考点01 实数的概念-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

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考点01 实数
知识点整合
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．（1）按照定义分类

（2）按照正负分类

注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为.
（3）.
10．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.
重点考向
考向一 实数的有关概念
此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.
典例引领
1．（2020·柳州市柳林中学中考真题）﹣的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．﹣ D．
【答案】D
【分析】
直接利用绝对值的定义得出答案．
【详解】
解：﹣的绝对值是：．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2020·长春市第二十一中学七年级期中）的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】D
【分析】
在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】
解：的相反数为﹣．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
3．（2020·浙江九年级一模）2020的相反数是（ ）
A．2020 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据相反数的定义直接求解即可．
【详解】
解：2020的相反数是，
故选：B．
【点睛】
本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
4．（2020·广西中考真题）有理数2，1，﹣1，0中，最小的数是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【答案】C
【分析】
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】
解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜1＜2，
∴在2，1，﹣1，0这四个数中，最小的数是﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键．
5．（2020·湖南七年级期末）－3相反数是（ ）
A．3 B．－3 C． D．
【答案】A
【分析】
根据相反数的定义可得答案．
【详解】
解：的相反数是
故选A．
【点睛】
本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
6．在-2，0，1，2这四个数中，为负数的是（ ）
A．-2 B．0
C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据负数的定义即可求解.
【详解】
∵-2＜0，故为负数，
故选A.
【点睛】
此题主要正负数的定义，解题的关键是熟知负数小于零.
7．（2020·郑州一中国际航空港实验学校九年级三模）下列各数中比小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比-2小的数是-3．
【详解】
∵|-3|=3，|-1|=1，
又0＜1＜2＜3，
∴-3＜-2，
所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，
故选：A
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
8．在-2,-1,0,1这四个数中，最小的数是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正数大于0，负数小于0，负数绝对值越大值越小即可求解.
【详解】
解：在、、、这四个数中，
大小顺序为：，
所以最小的数是.
故选A.
【点睛】
此题考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用正负数的性质及数轴可以解决问题.
9．（2020·沈丘县槐店镇四中）的绝对值是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的定义“一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离”进行解答即可.
【详解】数轴上表示数-8的点到原点的距离是8，
所以-8的绝对值是8，
故选B.
【点睛】本题考查了绝对值的概念，熟记绝对值的概念是解题的关键.
10．（2020·四川七年级期末）的相反数是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】
因为-+＝0，所以-的相反数是.
故选D.

变式拓展
1．（2020·广东七年级月考）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣1 D．3
2．（2019·全国七年级课时练习）（﹣2）×3的结果是（ ）
A．﹣5 B．1 C．﹣6 D．6
3．-2的倒数是（ ）
A．-2 B． C． D．2
4．（2020·湖南七年级期中）已知，则m，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·四川成都七中八年级期中）16的平方根是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·常州市北郊初级中学七年级期中）下列说法中，错误的有（ ）
①符号相反的数与为相反数；
②当时，；
③如果，那么；
④数轴上表示两个有理数的点，较大的数表示的点离原点较远；
⑤数轴上的点不都表示有理数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2020·高州市新垌第一中学八年级月考）的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
8．若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （   ）
A．12 B．10 C．8或10 D．6
9．（2020·费县第二中学九年级月考）如果y＝++3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．±3
10．（2020·新乐市实验学校八年级月考）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
11．（2019·全国七年级课时练习）8的相反数的立方根是（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
考向二 实数的分类
实数的分类

