考点02 函数的概念及表示-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点二 函数的概念及表示

知识点整合

1．函数

（1）常量和变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．

【注意】①变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变．例如，在s=t中，当s一定时，v、t为变量，s为常量；当t一定时，s、v为变量，而t为常量．

②“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．

③变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．

④判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．

（2）函数的定义

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．

对函数定义的理解，主要抓住以下三点：

①有两个变量．

②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．

③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．

④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.

（3）函数取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．

（4）函数解析式及函数值

函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．

①函数解析式是等式．

②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．

③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的

代数式．

④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．

函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．

（5）函数的图象及其画法

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：

①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．

②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．

③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．

（6）函数的表示方法

函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．

考向一函数的概念

典例引领

1．（2020·陕西高新一中八年级期中）下列各图象中，不表示是的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．

【详解】

由函数的定义可知，选项A、B、D中的函数图象符合函数的定义，选项C中的图象，y与x不是一一对应的，不符合函数的定义，
故选：C．

【点睛】

本题考查函数的图象、函数的概念，解答本题的关键是明确函数的定义，利用数形结合的思想解答．

2．（2020·桐城市第二中学八年级期中）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

在坐标系中，对于的取值范围内的任意一点，通过这点作轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．

【详解】

解：根据题图可知，、、三选项中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；

、对于的任何值，都有二个值与之相对应，则不是的函数；

故选：．

【点睛】

本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．

知识拓展

1．（2020·山西八年级月考）如图，下列各曲线能够表示是的函数的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据函数的定义对每个选项一一判断即可．

【详解】

根据函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，由函数的定义只有A选项符合 ．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查函数的定义，熟记函数的定义是解题关键．

2．（2020·河北九年级其他模拟）下列各式，不能表示是的函数的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据函数的定义对每个选项一一判断即可．

【详解】

A、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．

B、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．

C、，对于x的每一个取值，y都有两个确定的值，不符合函数的定义．

D、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查函数的定义，熟记函数的定义是解题关键．

3．（2020·山东八年级期末）下列式子中，不是的函数的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用函数定义可得答案．

【详解】

解：、，是的函数，故此选项不合题意；

、，是的函数，故此选项不合题意；

、，是的函数，故此选项不合题意；

、，不是的函数，故此选项符合题意；

故选：．

【点睛】

此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．

考向二 函数的解析式

典例引领

1．（2020·陕西九年级其他模拟）变量x，y的一些对应值如下表：

根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是（　　）

A．75 B．﹣75 C．125 D．﹣125

【答案】D

【分析】

根据表格数据得到函数为y＝x3，把x＝﹣5代入求函数值即可．

【详解】

解：根据表格数据画出图象如图：

由图象可知，函数的解析式为y＝x3，

把x＝﹣5代入得，y＝﹣125．

故选择：D．

【点睛】

本题考查三次函数图像与解析式问题，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数之是解题关键．

2．（2020·山西八年级月考）某种商品的售价为每件元，若按现售价的折进行促销，设顾客购买件需要元，则与的函数解析式为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

先根据打折求出现售价，再根据 “需付款=件数×现售价”列出解析式即可．

【详解】

解：∵商品的售价为每件元，按现售价的折进行促销

∴现售价为：100×70%=70元

根据“需付款=件数×现售价”可得：．

故答案为C．

【点睛】

本题考查了打折和列函数解析式，正确审题、明确量之间的关系是解答本题的关键．

变式拓展

1．（2019·合肥科学岛实验中学八年级月考）若以周长为12长方形的长为自变量x，宽的长度y为x的函数，则它的表达式是（       ）

A．y=-x+6（0＜x＜6） B．y=-x+6（0＜x≤3） C．y=-2x+12（0＜x＜6） D．y=-x+6（3＜x＜6）

【答案】D

【分析】

根据长方形的周长公式，可得y和x之间的函数解析式，由x＞0，-x+6＞0，x＞y ，从而可以得出x的取值范围．

【详解】

解：∵长方形的周长为12

∴y=-x+6

∵x＞0，-x+6＞0，x＞y

∴3＜x＜6

故选：D

【点睛】

本题考查了函数关系式，函数自变量的取值范围，利用矩形周长公式得出不等式组是解题关键．

2．（2020·四川八年级期末）一辆汽车从甲地以50 km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150 km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是(　　)

A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3) C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)

【答案】D

【分析】

根据路程、时间、速度之间的关系可得s=150-50t，根据路程和速度计算出t的取值范围即可．

【详解】

解：由题意得：汽车t小时行驶的路程为50t，
因此汽车距乙地的距离s=150-50t（0≤t≤3），
故选D．

【点睛】

此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

3．（2020·全国八年级课时练习）我们知道，在弹性限度内，弹簧挂上重物后会伸长．已知一根弹簧的长度与所挂重物的质量之间的关系如下表，则下列说法错误的是（    ） 

