2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练6：与平行四边形相关的综合题（附答案）

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2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练6：与平行四边形相关的综合题（附答案）
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求D点的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，且以BO为边时，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．



2．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过的A、B，且12a+5c＝0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P由点A开始边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动．当一点到达终点时，另一点也停止运动．
①当移动开始后第t秒时，设S＝PQ2（cm），试写出s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
②当t取何值时，S取得最小值？此时在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．


3．在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝ax2+bx+c与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，tan∠ABO＝，B（1，0），点A横坐标为﹣2，BC＝4．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点 A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小，请求出点P的坐标；
（3）设二次函数y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与x轴的另一交点为点C，连接BC，点N是线段BC上一点，过点N作y轴的平行线交抛物线于点M，求当四边形OBMN为平行四边形时，点N的坐标．

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点D是抛物线上第一象限内的一动点，设点D的横坐标为m，连接CD，BD，BC，AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）如图2，若点N为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点G．点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．

7．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分别交x轴、AC于点E，F，点P是射线DE上一动点，过点P作AC的平行线MN交x轴于点H，交抛物线于点M，N（点M位于对称轴的左侧），设点P的纵坐标为t．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）当点P位于EF的中点时，求点M的坐标；
（3）①点P在线段DE上运动时，当＝2，求t的值；
②点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C，P，M，Q为顶点的四边形是平行四边形时，则此时t的值是　 　（请直接写出答案）．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．
（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．




10．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，点D与点B关于抛物线的对称轴对称，联结BC、BD．
（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；
（2）点E在线段BC上，当∠CED＝∠OBD时，求点E的坐标；
（3）点M在对称轴上，点N在抛物线上，当以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．




11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜2）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD的面积何时最大？求出此时D点的坐标和最大面积；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．




12．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于点A（﹣3，0），点B（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若A、O、M、N以为顶点的四边形是以OA为边的平行四边形，求点M的坐标．







13．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）顶点为D
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）点P在抛物线上，点Q在直线y＝x上，是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

14．综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．






15．如图①，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为（4，0），连结OG．抛物线y＝ax（x﹣2）+1+的顶点为P．

（1）直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴；
（2）连结OP，求当∠AOG＝2∠AOP时a的值．
（3）如图②，若抛物线开口向上，点C，D分别为抛物线和线段AB上的动点，以CD为底边构造顶角为120°的等腰三角形CDE（点C，D，E成逆时针顺序），连结GE．
①点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值；
②当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式．

参考答案
1．解：（1）在中，令y＝0得x＝4，令x＝0得y＝2，
∴A（4，0），B（0，2），
把A（4，0），B（0，2）代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过点B作BE∥x轴，交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F，

∵BE∥x轴，
∴∠BAC＝∠ABE，
∵∠ABD＝2∠BAC，
∴∠ABD＝2∠ABE，
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE，
∴∠DBE＝∠ABE，
∴∠DBE＝∠BAC，
设D点的坐标为（x，﹣x2+x+2），则BF＝x，DF＝﹣x2+x，
∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝，
∴，即＝，
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时，﹣x2+x+2＝3，
∴点D的坐标为（2，3）；
（3）

