2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练1：与线段长度相关的综合题（附答案）

这是一份2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练1：与线段长度相关的综合题（附答案），共30页。试卷主要包含了抛物线C等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练1：与线段长度相关的综合题（附答案）
1．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果设点P的坐标为（n，n+2），则点C的坐标可表示为　 　；
（3）请用含有n的式子表示PC的长，并确定PC长度的最大值．



2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，﹣2m+3），过点A作y轴的平行线交二次函数y＝x2的图象于点B．
（1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数y＝x2的图象上时，求m的值；
（3）当m＜0时，若AB＝2．求m的值；
（4）当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．



3．如图，直线y1＝﹣x+3与x轴于交于点B，与y轴交于点C．抛物线y2＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴另一个交点为A．
（1）求抛物线y2的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且S△MOC＝4S△AOC，求点M的坐标；
（3）设点P是线段BC上一动点，过P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．



4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；
（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．



5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，5），并经过点（1，8），M是它的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）用配方法将二次函数的解析式化为y＝（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点M的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

6．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，设点P的纵坐标为n，若线段PA绕点P顺时针旋转90°后，记点A的对应点为A'．
①求线段OA′的最小值，并求出此时点P的坐标；
②当线段PA′与抛物线有公共点时，求n的取值范围．







7．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，顶点纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线l：y＝kx﹣k（0≤k≤3）与抛物线交于M（xM，yM）、N（xN，yN），xM＜xN，
①求yM的范围；
②点P（xP，yP）在抛物线上（xM＜xP＜xN），点Q（xQ，yQ）在直线l上，xP＝xQ，PQ的长度记为d．对于每一个k，d都有最大值，请求出d的最大值与k的函数关系式．






8．如图，已知抛物线C1的顶点为E（，﹣），与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣2）；
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）点D是抛物线C1上一点，且∠ACO+∠BCD＝45°，求点D的坐标；
（3）M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，MB，NA分别交y轴于P、Q两点，求OP﹣2OQ的值．


9．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值．

10．抛物线C：y＝﹣x2+2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）写出AB的长；
（2）如图1，已知C（0，2），点E是x轴正半轴上的点，OE的垂直平分线MN，交OE于点F．交CE于点M，交抛物线C于点N，若MN＝2，求点E的坐标；
（3）如图2．将抛物线C向左平移1个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到抛物线C1，点D是抛物线C1的顶点，点P是抛物线C1在第一象限上的动点，PP'⊥y轴，交抛物线C1于点P'，直线PO交抛物线C1于点Q，直线QP'交y轴于H，求证：HD＝OD．

11．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；
（3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由．



12．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，已知点P是第四象限抛物线上的一点，且∠PAB＝2∠ACO，求点P的横坐标；
（3）如图3，点D为抛物线的顶点，直线y＝kx﹣k+2交抛物线于点E，F，过点E作y轴的平行线交FD的延长线于点P，求CP的最小值．




13．如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离的最大值．







14．已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）若m＝1，求点B的坐标；
（2）求出点B、C的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为时，求m的取值范围．





15．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4m+4经过定点A．
（1）求A点坐标；
（2）直线y＝t（t＜6）与抛物线交于B，C两点（B在C的左边），过点A作AD⊥BC于点D，是否存在t的值，使得对于任意的m，∠DAC＝∠ABD恒成立，若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图，当m＝1时，直线y＝2x交对称轴于点E，在直线OE的右侧作∠EOP交抛物线于点P，使得tan∠EOP＝，已知x轴上有一个点M（t，0），EM+PM是否存在最小值？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

