2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十四(含答案)

这是一份2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十四(含答案)，共11页。试卷主要包含了5时“美点”的个数．，5+1，2，0），CE=1等内容，欢迎下载使用。
中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十四1.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．　     2.已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+0.5交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．      3.如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；（2）抛物线的解析式为______；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．       4.如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．(1)若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．      5.如图，平行四边形ABCD中，D点在抛物线y=0.125x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=0.75，M是抛物线与y轴的交点．（1）求直线AC和抛物线的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问：当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？（3）在（2）中当P运动到某处时，四边形PDCQ的面积最小，求此时△CMQ的面积．           6.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)经过点A(-1,0),B(5,﹣6)，C(6,0)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．         7.如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．（1）则D点的坐标是 （　　　　　，　　　　　），圆的半径为　　　　　　；（2）sin∠ACB=　　　　；经过C、A、B三点的抛物线的解析式　　　　       　　；（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与圆D相切；（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大值是多少，并求出N点坐标．        8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3)若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．        
0.答案解析1.解：（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）设直线MB的解析式为y=kx+n，则有解得∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6∵PQ⊥x轴，OQ=m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO•CO+（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）=×1×3+（﹣2m+6+3）•m=﹣m2+m+；（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形CM=，CN=，MN=①当CM=NC时，，解得x1=，x2=1（舍去）此时N（，）②当CM=MN时，，解得x1=1+，x2=1﹣（舍去），此时N（1+，4﹣）③当CN=MN时， =解得x=2，此时N（2，2）． 2.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴将点A和点B的坐标代入得：，解得a=﹣1，b=1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）直线y=mx+0.5交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m=0.5，∴直线AQ的解析式为y=0.5x+0.5．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，0.5 n+0.5），F（n，0），∴PN=﹣n2+n+2﹣（0.5n+0.5）=﹣n2+0.5n+1.5，NF=0.5n+0.5．∵PN=2NF，即﹣n2+0.5n+1.5=2×（0.5n+0.5），解得：n=﹣1或0.5．当n=﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．∴点P的坐标为（0.5，2.25）．（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣0.5）2+2.25，∴M（0.5，2.25）．如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．设直线AM的函数解析式为y=kx+b，且过A（﹣1，0），M（0.5，2.25）．根据题意得：-k+b=0,0.5k+b=2.25，解得k=1.5,b=1.5．∴直线AM的函数解析式为y=1.5+1.5．∵D为AC的中点，∴D（﹣0.5，1）．设直线AC的解析式为y=kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2=0，解得k=2，∴AC的解析式为y=2x+2．设直线DE的解析式为y=﹣0.5x+c，将点D的坐标代入得：0.25+c=1，解得c=0.75，∴直线DE的解析式为y=﹣0.5x+0.75．将y=﹣0.5x+0.75与y=1.5+1.5联立，解得：x=﹣3/8，y=15/16．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣3/8，15/16）．  3.解：（1）∵C（﹣1，0），AC=，∴OA=2，∴A（0，2）；       过点B作BF⊥x轴，垂足为F，   ∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，   在△AOC与△CFB中，∵，∴△AOC≌△CFB，   ∴CF=OA=2，BF=OC=1，∴OF=3，∴B的坐标为（﹣3，1），     故答案为：（0，2），（﹣3，1）；（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：1=9a﹣3a﹣2，解得a=0.5，     ∴抛物线解析式为：y=0.5x2+0.5x﹣2．