2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练4：与等腰三角形相关的综合题（附答案）

这是一份2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练4：与等腰三角形相关的综合题（附答案），共30页。试卷主要包含了如图，抛物线y＝a等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练4：与等腰三角形相关的综合题（附答案）
1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式．
（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．

2．如图，抛物线y＝a（x﹣）2+h经过点A（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点Q是OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，且B（2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一动点，连接PA，PC，求四边形PAOC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图2，将△OBC绕着点O顺时针旋转60°得△OB′C′，点G是AC中点，点H为直线OC′上一动点，当△GHB′为等腰三角形时，直接写出对应的点H的坐标．


4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3，与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴的交于点C．点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接CD、DB．当△BDC的面积最大时，求△BDC面积的最大值以及此时点P的坐标？
（3）是否存在点P，使得△PCD是等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由．



5．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．



6．二次函数y＝（m﹣1）﹣6x+9的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）求出m的值并求出点A、点B的坐标．
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．




7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线y＝x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点（与E，F不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形？求出此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．



8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求△CDB的面积．
（3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）若点P为线段OA上方抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）求tan∠OAB的值．
（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△BAN为以AB为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点N的坐标．

10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求此抛物线的表达式：
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．


11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连结AD．
（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连结PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

12．已知：二次函数y＝x2﹣2mx﹣m2+4m﹣2的对称轴为l，抛物线与y轴交于点C，顶点为D．
（1）判断抛物线与x轴的交点情况；
（2）如图1，当m＝1时，点P为第一象限内抛物线上一点，且△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，直线y＝mx和抛物线交于点A、B两点，与l交于点M，且MO＝MB，点Q（x0，y0）在抛物线上，当m＞1时，h+12≤﹣my02﹣6my0时，求h的最大值．


13．如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；
①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；
②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．

14．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．


参考答案
1．解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，

∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1；
（3）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2，

①当CP＝CB时，PC＝3，
∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3，
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）．
2．解：（1）由抛物线表达式知，函数的对称轴为x＝，
而点A（1，0），
根据点的对称性，则xB＝1+2×（﹣1）＝4，
故点B的坐标为（4，0）；
（2）存在，理由：
∵抛物线经过点A（1，0），B（4，0），
∴A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，

∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0），B（4，0），C（0，3），
设直线BC解析式为y＝kx+n，把B、C两点坐标代入可得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝，
当x＝时，y＝﹣x+3＝，
故点P的坐标为（，）；
（3）存在，理由：
①当∠BQM＝90°时，如图2，

∵M在线段BC上
∴设M（m，﹣m+3），
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM＝MQ＝﹣m+3，
∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，则，即，
解得：m＝，
∴M（，）；
②当∠QMB＝90°时，如图3，

∵∠CMQ＝90°，
∴只能CM＝MQ，
设CM＝MQ＝m，
∴BM＝5﹣m，
∵∠BMQ＝∠COB＝90°，∠MBQ＝∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，则，即，
解得m＝＝CM，
过点M作MN∥OB交y轴于点N，
∴，即，
∴MN＝，
∵BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝时，则y＝﹣x+3＝，
∴M（，）．
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）．
3．解：（1）对于，令＝0，解得x＝﹣6，令x＝0，则y＝2，
故点A、C的坐标分别为（﹣6，0），（0，2），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+6）（x﹣2），
将点C的坐标代入上式并解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣x2﹣x+2；
（2）过点P作y轴的平行线交AC于点F，