16．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值．


参考答案
1．解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝4+2＝6，
∴B（4，6）．
∵A（，），B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6；
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）．
故答案是：（n，2n2﹣8n+6）；
（3）∵P（n，n+2），C（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
＝﹣2n2+9n﹣4，
＝﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n＝时，线段PC最大且为．
2．解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m，
∴将x＝m代入y＝x2，得y＝m2．
即点B的纵坐标为m2．
故答案是：m2；
（2）把A（m，﹣2m+3）代入y＝x2，得﹣2m+3＝m2．
解得m1＝﹣3，m2＝1；
（3）根据题意知：|﹣2m+3﹣m2|＝2．
①﹣2m+3﹣m2＝2，
解得m1＝﹣﹣1，m2＝﹣1．
∵m＜0，
∴m＝﹣﹣1，符合题意；
②﹣2m+3﹣m2＝﹣2，
解得m1＝﹣﹣1，m2＝﹣1．
∵m＜0，
∴m＝﹣﹣1，符合题意．
综上所述，m的值为﹣﹣1或﹣﹣1；
（4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（﹣3，9）或（1，1）．
设AB＝d，
当﹣3＜m＜0时，d＝﹣2m+3﹣m2＝﹣（m+1）2+4时，对称轴是直线m＝﹣1且抛物线开口向下，
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，﹣3＜m≤﹣1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是﹣3＜m≤﹣1或m＞1．

3．解：（1）由直线y1＝﹣x+3得：B（3，0），C（0，3），
将其代入y2＝﹣x2+bx+c，得
．
解得．
故抛物线y2的解析式是：y2＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线y2的解析式y2＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）知，A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
又∵C（0，3），
∴OC＝3．
设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∵S△MOC＝4S△AOC，
∴×3×|x|＝4××3×1，
∴|x|＝4，
∴x＝±4，
当x＝4时，﹣x2+2x+3＝﹣16+8+3＝﹣5；
当x＝﹣4时，﹣x2+2x+3＝﹣16﹣8+3＝﹣21，
∴点M的坐标为（4，﹣5）或（﹣4，﹣21）；
（3）设P（a，﹣a+3），此时Q（a，﹣a2+2a+3），
∴PQ＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+．
∴该抛物线顶点坐标是（，），且开口向下，
∴当a＝时，PQ取最大值．

4．解：（Ⅰ）令x＝0，则y＝，即C（0，）
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），
将点C的坐标代入上式得：＝a（0﹣5）（0+1），
解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣5）（x+1）＝﹣x2+2x+；
（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，），
过点M作MH∥y轴交AC于点H，

设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，
解得，
故直线AC的表达式为y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，则MH＝﹣＝3，
则△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝；
（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，﹣m+），
由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，

则EF2＝OD2＝m2+（﹣m+）2＝m2﹣m+，
∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1，
故点D（1，2），
∵点P、D的纵坐标相同，
故2＝﹣x2+2x+，解得x＝2±，
故点P的坐标为（2+，2）或（2﹣，2）．
5．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），
则有：，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．
（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣4x+4）+5+4＝﹣（x﹣2）2+9，
∴二次函数的解析式化为y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点M的坐标为（2，9）
（3）存在，理由如下：
如图，由A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P，连接PA，此时PA+PC的值最小．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣5）（x+1）知A（﹣1，0），B（5，0），
∵B（5，0），C（0，5），设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则有
，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5．
∵抛物线的对称轴x＝2，
∴P（2，3）．

6．解：（1）把x＝0代入y＝ax2+bx﹣3，得：y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴B（﹣3，0），
把A（1，0）和B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得：，
解得：，
∴此抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）①由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（﹣1，n），
当n＞0时，如图1，设对称轴与x轴的交点为M，过点A'作A'N⊥PM于N，

∵线段PA绕点P顺时针旋转90°，
∴AP＝A'P，∠APA'＝90°＝∠PMA＝∠PNA'，
∵∠NPA'+∠APM＝90°＝∠APM+∠PAM，
∴∠NPA'＝∠PAM，
∴△A'NP≌△PMA（AAS），
∴A'N＝PM＝n，PN＝AM＝2，
∴点A'（﹣1﹣n，n﹣2），
当n＜0时，同理可得点A'（﹣1﹣n，n﹣2），
当n＝0时，点P与点M重合，则点A'（﹣1，﹣2），符合A'（﹣1﹣n，n﹣2），
∴OA'＝＝，
∴当n＝时，OA'有最小值为，
此时点P（﹣1，）；
②∵点A'（﹣1﹣n，n﹣2），
∴点A在直线y＝﹣x﹣3上，
如图2，

