2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练10：与几何变换相关的综合题（附答案）

这是一份2021年中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练10：与几何变换相关的综合题（附答案），共21页。试卷主要包含了如图，点A在抛物线L，如图，已知抛物线C1，已知抛物线y＝x2+x﹣2等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学复习二次函数压轴题分类训练10：与几何变换相关的综合题（附答案）
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，过点A（﹣2，﹣2），点P（m，n）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）若向上平移抛物线，使顶点落在x轴上，原来的点P平移后的对应点为P'，若OP'＝OP，求点P的坐标；
（3）若△AOB的面积等于△AOP的面积，直接写出m的值．





2．将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到如图抛物线y2的图象，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值．




3．如图，点A（﹣2，0），B（4，0），C（3，3）在抛物线L：y＝ax2+bx+c上，连接BC，过点C作CD⊥BC，交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求直线CD的解析式，并直接回答：把抛物线L向下平移多少个单位长度将经过点D？
（3）试在y轴的正半轴上求一点F？使得△FDC是等腰三角形，写出点F的坐标．




4．已知抛物线的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．






5．如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P1与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点B的坐标为（1，0）；
（1）由图象可知，抛物线C1的开口向　 　，当x＞﹣2时，y随x的增大而　 　；
（2）求a的值；
（3）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P．M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．

6．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y＝﹣x2的图象为l1．
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图2，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标；
（3）设P为y轴上一点，且S△ABC＝S△ABP，求点P的坐标；
（4）请在图2上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使△QAB为等腰三角形？若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．








7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，
（1）求a、b、c的值．
（2）若将该函数绕点B旋转180°，求旋转后的解析式；
（3）若将该函数作关于x轴对称，求轴对称后的函数解析式．





8．已知抛物线y＝x2+x﹣2
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）将抛物线y＝x2+x﹣2沿y轴向上平移，平移后与直线y＝x+2的一个交点为点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，求抛物线平移了几个单位；
（3）将抛物线y＝x2+x﹣2在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其他部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

9．已知在平面直角坐标系中，抛物线l1的解析式为y＝﹣x2，将抛物线l1平移后得到抛物线l2，若抛物线l2经过点（3，﹣1），且对称轴为x＝1．
（1）求抛物线l2的解析式；
（2）求抛物线l2的顶点坐标；
（3）若将抛物线l2沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l3，设抛物线l3的顶点坐标为B，直线OB于抛物线l3的另一个交点为C，当OB＝OC时，求C点坐标．






10．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象所在的位置如图所示：
（1）请根据图象信息求该二次函数的表达式；
（2）将该图象（x＞0）的部分，沿y轴翻折得到新的图象，请直接写出翻折后的二次函数表达式；
（3）在（2）的条件下与原有二次函数图象构成了新的图象，记为图象G，现有一次函数 y＝x+b的图象与图象G有4个交点，请画出图象G的示意图并求出b的取值范围．






11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
（2）设二次函数顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的表达式；
（3）当线段PB最短时，二次函数的图象是否过点Q（a，a﹣1），并说理由．

12．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为D，且经过A（1，0）；B（0，2）两点，
将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1．
（1）求新抛物线的解析式；
（2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标．




13．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，E两点．
（1）求此抛物线的函数关系式．
（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．
（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是　 　．





14．如图，抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．
（3）将抛物线y＝﹣x2+5x+n沿着坐标轴方向经过怎样的一次平移可以使它使它经过原点．




15．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（5，3），点C（0，8），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．


参考答案
1．解：（1）依据题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣2，
∵y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3，
∴顶点B的坐标为（﹣1，﹣3）．
（2）设点P的坐标为P（x，x2+2x﹣2），根据题意可知平移后点B落在x轴上，
∴图象向上平移了3个单位，则点P′的坐标为P′（x，x2+2x+1）．
∵OP′＝OP且PP′⊥x轴，
∴点P与点P′关于x轴对称，
∴x2+2x﹣2+x2+2x+1＝0，整理得：2x2+4x﹣1＝0，解得：x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
∴点P的坐标为（﹣1+，﹣）或（﹣1﹣，﹣）．
（3）如图所示：过点B作BP∥OA交抛物线与点P．