当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m，﹣m+2），F（m，﹣m2+m+2），
EF＝|（﹣m+2）﹣（﹣m2+m+2）|＝2，
解得m1＝2，m2＝2﹣2，m3＝2+2，
∴E点的坐标为（2，1）或（2﹣2，1+）或（2+2，1﹣）．
2．解：（1）据题意知：A（0，﹣2），B（2，﹣2），
∵A点在抛物线上，
∴c＝﹣2，
∵12a+5c＝0，
∴a＝，
由AB＝2知抛物线的对称轴为：x＝1，
即：﹣＝1，
∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）①由图象知：PB＝2﹣2t，BQ＝t，
∴S＝PQ2＝PB2+BQ2＝（2﹣2t）2+t2，
即S＝5t2﹣8t+4（0≤t≤1）；
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，
∵S＝5t2﹣8t+4（0≤t≤1），
∴S＝5（t﹣）2+（0≤t≤1），
∴当t＝时，S取得最小值；
这时PB＝2﹣＝0.4，BQ＝0.8，P（1.6，﹣2），Q（2，﹣1.2），
分情况讨论：
若PB与PQ为边，这时QR＝PB＝0.4，QR∥PB，则：R的坐标为（2.4，﹣1.2），
代入y＝x2﹣x﹣2，左右两边相等，
∴这时存在R（2.4，﹣1.2）满足题意；
若PB与QB为边，这时PR＝QB，PR＝QB＝0.8，则：R的坐标为（1.6，﹣1.2），
代入y＝x2﹣x﹣2，左右两边不相等，R不在抛物线上；
若PQ与QB为边，这时PR＝QB，PR∥QB，则：R的坐标为（1.6，﹣2.8），
代入y＝x2﹣x﹣2，左右不相等，R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（2.4，﹣1.2）满足题意．
3．解：（1）∵tan∠ABO＝，由直线的表达式知，a＝﹣，
故一次函数的表达式为y＝﹣x+；
当x＝﹣2时，y＝﹣x+＝2，故点A（﹣2，2），
∵点B（1，0），BC＝4，则点C（﹣3，0），则c＝﹣3，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx+c
将点A、B的坐标代入上式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，故抛物线的顶点坐标为：（﹣1，）；

（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD＝2，

由点A、C的坐标知，AC＝＝，
由翻折的性质可知AN＝AC＝，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN＝＝＝3，
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（0，2），故OD＝2，
∴ON＝2﹣3或ON＝2+3，
当ON＝2+3时，则MN＞OD＞CM，与MN＝CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，2﹣3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，

在Rt△AMD中，AD＝2，OD＝2，
∴tan∠DAM＝＝，
∴∠DAM＝60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC＝∠DAO＝60°，
又由折叠可知∠NMA＝∠AMC＝60°，
∴∠NMP＝60°，且MN＝CM＝3，
∴MP＝MN＝，NP＝MN＝，
∴此时N点坐标为（，）；
综上可知N点坐标为（0，2﹣3）或（，）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图3，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC∥EF且AC＝EF，
∴∠ACK＝∠EFH，
在△ACK和△EFH中，
，
∴△ACK≌△EFH（AAS），
∴FH＝CK＝1，HE＝AK＝2，
∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴F点的横坐标为0或﹣2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，
∴E到x轴的距离为EH﹣OF＝2﹣＝，即E点纵坐标为﹣，
∴E（﹣1，﹣）；
当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），
∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），
设E（﹣1，t），F（x，y），
则x﹣1＝2×（﹣2.5），y+t＝2，
∴x＝﹣4，y＝2﹣t，
代入直线AB解析式可得2﹣t＝﹣×（﹣4）+，解得t＝﹣，
∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．
4．解：（1）将点A、点B的坐标代入，
得，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x﹣5，
∴对称轴方程为：x＝2，
令y＝0，则x2﹣4x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
则抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（5，0），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入得：，
解得：，
即直线BC的解析式为：y＝x﹣5，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴点P的坐标为（2，﹣3）；
（3）如图，设点N（m，m﹣5），则M（m，m2﹣4m﹣5），
∵四边形OBMN为平行四边形，
∴MN＝OB＝5，
∴m﹣5﹣（m2﹣4m﹣5）＝5，
∴m2﹣5m+5＝0，
∴m1＝，m2＝，
∴点N坐标为（，）或（，）．

5．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，
把x＝0代入y＝﹣x2+x+2中，得：y＝2，
∴C点坐标是（0，2），
又∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵点D（m，﹣m2+m+2），
∴E（m，﹣m+2），

