初中数学6.2 立方根优秀学案设计

立方根

【知识导图】

要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

师：设这种包装箱的边长为x m，则

x3＝27

这就是要求一个数，使它的立方等于27.

∵33 ＝27，

∴x＝3.

即这种包装箱的边长为3 m.

立方根

1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根.记做：，读作，3次根号a. 注意：这里的3表示的是开根的次数. 一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略.

2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根.

开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．

正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，据此我们可以求一个数的立方根．

立方根的特点：

①　正数的立方根是正数．

②　负数的立方根是负数．

③　0的立方根是0.

求下列各式的值：

(1)；     (2)－；    (3).

【答案】

解：(1)＝4；

(2)－＝－；

(3)＝－.

【解析】根据立方根的定义解答．

下列说法中正确的是（    ）

A.-4没有立方根       B.1的立方根是±1

C.的立方根是      D.-5的立方根是

【答案】D.

【解析】任何数都有立方根,且一个数的立方根只有一个,据此可以排除A,B两个选项;由于的算术平方根是,故C选项也是错误的.

若，则      .

【答案】0.05

【解析】开立方时,被开方数的小数点移动三位,则结果的小数点向相同的方向移动一位.

已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.

【答案】 设第二个纸盒的棱长为,则可得,可得=7.

【解析】 根据两正方体体积之间的关系把问题转化成方程的问题来求解.

1.下列说法不正确的是（      ）

A.-1的立方根是-1          B.-1的平方是1

C.-1的平方根是-1          D.1的平方根是±1

2.若一个数的立方根是-3, 则该数为(    )

  A.-          B.-27         C.±         D.±27

3.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③15的立方根是；④任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有(    )

  A.1个              B.2个                C.3个                 D.4个

答案与解析

1.【答案】C.

【解析】负数没有平方根,所以本题答案是C.

2.【答案】B.

【解析】.

3.【答案】B.

【解析】①错,一个数的立方根只有一个, ④还有0,它既不是正数,也不是负数．

1.立方根等于本身的数为__________.

2.已知x是5的算术平方根，则x2-13的立方根是（    ）

A.-13       B.-13       C.2         D.-2

3.若m<0，则m的立方根是（    ）

A.  B.      C.±   D.

答案与解析

1.【答案】0,1或-1.

【解析】根据一个数的立方是它本身解答.

2.【答案】D.

【解析】由题意知x2=5,故x2-13=-8,-8的立方根是-2.

3.【答案】A.

【解析】负数的立方根是负数,任意一个数a的立方根都表示成,故本题答案是A.

1.已知,,则的值等于(    )

A．485.8        B．15360        C．0.01536       D．0.04858

2. 若有意义，则的值是(    )

A.0        B.        C.       D.

3.若与(b-27)2互为相反数，求-的立方根.

答案与解析

1.【答案】D．

【解析】 开平方时,被开方数的小数点移动两位,结果的小数点向相同的方向移动一位,故本题答案是D.

2.【答案】B.

【解析】由题意可得=0和,得x=,故=.

3.【答案】由题意知a=-8，b=27，

所以-=-5.

故-的立方根是.

掌握立方根的定义，会求立方根. 能区别平方根和立方根.

理解立方根的性质.

1.下列说法正确的是(    )

  A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数

  B.一个数的立方根比这个数平方根小

  C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根

  D.与互为相反数

2.计算的正确结果是(    )

  A.7            B.-7          C.±7         D.无意义

3.求下列各数的立方根：

  (1)0.216；           (2)0；              (3)-5.

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】一个数的立方根只有一个,0的平方根和立方根都是它本身.

2.【答案】B.

【解析】根据立方根的定义解答．

3.【答案】(1)∵0.63=0.216，

∴0.216的立方根是0.6，即=0.6；

          (2)∵03=0，

∴ 0的立方根是0，即=0；

(3)-5的立方根是.

【解析】根据立方根的性质解答．

1.若x<0，则=______,=______.

2.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍,我要进一步惩罚你们！”

如图所示,不妨设原祭坛边长为a,想一想：

  (1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？

  (2)要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍？

答案与解析

1.【答案】,．

【分析】的算术平方根有两个,分别是,,其中正的平方根是它的算术平方根,故其算术平方根是; 根据立方根的概念可以判断.

2.【答案】(1)8倍；   (2)倍.

【分析】根据正方体体积的计算公式,边长变为2倍,体积变为原来的8倍

1.如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？

2.请先观察下列等式：

，

=3，

=4，

…

  (1)请再举两个类似的例子；

  (2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式.

答案与解析

1.【答案】解:因为A点到MN的距离是≈93.3米小于噪声的影响范围100米. 有影响，学校受影响的时间为4秒.

2.【答案】(1)=5,  =6；

          (2)=n(n≠1,且n为整数).