设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点F（x，x+2），
设四边形PAOC面积为S，则S＝S△ACO+S△ACP＝S△ACO+S△PFA+S△PFC＝×6×2+×6×（﹣x2﹣x+2﹣x﹣2）＝﹣x2﹣3x+6，
∵﹣＜0，
故S有最大值，
当x＝﹣3时，S的最大值为，
则点P（﹣3，）；
（3）∵A（﹣6，0），C（0，2），点G是AC中点，
∴G（﹣3，），∠AOC＝60°，
由题意得∠COC′＝60°，
∴AC∥OC′，
∴直线OC′的解析式为y＝x，
设H（m，m），
∵∠BOB′＝60°，B（2，0），
∴点B′（1，），
当△GHB′为等腰三角形时，
若GH＝GB′，则（m+3）2+3（1﹣m）2＝42+（2）2，解得m＝，
故点H的坐标为（，）或（，）；
若HB′＝GH，则（m﹣1）2+3（1+m）2＝（m+3）2+3（1﹣m）2，
解得：m＝﹣2，
∴点H（﹣2，﹣），
若HB′＝GB′，则（m﹣1）2+3（1+m）2＝42+（2）2，解得m＝±3，
故点H的坐标为（3，）或（﹣3，﹣），
综合以上可得点H的坐标为（，）或（，）或（﹣2，﹣）或（3，）或（﹣3，﹣）．
4．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
即﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x﹣3，
设点P（x，﹣x﹣3），则点D（x，x2+2x﹣3），
则PD＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
则△BDC的面积＝S△PDB+S△PDC＝×PC×OB＝×3×（﹣x2﹣3x）＝﹣x2﹣x，
∵﹣＜0，故△BDC的面积有最大值，
当x＝﹣时，△BDC的面积的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；
（3）存在，理由：
由（1）知，设点P（x，﹣x﹣3），则点D（x，x2+2x﹣3），则PD＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
①当PC＝DC时，则点C在PD的中垂线上，
即（yP+yD）＝yC，即（﹣x﹣3+x2+2x﹣3）＝﹣6，
解得：x＝0（舍去）或﹣1，
故点P（﹣1，﹣2）；
②当PD＝PC时，
由点P、C的坐标知，PC＝﹣x，
则﹣x＝﹣x2﹣3x，
解得x＝0（舍去）或﹣3，
故点P（﹣3，﹣）；
③当DP＝CD时，
同理可可得，点P的坐标为（﹣2，﹣1），
综上，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣3，﹣）或（﹣2，﹣1）．
5．解：（1）把点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣3）代入抛物线的解析式y＝ax2﹣x+c中得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）由y＝0得：x﹣3＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3，
∴B（3，0），
①当CM＝BM时，如图1，

∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰直角三角形，
∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形，
∴M点坐标（0，0）；
②如图2所示：当BC＝BM时，

在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，
由勾股定理得，BC＝＝＝3，
∴BM＝3，
∴M点坐标（3﹣3，0），
综上所述：M点坐标为：（3﹣3，0）或（0，0）．
6．解：（1）∵二次函数y＝（m﹣1）﹣6x+9，
∴m2+m＝2且m﹣1≠0，
∴m＝﹣2，
∴二次函数解析式为y＝﹣3x2﹣6x+9，
令y＝0，
∴0＝﹣3x2﹣6x+9，
∴x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）设PA＝t（0＜t＜3），则OP＝3﹣t，
∵DP⊥PE，
∴∠DPA＝∠PEO，
∴△DAP∽△POE，
∴，即，
∴OE＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，OE有最大值，
即P为AO中点时，OE的最大值为；
（3）存在．
当点P在y轴左侧时，如图1，DE交AB于G点，
∵PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴△DAP≌△POE，
∴PO＝AD＝4，
∴PA＝1，OE＝1，
∵AD∥OE，
∴＝4，
∴AG＝，
∴S△DAG＝××4＝，
∴P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为；
当P点在y轴右侧时，如图2，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，
同理可得△DAP≌△POE，
∴PO＝AD＝4，
∴PA＝7，OE＝7，
∵AD∥OE，
∴，
∴OG＝，
同理可得BQ＝，
∴S四边形DGBQ＝×（+1）×4+×4×＝
∴当点P的坐标为（4，0）时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．
当点P和点A重合，此时，点E和点O重合，∴DP≠OP，此时，△PDE不是等腰三角形．

7．解：（1）根据题意，得，
解得，
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，

∵PQ∥y轴，
∴当PQ＝CD时，四边形PDCQ是平行四边形，
∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，y＝x+2＝2，
∴C（0，3），D（0，2），
∴CD＝1，
设Q（m，﹣m2+2m+3），则P（m，m+2）
∴PQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（m+2）＝1，
解得m1＝0，m2＝1，
当m＝0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，
∴m＝1，m+2＝3，
∴P点坐标为（1，3）；
（3）存在，理由如下：
由抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，该抛物线的对称轴是直线x＝1．
如图2，设M（1，y）．

