考点01 代数式与整式-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点四 代数式与整式

知识点整合

1.代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

2．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.

3．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.

4．整式：单项式和多项式统称为整式.

5．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

考向一 代数式

典例引领

1．（2020·多伦县第四中学七年级期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．

（1）直接写出a+b，cd，m的值；

（2）求的值．

【答案】（1）a+b=0，cd=1，m=±2；（2）3或-1

【分析】

（1）根据相反数、倒数、绝对值的性质求解即可；

（2）分两种情况：①当时；②当时，分别代入计算即可．

【详解】

（1）∵a、b互为相反数

∴

∵c、d互为倒数

∴

∵m的绝对值为2

∴；

（2）①当时

②当时

故原式的值为3或-1．

【点睛】

本题考查了代数式的运算问题，掌握相反数、倒数、绝对值的性质是解题的关键．

2．（2017·深圳市高级中学七年级期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形．

仔细观察，找出规律，解答下列各题：

⑴第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；

⑵第n个图形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)

⑶若f(n)=2n−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求的值．

⑷请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由?

【答案】17    25    (4n+1)   

【解析】

试题分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．

试题解析：（1）第4个图案中火柴有4×4+1=17；

第6个图案中火柴有4×6+1=25；

（2）当n=1时，火柴的根数是4×1+1=5；

当n=2时，火柴的根数是4×2+1=9；

当n=3时，火柴的根数是4×3+1=13；

所以第n个图形中火柴有4n+1．

（3）f(1)=2×1−1=1，

f(2)=2×2−1=3，

f(3)=2×3−1=5，

= =   =2017.

（4）4×1+1+4×2+1+⋯+4×2017+1

=4×（1+2+⋯+2017）+1×2017

=4××（1+2017）×2017+2017

=2×（1+2017）×2017+2017

=4037×2017.

∴是2017倍数.

3．（2019·河南八年级期末）若x+y=3，且(x+2)(y+2)=12．

（1）求xy的值；

（2）求x2+3xy+y2的值．

4．如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．

（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；

（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．

5．（2020·银川九中英才学校七年级期中）小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）

⑴请用代数式表示装饰物的面积：________，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是______（结果保留π）

⑵当a=，b=1时，求窗户能射进阳光的面积是多少?（取π≈3）

⑶小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大；如果更大，那么大多少？

变式拓展

1．（2020·河北七年级期中）已知：关于、的多项式 与多项式的和的值与字母的取值无关，求代数式的值.

2．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值为3，试求(a＋b)÷108－e2÷[(－cd)2 017－2]的值．

3．（1）已知＝9，＝5，且＝－(a－b)，求的值；

（2）若与互为相反数，求的值。

3．观察等式找规律：

①第1个等式：22﹣1=1×3；

②第2个等式：42﹣1=3×5；

③第3个等式：62﹣1=5×7；

……

（1）写出第5个等式：                           ；

第6个等式：                           ；

（2）写出第n个等式（用字母n表示）：                            ；

（3）求的值．

4．（2017·深圳市高级中学七年级期中）如果代数式的值与字母x所取的值无关，试求代数式的值．

5．如图所示，用棋子摆成的“上”字：

第一个“上”字    第二个“上”字   第三个“上”字

如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：

（1）第四、第五个“上”字分别需用　   　和　   　枚棋子．

（2）第n个“上”字需用　   　枚棋子．

（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？

6．小丽暑假期间参加社会实践活动，从某批发市场以批发价每个m元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n元到市场出售．

（1）求售出100个手机充电宝的总售价为多少元（结果用含m，n的式子表示）？

（2）由于开学临近，小丽在成功售出60个充电宝后，决定将剩余充电宝按售价8折出售，并很快全部售完．

①她的总销售额是多少元？

②相比不采取降价销售，她将比实际销售多盈利多少元（结果用含m、n的式子表示）？

③若m=2n，小丽实际销售完这批充电宝的利润率为　　（利润率=利润÷进价×100%）

考向二 整式

典例引领

1．（2020·四川外国语大学附属外国语学校七年级期中）下列说法正确的是（    ）

A．的系数是3 B．是6次单项式

C．多项式的项分别为、和5 D．多项式的一次项系数是1

【答案】D

【分析】

根据单项式系数的定义、次数的定义、多项式的项的定义和一次项系数的定义逐一判断即可．

【详解】

解：A．的系数是-3，故本选项错误；

B．是3＋1=4次单项式，故本选项错误；

C．多项式的项分别为、和5，故本选项错误；

D．多项式的一次项系数是1，故本选项正确．

故选D．

【点睛】

此题考查的是单项式和多项式的相关概念，掌握单项式系数的定义、次数的定义、多项式的项的定义和一次项系数的定义是解题关键．

2．（2020·赤峰市松山区大庙中学七年级期中）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2019个单项式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