故答案为：y=0.5x2+0.5x﹣2；（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（﹣0.5，﹣17、8），     设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：    ，解得．∴BD的关系式为y=﹣1.25x﹣2.75．    设直线BD和x 轴交点为E，则点E（﹣2.2，0），CE=1.2．   ∴S△DBC=××（1+）=；（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，   过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，∴△MP1C≌△FBC．   ∴CM=CF=2，P1M=BF=1，∴P1（1，﹣1）；②若以点A为直角顶点；  i）则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，  过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（2，1），ii）若以点P为直角顶点．过P3作P3G⊥y轴于G，同理，△AGP3≌△CAO，   ∴GP3=OA=2，AG=OC=1，∴P3为（﹣2，3）．   经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=0.5x2+0.5x﹣2上，   点P3（﹣2，3）不在抛物线上．故点P的坐标为P1（1，﹣1）与P2（2，1）．　4.解：(1)当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B (0，﹣b)，∵AB=8，而A(0，b)，∴b﹣(﹣b)=8，∴b=4．∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，当x=2吋，y=x﹣4=﹣2，∴L的对称轴与a的交点为(2，﹣2 )；(2)y=﹣(x﹣)2+，∴L的顶点C()∵点C在l下方，∴C与l的距离b﹣=﹣(b﹣2)2+1≤1，∴点C与1距离的最大值为1；(3)由題意得，即y1+y2=2y3，得b+x0﹣b=2(﹣x02+bx0)解得x0=0或x0=b﹣．但x0#0，取x0=b﹣，对于L，当y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x(x﹣b)，解得x1=0，x2=b，∵b＞0，∴右交点D(b，0)．∴点(x0，0)与点D间的距离b﹣(b﹣)=(4)①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x直线解析式a：y=x﹣2019联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间(包括﹣1和﹣2019)共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040(个)；②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个．故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．  5.解：（1）如图1，∵tan∠ACB=0.75，∴OA:OC=0.75，∴设AO=3x，CO=4x，∵OB=OC，∴BO=4x，∴AB2=AO2+BO2，则25=25x2，解得：x=1（负数舍去），∴AO=3，BO=CO=4，∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），∴设直线AC的解析式为：y=kx+d，则d=3,4k+d=0，解得：d=3,k=-0.75，故直线AC的解析式为：y=﹣0.75x+3；∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，∴D（8，3），∵B，D点都在抛物线y=0.125x2+bx+c上，∴解得：b=-0.25,c=-3，故此抛物线解析式为：y=0.125x2﹣0.25x﹣3；（2）①如图2，∵OA=3，OB=4，∴AC=5．设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴AP:AC=AQ:OC，即得：t=25/9．②如图3，设点P运动了t秒时，当QP⊥AD，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵QP⊥AD，∴∠APQ=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，∴△AQP∽△CAO，∴AQ:AC=AP:OC得：t=20/9．即当点P运动到距离A点25/9或20/9个单位长度处，△APQ是直角三角形；（3）如图4，∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=0.5×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：得：h=0.6（5﹣t），∴S△APQ=0.5t×0.6（5﹣t）=0.3（﹣t2+5t）=﹣0.3（t﹣2.5）2+15/8，∴当t=2.5时，S△APQ达到最大值15/8，此时S四边形PDCQ=12﹣15/8=81/8，故当点P运动到距离点A，2.5个单位处时，四边形PDCQ面积最小，则AQ=QC=2.5，故△CMQ的面积为：0.5S△AMC=0.5×0.5×4×6=6．  6.解：(1)设y=a(x+1)(x﹣6)(a≠0)，把B(5，﹣6)代入：a(5+1)(5﹣6)=﹣6，a=1，∴y=(x+1)(x﹣6)=x2﹣5x﹣6；(2)存在，如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，设P(m，m2﹣5m﹣6)，四边形PACB的面积为S，则PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC=(﹣m2+5m+6)(m+1)+(6﹣m2+5m+6)(5﹣m)+×1×6=﹣3m2+12m+36=﹣3(m﹣2)2+48，当m=2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，∴P(2，﹣12)，(3)这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，y=x2﹣5x﹣6=(x﹣)2﹣；因为Q3在对称轴上，所以设Q3(，y)，∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，由勾股定理得：(+1)2+y2=(﹣5)2+(y+6)2，y=﹣，∴Q3(，﹣)． 7. 8.解：(1)由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．(2)∵y=x2﹣x+2=(x﹣1)2+．∴顶点坐标(1，1.5)，∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H(1，3)，∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．(3)由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4(4﹣2b)=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，∴＜b≤3．