设点M（1，y），
∵A（﹣1，0），M（1，y），C（0，3），
∴AC2＝10，CM2＝y2﹣6y+10，AM2＝4+y2
①当AC＝CM时，10＝y2﹣6y+10，
解得：y＝0或y＝6（舍去），
②当AC＝AM时，10＝4+y2，
解得：y＝或y＝﹣，
③当CM＝AM时，y2﹣6y+10＝4+y2，解得：m＝1，
检验：当y＝6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的点M坐标为（1，0）、（1，）、（1，﹣）、（1，1）．
8．解：（1）设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a（x+1）（x﹣3）．
把点C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3．
a＝﹣1．
故该抛物线解析式是y＝﹣（x+1）（x﹣3）或y＝﹣x2+2x+3．
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4知，顶点坐标D为（1，4）．
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，BD2＝（3﹣1）2+（0﹣4）2＝20，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，
∴BD2＝BC2+CD2．
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°．
∴S△BCD＝CD•BC＝××3＝3，即△CDB的面积是3．
（3）存在，由y＝﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1，
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为（x，y），
根据勾股定理得：x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x，
又∵P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即 x2﹣3x+1＝0，
解得 x1＝，x2＝＜1 （舍去），
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点P坐标为（，）．
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3），
∴符合条件的点P坐标为（，） 或（2，3）．

9．解：（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，
它的对称轴为：x＝﹣＝2；
（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x2+4x得m＝﹣32+4×3＝3，
则点A的坐标为：（3，3），
由点O（0，0），A（3，3）得直线OA的解析式为：y＝x，
设点P（p，﹣p2+4p），则点Q（p，p），
PQ＝yP﹣yQ＝﹣p2+4p﹣p＝﹣p2+3p＝﹣（p﹣）2+，
当p＝时，PQ的值最大，最大值为；
（3）如图1，过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，

∵A（3，3），
∴AE＝3，OE＝3，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝OE＝3，
在等腰Rt△BOD中，OB＝4，
∴OD＝BD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝3﹣2＝，
∴tan∠OAB＝＝2；
（4）存在，
设点N（2，a），
若AB＝AN，
∵点A（3，3），B点（4，0），点N（2，a），
∴＝，
∴a1＝0，a2＝6，
当a2＝6时，点P，点A，点B共线，
∴a2＝6不合题意舍去，
∴点N坐标为（2，0）
若AB＝BN，
∵点A（3，3），B点（4，0），点N（2，a），
∴＝
∴a3＝，a4＝﹣，
∴点N坐标为（2，）或（2，﹣），
综上所述：点N（2，）或（2，﹣）或（2，0）．
10．解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，
即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4，
（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PN有最大值，
当m＝2时，PN的最大值为．
（3）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，
同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，
设直线AC的中点为K（﹣，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，
同理可得过点K与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，
①当AC＝AQ时，如图1，

则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），
故点Q（1，3），
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，
则QM＝MB＝，
故点Q（，）．
③当CQ＝AQ时，
联立①②，，
解得，x＝（舍去），
综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（，）．
11．解：（1）如图1，针对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵CD⊥y轴，
∴D（2，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
过点P作PH∥y轴交AD于H，则H（m，m+1），
∴PH＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，
∴S△PAD＝PH（xD﹣xA）＝（﹣m2+m+2）×（2+1）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△PAD的面积最大，
∴P（，），
过点D作DG⊥x轴于G，
∴DG＝3，OG＝2，
∴AG＝3，
∴AG＝DG，
∴∠DAG＝45°，
过点E作EF⊥x轴于F，则EF＝AE，
要PE+AE最小，则PE+EF最小，
∴点P，E，F在同一条线上时，
∴PE+EF最小值＝yP＝，
即PE+AE最小值为；
（2）如图2，
由（1）知，点P，E，F在同一条线上，
∵EF⊥x轴，
∴F（，0），
∴EF＝AF＝﹣（﹣1）＝，
由旋转知，E'F＝EF＝，
∴OE'＝OF+E'F＝2，
∴E'（2，0），∵D（2，3），
∴DE'⊥x轴，
∵△DE′Q为等腰三角形，
∴①当QD＝QE'时，
由旋转知，∠AEF＝∠E'EF＝45°，
∴∠DEE'＝90°，
∵∠ADE'＝45°，
∴DE＝EE'，
∴点P和点E重合，
∵E（，），
∴Q（，），
②当DE'＝QE'时，由（1）知，AE'＝DE'，
∴点Q和点A重合，
∴Q（﹣1，0），
③当DQ＝DE'时，设点Q（n，n+1），
∴＝3，
∴n＝2±，
∴Q（2﹣，3﹣）或（2+，3+），
即满足条件的点Q的坐标为（，）或（﹣1，0）或（2﹣，3﹣）或（2+，3+）．