设直线OA的解析式为y＝kx，将A（﹣2，﹣2）代入得：﹣2k＝﹣2，解得k＝1，
∴OA的解析式为y＝x．
∵BP∥OA，
∴设BP的解析式为y＝x+b，将点B（﹣1，﹣3）代入得：﹣1+b＝﹣3，解得b＝﹣2，
∴直线BP的解析式为y＝x﹣2，
将y＝x﹣2与y＝x2+2x﹣2联立，解得：x＝﹣1或x＝0，
∴m＝0．
在y轴上取点C（0，2），过点C作CP平行与OA，交抛物线与P′和P″，则CP的解析式为y＝x+2，
将y＝x+2代入y＝x2+2x﹣2得：x+2＝x2+2x﹣2，整理得：x2+x﹣4＝0，解得：x＝或x＝，
∴m＝或m＝，
综上所述，m的值为0或或．
2．解：∵抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，
∴抛物线y2的函数解析式为y＝2（x﹣2）2＝2x2﹣8x+8，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，
∵直线x＝t与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2﹣8t+8），
∴AB＝|2t2﹣8t+8﹣t|＝|2t2﹣9t+8|，
AP＝|t﹣2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，
∴|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2①或2t2﹣9t+8＝﹣（t﹣2）②，
整理①得，t2﹣5t+5＝0，
解得t1＝，t2＝，
整理②得，t2﹣4t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝3，
综上所述，满足条件的t值为：1或3或或．
故答案为：1或3或或．

3．解：（1）由抛物线与X轴的两个交点A、B的坐标，
可以由两根式设抛物线解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），
然后将C点坐标代入得：a（3+2）（3﹣4）＝3，
解得：a＝﹣，
故抛物线解析式是：y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+，
顶点M的坐标为（1，）；
（2）由C、B两点坐标利用待定系数法可以求得CB直线方程为：y＝﹣3x+12，
∵B（4，0）、C（3，3），
∴BC＝，
设点D坐标为（0，a）（a＞0），
则CD＝，
BD＝，
∵CD⊥CB，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴a＝2，
∴点D坐标为（0，2）
设CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
即
∴CD直线方程为：y＝x+2；
∵抛物线y＝﹣x2+x+于y轴交于（0，），
∴﹣2＝，
∴把抛物线L向下平移个单位长度将经过点D；
（3）∵D（0，2），C（3，3），
∴CD＝，
当DF＝CD＝时，△FDC是等腰三角形，
∴F（0，2+），
当DF＝CF时，△FDC是等腰三角形，
过F作FG⊥CD于G，
∴DG＝CD＝，
过C作CH⊥DF于H，
∴CH＝OH＝3，
∴DH＝1，
∵∠CHD＝∠FGD＝90°，∠CDH＝∠FDG，
∴△CDH∽△FDG，
∴，
∴＝，
∴DF＝5，
∴F（0，7），
当CF＝CD时，
∵CH⊥DF，
∴DF＝2DH＝2，
∴OF＝4，
∴F（0，4），综上所述，当△FDC是等腰三角形，点F的坐标为（0，2+）或（0，7）

4．解：点P的坐标为（﹣2，﹣5），
令y＝0，则（x+2）2﹣5＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣5，
所以，点B的坐标为（1，0），
∵点P、M关于点B对称，
∴点M的坐标为（4，5），
∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得到C3，
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
5．解：（1）由图象可知，抛物线C1的开口向上，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；
故答案为：上，增大；
（2）把点B的坐标（1，0）代入y＝a（x+2）2﹣5得，0＝a（1+2）2﹣5，
解得a＝；
（3）设抛物线C3：y＝a′（x﹣h）2+k，
∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，C3是C2向右平移得到的，
∴a′＝﹣，
∵点P．M关于点O成中心对称，且P（﹣2，﹣5），
∴点M（2，5），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+5．
6．解：（1）让抛物线过点A，即把点A的坐标代入计算，得到，b+c＝﹣1，不过点B，则把点B的坐标代入得到3b+c≠8，依此两个要求，随便找一个数即可．故平移后的抛物线的一个解析式y＝﹣x2+2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣5等（满足条件即可）；