当线段PA′与抛物线有公共点，
则﹣1﹣n≤﹣3或﹣1﹣n≥0，
∴n≥2或n≤﹣1，
又∵当点P在抛物线顶点下方上，线段PA'与抛物线没有公共点，
∴n≥﹣4，
综上所述：n≥2或﹣4≤n≤﹣1．
7．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
函数的对称轴为x＝（1﹣3）＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝a（x2+2x﹣3）＝﹣4a＝﹣4，
解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）①y＝kx﹣k＝k（x﹣1），
当x＝1时，y＝kx﹣k＝0，
故该函数过点（1，0），即点N（1，0），
故点N、A重合，如图：

联立，
整理得：x2+（2﹣k）x+k﹣3＝0，
则xM+xN＝k﹣2，
而xN＝1，
故xM＝k﹣3，
当x＝k﹣3时，y＝kx﹣k＝k（x﹣1）＝k（k﹣3﹣1）＝k2﹣4k＝yM，
∵0≤k≤3，
故﹣4≤k2﹣4k≤0，
即yM的范围为﹣4≤yM≤0；
②由题意知，PQ∥y轴，
设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q（x，kx﹣k），
则PQ＝kx﹣k﹣x2﹣2x+3＝﹣x2+（k﹣2）x+（3﹣k），
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
当x＝﹣＝时，
PQ的最大值为＝﹣（）2+（k﹣2）（）+（3﹣k），
即dmax＝k2﹣2k+4．
8．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣，
将C（0，﹣2）代入得a﹣＝﹣2，解得a＝1，
∴y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x﹣2①；
（2）在y＝x2﹣x﹣2中，令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣1或x＝2，
∴C（0，﹣2），A（﹣1，0），B（2，0），
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
①当点D在x轴上方时，
设CD交x轴于点Q，
∵∠ACO+∠BCD＝∠QCO+∠BCD＝45°，
∴∠ACO＝∠QCO，
又∠AOC＝∠QOC＝90°，OC＝OC，
∴△OAC≌△OCQ（ASA），
∴OQ＝OA＝1，
∴Q（1，0），
由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为y＝2x﹣2②，
联立①②并解得，
∴D（3，4）；
②当点D在x轴下方时，

将①中的△CBQ沿着BC翻折得△CBQ′，
则BQ＝BQ′＝1，∠QBQ′＝90°，
∴Q′（2，﹣1），
同理可得：直线CQ′的表达式为y＝x﹣2③，
联立①③并解得，
∴D（，﹣），
综上所述，D（3，4）或（，﹣）；

（3）设M（xM，yM），N（xN，yN），
设直线MB的解析式为：y＝m（x﹣2）④，
∴P（0，﹣2m），
联立①④并整理得：x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0，
∴xB+xM＝2+xM＝m+1，
∴xM＝m﹣1，
同理可得：xN＝n+2，
又M、N关于对称轴对称，
∴xM+xN＝m﹣1+n+2＝1，
∴m+n＝0，
∴OP﹣2OQ＝2m﹣2（﹣n）＝2（m+n）＝0，
答：OP﹣2OQ的值为0．
9．解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，
∴（x+1）（ax+3）＝0，
∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴﹣＝4，
∴a＝﹣．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图1，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴＝，
解得m＝2或4，
经检验x＝4是分式方程的增根，
∴m＝2；
（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．
10．解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标为（﹣1，0）、（0，3），
则AB＝＝；