12．解：（1）针对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣m2+4m﹣2，
令y＝0，则x2﹣2mx﹣m2+4m﹣2＝0，
∴△＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣m2+4m﹣2）＝4m2+4m2﹣16m+8＝8（m﹣1）2≥0，
∴抛物线与x轴必有交点，
即当m＝1时，有一个交点，当m≠1时，有两个交点；
（2）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2①，
∴C（0，1），D（1，0），
∵△PCD是以PD为腰的等腰三角形，如图1，
①当PC＝PD时，点P是CD的垂直平分线上，
∵C（0，1），D（1，0），
∴OC＝OD＝1，
∴CD的垂直平分线的解析式为y＝x②，
联立①②解得，或，
∴点P的坐标为（，）或（，），
②当PD＝CD时，点D是CP的垂直平分线上，
∴点P的纵坐标为1，则x2﹣2x+1＝1，
∴x＝0或x＝2，
∴P（2，1），
即满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，1）；
（3）∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣m2+4m﹣2的对称轴为l，
∴抛物线的对称轴l为x＝m，
∴点M的横坐标为m，
∵点M在直线y＝mx上，
∴M（m，m2），
∵MO＝MB，
∴点B（2m，m2），
将点B（2m，m2）代入二次函数y＝x2﹣2mx﹣m2+4m﹣2得，m2＝4m2﹣4m2﹣m2+4m﹣2，
∴m＝2或m＝，
∵m＞1，
∴m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∵点Q（x0，y0）在抛物线上，
∴y0＝（x0﹣2）2﹣2，
∴﹣my02﹣6my0＝﹣m（y02+6y0）＝﹣2[（y0+3）2﹣9]＝﹣2[（x0﹣2）2﹣2+3]2+18＝﹣2[（x0﹣2）2+1]2+18，
∵h+12≤﹣my02﹣6my0，
∴h≤﹣2[（x0﹣2）2+1]2+6，
当x0＝2时，h最大＝4．

13．解：（1）∵直线y＝﹣x+2经过B，C，
∴B（4，0），C（0，2），
∵抛物线y＝ax2+x+c交x轴于点A，交y轴于点C，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵点P在抛物线在第一象限内的图象上，点P的横坐标为m，
∴0＜m＜4，P（m，﹣m2+m+2），
①∵PM⊥x轴，交直线y＝﹣x+2于点Q，
∴Q（m，﹣m+2），
∴PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∵PQ∥CO，
∴，
∴CQ＝＝m，
当PQ＝CQ时，﹣m2+2m＝m，
解得m1＝4﹣，m2＝0（舍去）；
当PC＝CQ时，PM+QM＝2CO，
即（﹣m2+m+2）+（﹣m+2）＝2×2，
∴﹣m2+m＝0，
解得m1＝2，m2＝0（舍去）；
综上，当△PCQ是等腰三角形时，m的值为m＝4﹣，2；
②存在，理由如下：
当点N'落在坐标轴上时，存在两种情形：
如图1，当点N'落在y轴上时，点P（m，﹣m2+m+2）在直线y＝x+2上，

∴﹣m2+m+2＝m+2，
解得m1＝1，m2＝0（舍去），
∴P（1，3）；
如图2，当点N'落在x轴上时，△CON'∽△N'MP，

∴，
∴，
∵PN＝2﹣（﹣m2+m+2）＝m（m﹣3），
∴N'M＝＝m﹣3，
∴ON'＝OM﹣MN＝m﹣（m﹣3）＝3，
在△CON'中，CN'＝＝，
∴m＝，
则P（，），
综上所述，当点N′落在坐标轴上时，点P的坐标为（1，3）或（，）．
14．解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），
∴2＝a（0+6）（0﹣2），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；
针对于抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2），
令y＝0，则﹣（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；
（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∵C（0，2），
∴OC＝OE＝2，
∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，
∵△CME是等腰三角形，
∴①当ME＝MC时，
∴∠ECM＝∠CED＝45°，
∴∠CME＝90°，
∴M（﹣2，2），
②当CE＝CM时，
∴MM1＝CM＝2，
∴EM1＝4，
∴M1（﹣2，4），
③当EM＝CE时，
∴EM2＝EM3＝2，
∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2），
即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；
（3）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴D（﹣2，），
令y＝0，则（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣6或x＝2，
∴点A（﹣6，0），
∴直线AD的解析式为y＝x+4，
过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，
∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，
由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，
由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，
∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），
∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，
设点P（m，n），
∴OQ＝m，PQ＝n，
∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，
∴点P'（n﹣2，2+m），
∵点P'在直线AD上，
∴2+m＝（n﹣2）+4①，
∵点P在抛物线上，
∴n＝﹣（m+6）（m﹣2）②，
联立①②解得，m＝或m＝，
即点P的横坐标为或．