∴DE＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
由S△BCD＝2S△AOC得：×DE×OB＝2××OA×OC，
∴（﹣m2+2m）×3＝2××1×2，
整理得：m2﹣3m+2＝0
解得：m1＝1，m2＝2
∵0＜m＜3
∴m的值为1或2；
（3）存在，理由：
设：点M的坐标为：（x，y），y＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），
①当BC是平行四边形的边时，
当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），
故：x+3＝1，y﹣2＝s或x﹣3＝1，y+2＝s，
解得：x＝﹣2或4，
故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；
②当BC为对角线时，
由中点公式得：x+1＝3，y+s＝2，
解得：x＝2，故点M（2，2）；
综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，﹣）或（4，﹣）．
6．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2①；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点P（m，﹣m2+m+2），则点Q（m，﹣m+2），
过点Q作QH⊥y轴于点H，

由点B、C的坐标知，CO＝2，OB＝4，则tan∠CBO＝＝＝tan∠CQH，则sin∠CQH＝，
则CH＝CQsin∠CQH＝CQ＝CH＝yC﹣yH＝2﹣（﹣m+2）＝m，
则PQ+CQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）m＝﹣m2+m，
∵﹣＜0，故PQ+CQ有最大值，
当m＝3时，PQ+CQ最大值为，此时点P（3，）；

（3）将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，则向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
则抛物线的抛物线为y＝﹣（x+1）2+（x+1）+2+1＝﹣x2﹣x+3②；
联立①②并解得，故点G（1，），
设点N的坐标为（x，﹣x2﹣x+3），
①当CG是边时，
将点C向上平移个单位得到点G，则点N（M）向上平移个单位得到M（N），
即﹣x2﹣x+3±＝0，解得x＝﹣1±或1±2，
故点N的坐标为（﹣1+，）或（﹣1﹣，）或（﹣1+2，﹣）或（﹣1﹣2，﹣）；
②当CG是对角线时，
由中点公式得：（2+）＝（﹣x2﹣x+3），
整理得：x2+2x+5＝0，
∵△＜0，故该方程无解；
综上，点N的坐标为（﹣1+，）或（﹣1﹣，）或（﹣1+2，﹣）或（﹣1﹣2，﹣）．
7．解：（1）对于抛物线y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，得到﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，
∴B（﹣2，0），A（6，0），
令x＝0，得到y＝6，
∴C（0，6），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2；
（2）∵点C（0，6），点A（6，0），
∴直线AC解析式为y＝﹣x+6，
∴当x＝2时，y＝4，
∴点F（2，4），
∵点P位于EF的中点，
∴点P（2，2），
设直线MN解析式为y＝﹣x+b，
∴2＝﹣2+b，
∴b＝4，
∴直线MN解析式为y＝﹣x+4，
联立方程组可得：，
解得：，（舍去），
∴点M（3﹣，+1）；
（3）①如图1，过点M作MQ⊥AB于Q，

