数学28.1 锐角三角函数优秀课件ppt

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1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点)2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点)
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
知识点1 已知直角三角形的边长求正弦值
从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”, 即可得 AB = 2BC =2×35=70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
Rt△ABC 中，如果∠C=90，∠ A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
解：因为∠A=45°，∠C=90°，所以AC=BC，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=2BC2，
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ，即
例如，当∠A＝30°时，我们有
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值.
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得
1. 如图，判断对错：
sinA =0.6 ( )
sinB =0.8 ( )
2. 在 △ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=3，则sinA 的值为( ) A. B. C. D.
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA，则 PA⊥OA .
在Rt△APO中，由勾股定理得
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
知识点2 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
∴ AB = 3BC =3×3=9.
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则 AB 的长为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA = ，AB=6， 那么BC=_____.
例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长．
解：由sinA= ，设BC=7x，则AB=25x.在 Rt△ABC中，由勾股定理得
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm).
已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定
2. 如图， 在△ABC中，∠B=90°，sinA的值为 ( )
A. B. C. D.
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
4. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 ⊙A 上， BD是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =______.
解析：连接 CD，可得出 ∠OBD = ∠OCD，根据点 D (0，3)，C(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OCD 即可．
5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求△ABC 的面积.
解：作BD⊥AC于点D， ∵ sinA = ，
又∵ AB=AC ，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6，∴S△ABC=AC×BD÷2=12.