典例引领
1．下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
分析：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.
详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，
所以无理数有2个，
故选C.
点睛：本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等.
2．下列各数中，，无理数的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
试题分析：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数，因此，由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．故选B．
3．（2020·福建省屏南县第一中学八年级期中）在－2，，，3.14， ，，这6个数中，无理数共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
－2，， 3.14， 是有理数；
，是无理数；
故选C.
点睛:本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如 （0的个数一次多一个）.
4．（2019·江西八年级期中）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．－2与 B．－2与 C．2与（-）2 D．|-|与
【答案】A
【解析】
选项A. －2与 =2，
选项B. －2与 =-2，
选项 C. 2与（-）2=2,
选项D. |-|=与,
故选A.
5．在，，–3.1416 ，π， ， 0.161161116……，中无理数有 （ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
：是分数、-3.1416是小数、是正数这三个数是有理数，
= 、π、0.61161116…、 这四个数是无理数，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．熟练掌握无理数的定义是解题关键.
6．（2020·米易县民族中学校八年级月考）下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（ ）
A．1.414 B． C．﹣ D．0
【答案】B
【解析】
试题分析：根据无理数的定义可得是无理数．故答案选B.
考点：无理数的定义.
7．（2020·济南市长清区孝里中学八年级月考）在实数0.3，0，， ，0.123456…中，无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
因为无限不循环小数是无理数,其中 ,, 0.123456…,是无理数,故选B.
8．在实数，，，中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．
【详解】
解：在实数，，，中＝2，有理数有，共2个．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别.
9．（2020·珠海市第九中学九年级一模）四个数0，1，中，无理数的是（　　）
A． B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
0，1，是有理数，是无理数，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
10．（2020·广东九年级其他模拟）下列实数为无理数的是 （ ）
A．-5 B． C．0 D．π
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
A、﹣5是整数，是有理数，选项错误；
B、是分数，是有理数，选项错误；
C、0是整数，是有理数，选项错误；
D、π是无理数，选项正确.
故选D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
变式拓展
1．（2019·盐城市明达初级中学八年级期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．3.1415 B． C． D．
2．在下列实数、0.31、、、3.602 4×103、、1.212 212 221 …(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（　　）
A．3 B．0 C． D．0.35
4．下列各数中是有理数的是（　　）
A．π B．0 C． D．
5．有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（   ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2020·宁津县育新中学）下列说法：
① -102=-10；
②数轴上的点与实数成一一对应关系；
③﹣2是16的平方根；
④任何实数不是有理数就是无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数；
⑥无理数都是无限小数，
其中正确的个数有( 　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．给出四个实数，2，0，-1，其中负数是（    ）
A． B．2 C．0 D．-1
8．将下列各数填在相应的集合里.
，π，3.141 592 6，-0.456，3.030 030 003…(每两个3之间依次多1个0)，0，，，，
有理数集合：{_____________…};
无理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…};
正实数集合：{　　　　　　　　　　　　　…};
整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}.
9．（2017·武城县四女寺镇明智中学七年级月考）把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣3.1415926，0， ，π，﹣， ，﹣，﹣1.414，，﹣0.2121121112…（每相邻两个2之间依次多一个1）
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}．
10．下列实数：①；②；③；④；；⑤3.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1)；⑥；⑦；⑧0；⑨；⑩.(填序号）
有理数有______；
无理数有______；
正实数有______；
负实数有______；
负分数有______；
非负实数有______.
11．实数，，-8，，，中无理数有__________个．
考向三 近似数和科学记数法
在用科学记数法表示数时，一定要正确确定的值.
典例引领
1．（2017·广西南宁四十九中七年级月考）230 000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题解析：230000=2.3×105
故选C.
2．（2020·无锡市第一女子中学九年级期中）将161000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：161000=1.61×105．故选B．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2019·福建七年级月考）数用科学计数法可表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据科学计数法的表示方法写出即可
【详解】
解:将40000用科学计数法表示为
故选：B
【点睛】
此题考查科学计数法的表示方法，科学计数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值.
4．（2019·辽宁七年级期末）空气的密度是0.001293gcm3，将0.001293用科学计数法表示为（ ）
A．1.293×10-3 B．1.293×103 C．1293×10-6 D．1293×106
【答案】A
【解析】
【分析】
科学计数法是把一个数表示成a×10n,1≤a0，b0，b