（2）设l2的解析式为y＝﹣x2+bx+c，联立方程组，
解得：，则l2的解析式为y＝﹣x2+x﹣．
点C的坐标为（）．
（3）如答图1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，
则AD＝2，CF＝，BE＝1，DE＝2，DF＝，FE＝．
得：S△ABC＝S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD＝．
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y＝x﹣，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，h），
①当点P位于点G的下方时，，连接AP、BP，
则S△ABP＝S△BPG﹣S△APG＝﹣﹣h，又S△ABC＝S△ABP＝，得，点P的坐标为（0，）．
②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）．
综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，）
（4）作图痕迹如答图2所示．
若AB为等腰三角形的腰，则分别以A、B为圆心，以AB长为半径画圆，交抛物线分别于Q1、Q2；
若AB为等腰三角形的底边，则作AB的垂直平分线，交抛物线分别于Q3、Q4，
由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置．
7．解：（1）由于A、B两点关于直线x＝2对称，则B（6，0），将A、B、C三点代入二次函数得：
，解得：．
（2）旋转后，开口向上，对称轴为直线x＝10，A点坐标为（14，0），C点坐标为（10，﹣4），
∴点C是顶点坐标，
设旋转后的解析式为：y＝a（x﹣10）2﹣4，
∴a（14﹣10）2﹣4＝0，
解得：a＝，
∴旋转后的解析式为；
（3）若作该函数关于x轴对称的函数，则x＝x'，y＝y'，
y＝﹣ax2﹣bx﹣c＝0.25x2﹣x﹣3，
∴轴对称后的函数解析式为．
8．解：（1）令y＝0，则x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（1，0）；
（2）设抛物线向上平移了n个单位，则平移后的抛物线为y＝x2+x﹣2+n，
如图1，∵抛物线y＝x2+x﹣2+n与y轴的交点为（0，n﹣2），
∴P的纵坐标为n﹣2，代入y＝x+2得，x＝n﹣4，
∴P（n﹣4，n﹣2），
∴抛物线y＝x2+x﹣2+n的对称轴为x＝＝n﹣2，
由抛物线y＝x2+x﹣2+n可知对称轴为x＝﹣，
∴n﹣2＝﹣，解得n＝3，
∴当PQ∥x轴时，求抛物线平移了3个单位；
（3）∵y＝x2+x﹣2＝（x+）2﹣，
∴抛物线y＝x2+x﹣2的顶点坐标为（﹣，﹣），
∴抛物线y＝x2+x﹣2图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣（x+）2+（﹣2≤x≤1），如图2，
把直线y＝x向上平移，当平移后的直线y＝x+b过点A时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，所以×（﹣2）+b＝0，解得b＝1；
当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣（x+）2+（﹣2≤x≤1）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，即﹣（x+）2+＝x+b有相等的实数解，整理得x2+x+b﹣2＝0，△＝（）2﹣4（b﹣2）＝0，解得b＝，
所以b的值为1或．

9．解：（1）根据题意，设抛物线l2的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+k，
将点（3，﹣1）代入函数解析式，
∴﹣1＝﹣4+k，
解得：k＝3，
∴抛物线l2的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）∴抛物线l2的顶点坐标为（1，3）；
（3）设l3的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3+m，
∴B点坐标为（1，3+m），
∵B，O，C三点共线且OB＝OC，
∴C点坐标为（﹣1，﹣3﹣m），
∵C在l3上，
∴﹣（﹣1﹣1）2+3+m＝﹣3﹣m，
∴m＝﹣1，
∴C点坐标为（﹣1，﹣2）．
10．解：（1）由图象可知抛物线经过点（1，0），（3，0），（0，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
代入（0，3）得，3a＝3，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3），
即：y＝x2﹣4x+3．
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∵顶点为（2，﹣1），
∴沿y轴翻折得到新的图象顶点为（﹣2，﹣1），
∴翻折后的二次函数表达式y＝x2+4x+3（x＜0）；
（3）示意图正确