∵点P（2，t），
∴OE＝2，PE＝t，
∵AC＝BC，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∵MN∥AC，
∴∠MHQ＝∠CAO＝45°，
∴∠PHE＝∠HPE＝45°，∠QMH＝∠MHQ＝45°，
∴MQ＝QH，PE＝EH＝t，
∵PH∥MQ，
∴，
∵，
∴＝，
∴＝，
∴QH＝3t＝MQ，
∴OQ＝3t﹣t﹣2＝2t﹣2，
∴点M（2﹣2t，3t），
∴3t＝﹣（2﹣2t）2+2（2﹣2t）+6，
∴t1＝，t2＝（舍去），
∴点P在线段DE上运动时，t的值为；
②若PM为边，
∵以点C，P，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴MP∥CQ，MP＝CQ，
又∵AC∥MP，
∴点Q与点A重回，
∴Mx﹣Px＝∁x﹣Ax＝6，My﹣Py＝∁y﹣Ay＝6，
∴Mx＝6+2＝8，My＝6+t，
∴6+t＝﹣+2×8+6，
∴t＝﹣16；
若PM为对角线，∵四边形CPQM是平行四边形，
∴CP＝MQ，CM＝PQ，CP∥MQ，
∴Px﹣∁x＝Qx﹣Mx＝2，Py﹣∁y＝Qy﹣My＝t﹣6，
设点M（a，﹣a2+2a+6），则点Q（a+2，﹣a2+8），
∴（﹣a2+8）﹣（﹣a2+2a+6）＝t﹣6，
∴t＝8﹣2a，
∵2﹣a＝﹣a2+2a+6﹣t，
∴a＝5+（舍去），a＝5﹣，
∴t＝﹣2+2；
综上所述：t＝﹣16或﹣2+2．
8．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，
∴0＝x2﹣2x﹣3，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），
∴AB＝4，
设点P（p，p2﹣2p﹣3），
∵△PAB的面积为8，
∴×4×|p2﹣2p﹣3|＝8，
∴p2﹣2p﹣3＝4或p2﹣2p﹣3＝﹣4，
∴p1＝2+1，p2＝﹣2+1，p3＝1，
∴点P坐标为（2+1，4）或（﹣2+1，4）或（1，﹣4）；
（3）如图1，过点P作PE⊥x轴，交BC于E，

∵点B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设点P（a，a2﹣2a﹣3），则点E（a，a﹣3），
∴PE＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴S△BCP＝×（﹣a2+3a）×3＝﹣（a﹣）2+，
∴当a＝时，S△BCP有最大值，即点P到直线BC的距离最大，
此时点P（，﹣），
设点N（1，n），点Q（m，m2﹣2m﹣3），
若CP为边，CN为边时，则CQ与NP互相平分，
∴，
∴m＝，
∴点Q（，﹣），
若CP为边，CQ为边时，则CN与PQ互相平分，
∴＝，
∴m＝﹣，
∴点Q（﹣，﹣），
若CP为对角线，则CP与NQ互相平分，
∴，
∴m＝，
∴点Q（，﹣），
综上所述：点Q坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．
9．解：（1）当x＝0时，则y＝，
∴C（0，），
当y＝0时，﹣x2+2x+＝0，
化简，得x2﹣4x﹣5＝0，
解得，x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）；
（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP．
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，
∴AP＝PB，
要使PA+PC的值最小，则应使PB+PC的值最小，
∴BC与对称轴的交点，使得PA+PC的值最小．
设BC的解析式为y＝kx+b．
将B（5，0），C（0，）代入y＝kx+b，
得，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝2
当x＝2时，y＝﹣×2+＝，
∴P（2，）；
（3）设点M（m，0），N（n，﹣n2+2n+），
由（1）知，A（﹣1，0），C（0，），
当AC与MN是对角线时，
∴AC与MN互相平分，
∴（0+）＝（﹣n2+2n+），
解得，n＝0（舍）或n＝4，
∴N（4，），
当AM与CN是对角线时，AM与AN互相平分，
∴（m﹣1）＝n，×0＝（﹣n2+2n++），
解得，n＝2±，
∴N（2+，﹣）或（2﹣，﹣），
当AN与CM是对角线时，AN与CM互相平分，
∴（﹣n2+2n+）＝×（0+），
解得，n＝0（舍）或n＝4，
∴N（4，），
即：以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（4，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣），

10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（4，0），B（﹣1，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x，
∴对称轴为直线x＝2；
（2）∵点D与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点D（5，3），
∴BD＝6，
∵点C（2，0），点B（﹣1，3），
∴BC＝3，直线BC解析式为y＝﹣x+2，
如图，连接BO，