（2）如下图，设点E的坐标为（2m，0），则点F（m，0），点N（m，﹣m2+2m+3），

由中点公式得，点M的坐标为（m，1），
则MN＝|﹣m2+2m+3﹣1|＝2，
解得m＝2或0（舍去）或+1或1﹣（舍去），
故m＝2或+1；
（3）由y＝﹣x2+2x+3得，其顶点为（1，4），
将抛物线C向左平移1个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到抛物线C1，则平移后的抛物线表达式为y＝﹣x2+4+b①，
则点D（0，4+b），
设点P的坐标为（p，q），点Q的坐标为（s，t），则点P′的坐标为（﹣p，q），
设直线PQ的表达式为y＝kx②，直线P′Q的表达式为y＝mx+n③，
联立①②并整理得：x2+kx﹣4﹣b＝0，则ps＝﹣4﹣b④，
联立①③并整理得：x2+mx+n﹣4﹣b＝0，则﹣ps＝n﹣4﹣b⑤，
由④和⑤得：n﹣4﹣b＝4+b，解得n＝8+2b，
故点H的坐标为（0，8+2b），
则HD＝8+2b﹣4﹣b＝4+b＝OD．
11．解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，
故点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）由点B、C、D的坐标知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，
则BC2+CD2＝BD2，则△BCD为直角三角形，
四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC＝×3×+×4×3＝9；

（3）存在，理由：
作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，

设直线ED的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，
令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣，
故点Q的坐标为（﹣，0）．
12．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4①；

（2）在OB上取OR＝OA＝2，
则∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，
过点A作AK⊥CR于点K，设直线AP交y轴于点H，

则S△ACR＝AR×CO＝×CR×AK，即×4×4＝××AK，
解得AK＝，则sin∠ACK＝＝＝，则tan∠ACK＝＝tan∠BAP，
在Rt△AOH中，OH＝AO×tan∠BAP＝2×＝，
由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为y＝﹣x﹣②；
联立①②并解得x＝，
故点P的横坐标为；
（3）设点E、F的坐标分别为（m，﹣m2+m+4）、（n，﹣n2+n+4），
联立①与y＝kx﹣k+2并整理得：x2+（2k﹣2）x﹣（4+2k）＝0，
则m+n＝2﹣2k，mn＝﹣4﹣2k，
由抛物线的表达式知，点D（1，），
由点D、F的坐标得，直线FD的表达式为y＝﹣（n﹣1）x+n+4，
当x＝m时，y＝﹣（n﹣1）m+n+4＝﹣mn+（m+n）+4＝﹣（﹣4﹣2k）+（2﹣2k）+4＝7，
故点P的坐标为（m，7），
则PC＝＝≥3，
故PC的最小值为3．
13．解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，
∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；

（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，

在△BAQ和△COA中，
，
∴△BAQ≌△COA（AAS），
∴AQ＝OA＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为y＝x﹣1，
联立，
解得x1＝2（舍去），x2＝，
∴P（，）；