A．在这一变化过程中，重物的质量是自变量，弹簧的长度是因变量

B．当所挂重物的质量是时，弹簧的长度是

C．在弹性限度内，当所挂重物的质量是时，弹簧的长度是

D．当不挂重物时，弹簧的长度应为

【答案】C

【分析】

根据表格数据可得与成一次函数关系，设，取两点代入可得出与的关系式，进而分析得出答案．

【详解】

解：由表格可得：随的增大而增大；在这一变化过程中，重物的质量是自变量，弹簧的长度是因变量，故选项正确，不合题意；

设，

将点，代入可得：，

解得：．

故，

当时，，故选项正确，不合题意；

当时，，故选项错误，符合题意；

当时，，即弹簧不挂物体时的长度是，故选项正确，不合题意．

故选：．

【点睛】

本题考查了函数关系式及函数值的知识，解答本题的关键是观察表格中的数据，得出y与x的函数关系式．

考向三 函数自变量的取值范围

典例引领

1．（2019·义乌市荷叶塘初级中学八年级月考）函数的自变量x的取值范围是（    ）

A． B．且 C． D．

【答案】B

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【详解】

根据题意得，且，

所以且．

故选B．

【点睛】

本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

2．（2020·重庆八中八年级期中）按如图所示的运算程序，若输入的的值为-5，则输出的值为（    ）

A．16 B．-14 C． D．-5

【答案】C

【分析】

由题意得：把代入： 从而可得答案．

【详解】

解：由输入的的值为

故选：

【点睛】

本题考查的是利用程序框图求函数的值，掌握以上知识是解题的关键．

变式拓展

3．（2020·乌拉特前旗第六中学）函数中自变量的取值范围（   ）

A．x≠2 B．x>0 C．x≥0且x≠2 D．x>0且x≠2

【答案】C

【分析】

根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，据此解题即可．

【详解】

由题意得，函数中自变量的取值范围为：，且分母，

故选：C．

【点睛】

本题考查函数自变量的取值范围，其中涉及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

4．（2020·合肥市第四十五中学八年级期中）函数y=中，自变量x的取值范围是（   ）

A．x≤0 B．x≥0 C．x<1且x≠0 D．x≤l且x≠0

【答案】D

【分析】

根据二次根式和分式有意义的条件解答即可．

【详解】

解：由题意得：

解得：x≤1且x≠0．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解答本题的关键．

5．（2020·重庆八中八年级课时练习）在函数中，自变量的取值范围是（    ）

A． B．且 C． D．

【答案】A

【分析】

由题意直接根据二次根式的性质即被开方数大于等于0进行分析求解即可．

【详解】

解：由题意可知：，

解得：．

故选：A．

【点睛】

本题考查函数自变量的取值范围，注意掌握二次根式的被开方数是非负数．

考向四 函数图像分析

1．（2020·射阳县第二初级中学八年级期中）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的个数是（　　）

①每分钟的进水量为5升．

②每分钟的出水量为3.75升．

③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升．

④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】

结合题意和图像运用一次函数的知识对四种说法逐一判断．

【详解】

由题知前4分钟只开进水管且每分钟的进水量是常数知结合图像知，每分钟进水量为（升），故第①种说法正确；由第4到第8分钟的图像结合题意知，每分钟出水量为（升），故第②种说法正确；由图结合题意知第8分种水池的水量为（升）故第③种说法正确；由题意和图知第12分钟后只开放水管所以放完水还需时间（分钟），从进水开始到放完水需（分钟），故第④种说法正确．

所以正确说法的个数为4个．

故选：D．

【点睛】

此题考查一次函数的应用，理解图像，从图像提取相关信息求得k值并理解k值的实际意义是关键．

2．（2020·四川成都实外七年级期中）如图中的图象（折线）描述了一汽车在某一直路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在行驶过程中的第3小时到第4.5小时这段时间平均速度为80千米/时；④汽车自出发后1.5小时内的行驶速度比第2小时至3小时之间的行驶速度大．其中正确的说法共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】

根据函数图象结合实际意义进行逐项分析．

【详解】

①行驶的最远距离是120千米，共行驶240千米，故①错误；

②根据图象从1.5时到2时，是停留时间，停留0.5小时，故②正确；

③汽车在行驶过程中的第3小时到第4.5小时这段时间平均速度为：千米/时，故③正确；

④汽车出发后1.5小时内的行程速度为：千米/时，

汽车出发第2小时至第3小时之间的速度是：千米/时，

∵，故④正确．

故正确的说法是：②③④．

故选：C．

【点睛】

本题考查了函数图象与行程问题，能够明确分辨函数图象上各阶段所代表的实际意义是解决问题的关键．

变式拓展

1．（2020·宁波市曙光中学九年级月考）如图，在边长仅为4的正方形，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当点到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为．则与的函数关系的大致图象是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由题意易得，，，则可分时，在线段上，当时，，在线段上，然后根据三角形面积计算公式进行求解即可．

【详解】

∵，

∴，且，

又∵，

∴时，在线段上，

当时，，在线段上，

∴当时，．

当时，在线段上，

此时以为底，高为4，

则，

∴，

画出图象：

故选C．

【点睛】

本题主要考查函数图像与几何综合，关键是根据几何知识得出函数解析式，然后由此得到函数图像即可．

2．（2020·安徽九年级三模）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发、沿A→D→B以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为（    ）

A． B．2 C． D．2

【答案】C

【分析】

通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a．

【详解】

过点D作DE⊥BC于点E

由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2，

∴AD=a，

∴DE•AD＝a，

∴DE=2，

当点F从D到B时，用s，

∴BD=，

在Rt△DBE中，

BE===1，

∵四边形ABCD是菱形，

∴EC=a－1，DC=a，

在Rt△DEC中，

解得a=，

故选C．

【点睛】

本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．

3．（2020·安徽八年级期中）如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，途中由于遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，为了按时到单位，小刚加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到单位．小刚行进的路程(千米）与行进时间(小时）的函数图象的示意图，你认为正确的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

【详解】

解：随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除A；
由于停下修车误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除B；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡，排除C，D正确．
故选：D．

【点睛】

此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的路程s之间的关系采用排除法求解即可．