观察可得出第n个单项式的系数是，的指数是n，所以第n个单项式为，将n=2019代入即可得出答案．

【详解】

由分析可知第n个单项式为，所以第2019个单项式为，

故选C．

【点睛】

本题考查单项式的规律探索，分别找出系数与指数的规律是解题的关键．

3．（2020·长春市第二十一中学七年级期中）下列说法中，正确的是（    ）

A．是单项式 B．是单项式

C．是单项式 D．是单项式

4．（2020·广东北师大南山附属学校七年级期中）下列说法：①倒数等于本身的数是±1；②如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；③有理数可以分为正有理数和负有理数：④多项式是三次三项式，其中正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．（2020·吉林七年级期末）下列说法正确的是（     ）

A．3x2与3y2是同类项 B．单项式-5x2y的系数和次数分别是5、3

C．3.6万精确到千位 D．x（1-）是整式

6．（2020·河北九年级其他模拟）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·江苏七年级期中）观察下列式子：

，

，

，

…

探索以上式子的规律，与计算的结果相等的算式是（    ）

A． B．

C． D．

变式拓展

1．（2020·四川外国语大学附属外国语学校七年级期中）下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律排列组成，其中第①个图形有3个正方形，第②个图形有7个正方形，第③个图形有11个正方形，…，按此规律，第⑨个图形中共有（    ）个正方形．

A．32 B．33 C．34 D．35

2．（2020·甘肃七年级期中）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（    ）个○．

A．6058 B．6059 C．6060 D．6061

3．（2020·渑池县教育体育局教研室七年级期中）若关于，的式子中不含三次项，则______．

4．（2020·乐平市私立创新中学七年级期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上：①；②-x；③；④10；⑤6xy+1；⑥；⑦m2n；⑧2x2-x-5；⑨a7；⑩

单项式：____________________________；

多项式：________________________；

整式：________________________；

5．（2020·赤峰市松山区大庙中学七年级期中）观察下列等式：，，，，，，…，根据这个规律，解答以下问题：

（1）的末位数字是______

（2）求的末位数字．

6．（2020·陕西榆林十二中七年级月考）阅读材料：如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示．

（1）观察一个等比数列，，，，，…，则它的公比         ；如果（为正整数）表示这个等比数列的第项，那么         ，         ．

（2）如果欲求的值，可以按照如下步骤进行：令

……①，等式两边同时乘以2，得……②

由②式减去①式，得，

请按照此解等过程，完成下列各题：

①求的值；

②求的值，其中为正整数．（结果请用含的代数式表示）

7．（2020·广东北师大南山附属学校七年级期中）观察下列各式

，，，……

探索规律，根据规律解答以下问题：

（1）第6个等式是________________；

（2）计算：．

（3）若有理数、满足，试求：

的值．

8．（2020·浙江七年级其他模拟）如图，图1中小正方形的个数为1个；图2中小正方形的个数为：个；图3中小正方形的个数为：个；图4中小正方形的个数为：；…

（1）根据你的发现，求出____________．

（2）根据你的发现，第个图形中有小正方形：___________=_________个．

（3）由（2）中的结论，解答下列问题

已知连续奇数的和：，求的值．

9．（2020·江苏七年级期中）我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百股好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛

（规律探索）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼成长方形：

第（1）个图形中有2张正方形纸片：

第（2）个图形中有张正方形纸片；

第（3）个图形中有张正方形纸片；

第（4）个图形中有张正方形纸片；

．．．．．．

请你观察上述图形与算式，完成下列问题：

（规律归纳）

（1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）；

（2）根据前面的发现我们可以猜想：______（用含的代数式表示）；

（规律应用）

（3）根据你的发现计算：

①；

②