（3）设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），
由点P、E的坐标得，yPE＝（x1+1）x﹣4﹣x1，
同理可得yPF＝（x2+1）x﹣4﹣x2，
又∵PE⊥PF，
∴（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1，
x1x2＝﹣2﹣（x1+x2），
同理可得EF的解析式为：yEF＝（x1+x2）x﹣4﹣x1x2，
∴yEF＝（x1+x2）x﹣4+2+（x1+x2）＝（x1+x2）（x+1）﹣2，
∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，
连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，
∴AR＝．
14．解：（1）对于，令y＝﹣（x+5）（x﹣m）＝0，解得x＝﹣5或m，令x＝0，则y＝﹣（0+5）（0﹣m）＝，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣5，0）、（m，0）、（0，），
当m＝1时，点B的坐标为（1，0）；
（2）由（1）知，点B、C的坐标为（m，0）、（0，）；
（3）依题意得A（﹣5，0），C（0，m），
由m＞0，设过A，C两点的一次函数解析式是y＝kx+b，
将A，C代入上式得，解得，
∴过A，C两点的一次函数解析式是y＝mx+m，
设点P（t，0），则﹣5≤t≤m（m＞0），
∴M（t，﹣t2+t+），点N（t，mt+），
①当﹣5≤t≤0时，
MN＝（﹣t2+t+）﹣（mt+）＝﹣t2﹣t，
∵＜0，
∴该二次函数图象开口向下，
又对称轴是直线t＝﹣，
∴当t＝﹣时，MN的长最大，
此时MN＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）＝；
②当0＜t≤m时，
∴MN＝（mt+）﹣（﹣t2+t+）＝t2+t，
∵0，
∴该二次函数图象开口向上，
又对称轴是直线t＝﹣，
∴当0＜t≤m时，MN的长随t的增大而增大，
∴当t＝m时，MN的长最大，此时MN＝m2+2.5m，
∵线段MN长的最大值为，
∴m2+2.5m≤，
整理得：（m+2.5）2≤，
由图象可得：﹣≤m≤，
∵m＞0，
∴m的取值范围是0＜m≤．
15．解：（1）∵y＝x2﹣2mx﹣4m+4＝x2﹣2m（x+2）+4，
∴当x＝﹣2时，y＝6，
∴抛物线y＝x2﹣2mx﹣4m+4经过定点（﹣2，6），
∴A（﹣2，6）；
（2）∵y＝t（t＜6），
∴x2﹣2mx﹣4m+4＝t，
∴x2﹣4mx﹣8m+8﹣2t＝0，
∴xB+xC＝4m，xB•xC＝8﹣8m﹣2t，
∵∠DAC＝∠ABD，∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△CBA，
∴，
∴AD2＝BD•CD，
∴（6﹣t）2＝（xB+2）（xC+2），
∴36﹣12t+t2＝xB•xC+2（xB+xC）+4，
∴36﹣12t+t2＝8﹣8m﹣2t+8m+4，
整理得t2﹣10t+24＝0，
解得t＝4或t＝6（舍去），
∴t＝4；
（3）存在，理由如下，
当m＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝2，
∵直线y＝2x交对称轴于点E，
∴E（2，4），
过E点作EF⊥OE，EH⊥y轴，交OP于F，交y轴于H，作FG⊥EH于G，
∴OH＝4，EH＝2，
∵tan∠EOP＝，
∴＝，
∵∠OEF＝90°，
∴∠HEO+∠GEF＝90°＝∠GEF+∠GFE，
∴∠HEO＝∠GFE，
∵∠EHO＝∠FGE＝90°，
∴△EOH∽△FEG，
∴＝，
∴EG＝2，FG＝1，
∴F（4，3），
∴直线OP的解析式为y＝x，
解得或，
∴P（，），
∵E（2，4），
∴E点关于x轴的对称点E′（2，﹣4），连接PE′，交x轴于M，此时ME+MP＝PE′，EM+PM的值最小，
设直线PE′的解析式为y＝kx+b，
∴，解得k＝，b＝﹣，
∴直线PE′的解析式为y＝x﹣，
令y＝0，则x+＝0，
解得x＝，
∴M（，0），
∴t＝．

16．解：（1）∵OA＝1，tan∠OAC＝3，
则OC＝OAtan∠OAC＝3，故点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3），

（2）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
①若点P在x轴下方，如图1，

延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I，
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（﹣3，0），
∵A（1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，AC＝＝，AB＝4，
∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝＝，cos∠ACO＝，
∵AB＝AH，G为BH中点，
∴AG⊥BH，BG＝GH，
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠BAG＝∠ACO，
∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝＝，
∴BG＝AB＝，
∴BH＝2BG＝，
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO，
∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝＝，cos∠HBI＝＝，
∴HI＝BH＝，BI＝BH＝，
∴xH＝﹣3+＝﹣，yH＝﹣，即H（﹣，﹣），
由点A、H的坐标的，直线AH的表达式为：y＝x﹣，
故直线PA在与y轴交点的坐标为（0，﹣）；
②若点P在x轴上方，如图2，

在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称，
∴H'（﹣，），
同理可得，直线AH'：y＝﹣x+，
故直线PA在与y轴交点的坐标（0，）；
综上，直线PA在与y轴交点的坐标为（0，﹣）或（0，）；
（3）DM+DN为定值，
∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1，
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1），
由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3，
当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6，
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6，
同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3，
当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2，
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2，
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值