∵BD∥OC，
∴∠DBE＝∠BCO，
∵∠CED＝∠OBD，∠CED＝∠EBD+∠BDE，∠OBD＝∠OBC+∠DBE，
∴∠OBC＝∠BDE，
∴△OBC∽△EDB，
∴，
∴＝，
∴BE＝2，
设点E（x，﹣x+2），
∴2＝，
∴x＝1或x＝﹣2（舍去），
∴点E（1，1）；
（3）当OA为边时，
∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴OA＝MN＝4，OA∥MN，
∴点N横坐标为6或﹣2，
∴点N的纵坐标为，
∴平行四边形的面积＝4×＝，
当OA为对角线，
∵以点O、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN与OA互相平分，
∴，
∴Nx＝2，
∴点N（2，﹣），
∴平行四边形的面积＝4×＝，
综上所述：平行四边形的面积为或．
11．解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+1）（x﹣2），
将（0，3）代入上式得：﹣2a＝3，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：；
（2）点C（0，3），B（2，0），
设直线BC的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，
故直线BC的表达式为：，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，

设点D（m，），则点H（m，m+3），
S△BDC＝S△DHC+S△HDB＝HD×OB＝＝＝，
∵﹣＜0，故△BCD的面积有最大值，
当m＝1，△BCD面积最大为，此时D点为（1，3）；

（3）m＝1时，D点为（1，3），
①当BD是平行四边形的一条边时，
设点N（n，），
则点N的纵坐标为绝对值为3，
即，
解得：n＝0或1（舍去）或，
故点N的坐标为（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3），
②当BD是平行四边形的对角线时，
N的坐标为（0，3）；
综上，点N的坐标为：（0，3）或（，﹣3）或（，﹣3）．
12．解：（1）把点A（﹣3，0），点B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c，得
．
解得．
故该抛物线解析式是：y＝﹣x2﹣x+6；
（2）设直线AB解析式是：y＝kx+t（k≠0），则把点A（﹣3，0），点B（1，4）代入，得
．
解得．
则直线AB的解析式为y＝x+3．
设N（a，a+3）．
①如图，当四边形AONM是平行四边形时，AO＝MN且AO∥MN，则M（a﹣3，a+3）．
∵点M在抛物线y＝﹣x2﹣x+6上，
∴a+3＝﹣（a﹣3）2﹣（a﹣3）+6．
解得a1＝3，a2＝1．
∴点M的坐标是（0，6）或（﹣2，4）；
②如图，当四边形AOMN是平行四边形时，AO＝NM且AO∥MN，则M（a+3，a+3）．
∵点M在抛物线y＝﹣x2﹣x+6上，
∴a+3＝﹣（a+3）2﹣（a+3）+6．
整理，得a2+8a+9＝0．
解得a1＝﹣4+，a2＝﹣4﹣．
∴点M的坐标是（0，6）或（﹣2，4）或（﹣1+，﹣1+）．
综上所述，点M的坐标是（0，6）或（﹣2，4）或（﹣1+，﹣1+）．

13．解：（1）把点A、C坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，
顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝1或﹣3，故点B（﹣3，0），而C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
则BD＝，CD＝，BC＝，
故：BD2＝CD2+BC2，
故△BCD为直角三角形；
（3）存在，理由：
①当OC是平行四边形的一条边时，
设：点P（m，m2+2m﹣3），点Q（m，m），
则PQ＝OC＝3，
PQ＝|m2+2m﹣3﹣m|＝3，
解得：m＝﹣1或2或0或﹣3（舍去0），
故m＝﹣1或2或﹣3；
②当CO是平行四边形的对角线时，
设点P（m，m2+2m﹣3），点Q（n，n），
由中线定理得：，
解得：m＝0或﹣1（舍去0）；
故m＝﹣1或2或﹣3，
则点P（﹣1，﹣4）或（2，5）或（﹣3，0）．
14．解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝6，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）点C（0，6），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，