解
整理得：
∵△＝
解得：，
当过（0，3）时，b＝3，
所以综上所述符合题意的b的取值范围是．
11．解：（1）设直线OA的解析式为y＝kx，
∵A（2，4），
∴2k＝4，解得k＝2，
∴线段OA所在直线的函数解析式为y＝2x；
（2）∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动，
∴y＝2m（0≤m≤2），
∴M（m，2m），
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m，
∴当x＝2时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2），
∴PB＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3（0≤m≤2），
∴当m＝1时，PB最短，
当PB最短时，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2；
（3）若二次函数的图象是过点Q（a，a﹣1）
则方程a﹣1＝（a﹣1）2+2有解．
即方程a2﹣3a+4＝0有解，
∵△＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7＜0．
∴二次函数的图象不过点Q．
12．解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴，
解得，
抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；
∵A（1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），
当x＝3时，由y＝x2﹣3x+2得y＝2，
可知抛物线y＝x2﹣3x+2过点（3，2），
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y2＝x2﹣3x+1；
（2）∵点N在y＝x2﹣3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02﹣3x0+1），
将y＝x2﹣3x+1配方得y＝（x﹣）2﹣，
∴其对称轴为直线x＝．
①0≤x0≤时，如图①，
∵S△NBB1＝2S△NDD1，
∴×1×x0＝2××1×（﹣x0），
∵x0＝1，
此时x02﹣3x0+1＝﹣1，
∴N点的坐标为（1，﹣1）．
②当x0＞时，如图②，
同理可得×1×x0＝2××（x0﹣），
∴x0＝3，
此时x02﹣3x0+1＝1，
∴点N的坐标为（3，1）．
③当x＜0时，由图可知，N点不存在，
综上，点N的坐标为（1，﹣1）或（3，1）．
13．解：（1）由题意，点E的坐标为（2，1），
则，解得，
∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．
（2）∵矩形ABCO的中心坐标为（﹣，1），
∴1＝﹣x2+x+，
解得x＝﹣或2，
∴平移距离d＝﹣﹣（﹣）＝．
（3）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵E（2，1），
∴平移距离d＝或﹣1＝，
故答案为或．
14．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+5x+n经过点A（1，0）
∴n＝﹣4
∴y＝﹣x2+5x﹣4；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x﹣4，
∴令x＝0，则y＝﹣4，
∴B点坐标（0，﹣4），AB＝，
①当PA＝AB时，PA＝AB，则有OB＝OP
此时P（0，4）
②当PB＝AB时，|PB|＝，
故P（0，）；P（0，﹣）
因此P点的坐标为P（0，4）；P（0，）；P（0，﹣）

（3）将抛物线y＝﹣x2+5x﹣4沿着坐标轴方向向左平移1个，或向左平移4个，或向上平移4个均平移可以使它使它经过原点．
15．解：（1）把点A（5，3），点C（0，8）代入二次函数y＝﹣x2+bx+c，得
，
解得，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x+8，配方得y＝﹣（x﹣2）2+12
∴点M的坐标为（2，12）；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴是x＝2．
∵A（5，3），AB∥x轴，
∴AB＝6，D（0，3）
∵C（0，8），
∴CD＝5，
∴△ABC的面积＝AB•CD＝×6×5＝15，
即△ABC的面积＝15；
（3）设直线AC解析式为y＝kx+b，把点A（5，3），C（0，8）代入，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8，对称轴直线x＝2与△ABC两边分别交于点E、点F，
把x＝2代入直线AC解析式y＝﹣x+8，
解得y＝6，则点E坐标为（2，6），点F坐标为（2，3）
∴3＜12﹣m＜6，解得6＜m＜9．