+3.∴x=2.∴M(2,2).
（2）∵y=(x>0)的图象经过点M(2,2),∴m=4.∴y=.又∵点N在BC边上,B(4,2),∴点N的横坐标为4.∵点N在直线y=-x+3上,∴y=1.∴N(4,1).∵在y=中,当x=4时,y=1,∴点N在函数y=的图象上.
(3)4≤m≤8.

本节课主要是在学生的动手操作、合作交流、共同归纳的过程中完成的.首先复习用描点法画函数图象的方法,既激发了学生学习的兴趣,又为学习新知做好铺垫.然后让学生自己经历画函数图象,并让学生从“形”直观观察性质.通过所画的几个函数图象,最终归纳y=(k≠0)的图象和性质.学生亲身经历由特殊到一般的知识的形成过程,体会了数形结合思想在数学中的应用,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,又让学生体验到学习中的快乐.实现学生自己动手、主动探索、合作交流学习方式的转变.
本节课的重点是学生经历画函数图象的过程,归纳总结函数y=(k≠0)的性质. 观察函数图象讨论性质时,应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,建立图象和表达式之间的联系,以达到学生对反比例函数性质的真正理解.这一部分内容的学习给学生思考讨论的时间较少,还是没有大胆放手,让学生更加自主地学习.
x
…
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
…
y=
…
-1
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1
…
y=
…
-2
-3
-4
-6
-12
12
6
4
3
2
…
函数
正比例函数
反比例函数
关系式
y=kx(k≠0)
y=(k≠0)
图象
过原点的直线
与坐标轴没有交点的双曲线
自变量的
取值范围
全体实数
x≠0的全体实数
图象位置
当k>0时,图象经过第一、第三象限
当k<0时,图象经过第二、第四象限
当k>0时,图象位于第一、第三象限
当k<0时,图象位于第二、第四象限
函数
正比例函数
续表
反比例函数
性质
当k>0时,y随x的增大而增大
当k<0时,y随x的增大而减小
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小
当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大