设点D（m，﹣m2+m+6），则点H（m，﹣m+6）
S△BDC＝HD×OB＝2（﹣m2+m+6+m﹣6）＝2（﹣m2+3m），
S△ACO＝××6×2＝，
即：2（﹣m2+3m）＝，
解得：m＝1或3（舍去1），
故m＝3；
（3）当m＝3时，点D（3，），
①当BD是平行四边形的一条边时，
如图所示：M、N分别有三个点，

设点N（n，﹣n2+n+6）
则点N的纵坐标为绝对值为，
即|﹣n2+n+6|＝，
解得：n＝﹣1或3（舍去）或1，
故点N（N′、N″）的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）或（1﹣，﹣），
当点N（﹣1，）时，由图象可得：点M（0，0），
当N′的坐标为（1，﹣），由中点坐标公式得：点M′（，0），
同理可得：点M″坐标为（﹣，0），
故点M坐标为：（0，0）或（，0）或（﹣，0）；
②当BD是平行四边形的对角线时，
点B、D的坐标分别为（4，0）、（3，）
设点M（m，0），点N（s，t），
由中点坐标公式得：，而t＝﹣s2+s+6，
解得：t＝，s＝﹣1，m＝8，
故点M坐标为（8，0）；
故点M的坐标为：（0，0）或（，0）或（﹣，0）或（8，0）．
15．解：（1）如图，连接AG并延长AG交OB于H，

∵点B坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵点G是等边三角形AOB的外心，
∴AH⊥OB，OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，
∴∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，
∴点A（2，2），
∵抛物线y＝ax（x﹣2）+1+＝ax2﹣2ax+1+，
∴对称轴为：直线x＝﹣＝1；
（2）如图，过点P作PN⊥OB于N，交AO于F，

∴ON＝1，
∵点G是等边三角形AOB的外心，
∴OG平分∠AOB，
∴∠AOG＝30°＝∠BOG，
当点P在△AOB内，
∵∠AOG＝2∠AOP，
∴∠AOP＝15°＝∠POG，
∴∠PON＝45°，
∵PN⊥OB，
∴∠PON＝∠OPN＝45°，
∴PN＝ON＝1，
∴点P坐标（1，1），
∴1＝a（1﹣2）+1+，
∴a＝，
当点P在△AOB外，
同理可得∠AOP'＝15°，
∴∠P'ON＝75°，
∴∠OP'N＝15°＝∠AOP'，
∴OF＝P'F，
∵∠AOB＝60°，P'N⊥OB，
∴OF＝2ON＝2＝P'F，FN＝ON＝，
∴P'N＝P'F+FN＝2+，
∴点P坐标为（1，2+），
∴2+＝a（1﹣2）+1+，
∴a＝﹣1，
综上所述：a＝﹣1或；
（3）如图，连接AG并延长AG交OB于H，

∵点G是等边三角形AOB的外心，
∴AG＝2GH，OH＝BH＝2，AH＝2，
∴GH＝，
∵四边形GDQO为平行四边形，
∴GD∥OB，GD＝OQ，
∴，
∴GD＝，
∴QH＝，
∴GQ＝＝＝；
②如图，在OB上截取OM＝BD，连接CM，GM，GB，MD，GD，

∵点G是等边三角形AOB的外心，
∴OG＝GB，∠GOB＝∠GBO＝∠ABG＝30°，
又∵OM＝BD，
∴△OGM≌△BGD（SAS），
∴MG＝GD，∠OGM＝∠BGD，
∴∠OGB＝∠MGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴MD＝GD，∠GDM＝30°，
∵△CDE中CE＝DE，∠CED＝120°，
∴CD＝DE，∠CDE＝30°，
∴∠MDC＝∠GDE，，
∴△GDE∽△MDC，
∴＝，
当GE最小值为1时，MC最小值为，
∴当点C与抛物线顶点P重合，且CM⊥OB时，CM有最小值，
∴CM的最小值为顶点P的纵坐标，
∴点P坐标（1，），
∴＝a（1﹣2）+1+，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x（x﹣2）+1+＝（x﹣1）2+