小题专练04-2021届高考数学二轮复习新高考版（含解析）

这是一份小题专练04-2021届高考数学二轮复习新高考版（含解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
小题专练04三角函数、平面向量与解三角形(B)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC中,A=30°,a=7,则=(    ).A.16  B.15  C.14  D.132.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b)⊥b,则实数λ的值为(    ).A.或   B.C.   D.23.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量=(3,0),=(0,1),=t,则当||取最小值时,实数t=(    ).A.   B.  C.  D.14.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos=,则cos的值为(    ).A. B. C.- D.-5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f(x)=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,且g(-x)=g(x),则φ的一个可能值为(    ).A.   B.   C.   D.6.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D,E分别为AB,BC的中点,则·=(    ).A. B. C.2 D.17.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=cos-2sincosx+,x∈R,给出下列四个结论:①函数f(x)的最小正周期为4π;②函数f(x)的最大值为1;③函数f(x)在上单调递增;④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=sin 2x.其中正确结论的个数是(    ).A.1 B.2 C.3 D.48.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A向北偏东60°方向前进10 m到达点B,在点B处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是(    ).A.5 m B.10 mC.10 m或5 m D.15 m二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:平面向量,★★)已知a,b是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是(    ).A.|a+2b|=B.a与b垂直C.a与a-2b的夹角为D.|a-2b|=510.(考点:三角函数的基本性质,★★)下列命题正确的是(    ).A.若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan βB.函数y=sin(π-2x)是偶函数C.y=sin|x|是周期为2π的周期函数D.函数y=cos的图象关于点成中心对称11.(考点:解三角形,★★)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值可能为(    ).A. B. C. D.12.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则下列结论正确的是(    ).A.-≤f(x)≤B.f(x)在区间上只有1个零点C.2π为f(x)的一个周期D.直线x=为f(x)图象的一条对称轴三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:三角函数的性质,★★)函数f(x)=cos2x-2sin x的最大值为        . 14.(考点:平面向量的数量积,★★)若|a|=,|b|=4,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角的余弦值是        . 15.(考点:利用正、余弦定理解三角形,★★)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若c=,b=,B=150°,则△ABC的面积为        . 16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)设函数f(x)=sin 2x+2cos2x,则函数f(x)的最小正周期为        ;若对于任意x∈R,都有f(x)≤m成立,则实数m的取值范围为        .    答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC中,A=30°,a=7,则=(    ).A.16 B.15 C.14 D.13【解析】依题意,利用正弦定理可得=2R==14,所以==2R=14.【答案】C2.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b)⊥b,则实数λ的值为(    ).A.或   B.C.   D.2【解析】由题意可得3a-2b=(4,-3-2λ),∵(3a-2b)⊥b,∴(3a-2b)·b=(4,-3-2λ)·(1,λ)=0,即2λ2+3λ-4=0,解得λ=或λ=.故选A.【答案】A3.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量=(3,0),=(0,1),=t,则当||取最小值时,实数t=(    ).A. B. C. D.1【解析】由=t,得=+t(-)=(3,0)+t[(0,1)-(3,0)]=(3-3t,t),所以||===,故当t=时,||取到最小值.【答案】C4.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos=,则cos的值为(    ).A. B. C.- D.-【解析】由题意得cos=cos=cos=2cos2-1=2cos2-1=-.【答案】D5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f(x)=sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,且g(-x)=g(x),则φ的一个可能值为(    ).A. B. C. D.【解析】由题意可得g(x)=sin,又g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,故-2φ-=kπ+,k∈Z,所以φ=--,k∈Z,所以当k=-1时,φ=.故选D.【答案】D6.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D,E分别为AB,BC的中点,则·=(    ).A. B. C.2 D.1【解析】由题意可得=+,=-,所以·=·-=||2-||2-·=×9-×1-×3×1×cos 30°=.【答案】A7.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=cos-2sincosx+,x∈R,给出下列四个结论:①函数f(x)的最小正周期为4π;②函数f(x)的最大值为1;③函数f(x)在上单调递增;④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=sin 2x.其中正确结论的个数是(    ).A.1 B.2 C.3 D.4【解析】f(x)=cos-sin=cos 2xcos+sin 2xsin-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.f(x)的最小正周期T==π,故①错误;∵x∈R,∴sin∈[-1,1],即f(x)的最大值为1,故②正确;当x∈时,2x-∈,此时f(x)不单调,故③错误;将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g(x)=f=sin2-=sin,故④错误.故选A.【答案】A8.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A向北偏东60°方向前进10 m到达点B,在点B处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是(    ).A.5 m B.10 mC.10 m或5 m D.15 m【解析】设水柱底部为点C,顶端为点D,CD的高度为h m.由题意知AC==h,BC==h,∠BAC=90°-60°=30°.在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos 30°,∴h2=(h)2+102-2×10×h×,即h2-15h+50=0,解得h=10或h=5.故选C.【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:平面向量,★★)已知a,b是单位向量,且a+2b=(1,-2),则下列结论正确的是(    ).A.|a+2b|=B.a与b垂直C.a与a-2b的夹角为D.|a-2b|=5【解析】由a+2b=(1,-2)两边平方,得|a|2+|2b|2+4a·b=12+(-2)2=5,则|a+2b|=,所以A选项正确;因为a,b是单位向量,所以1+4+4a·b=5,得a·b=0,所以B选项正确;|a-2b|2=|a|2+|2b|2-4a·b=5,所以|a-2b|=,所以D选项错误;cos <a,a-2b>===,所以a与a-2b的夹角不为,所以C选项错误.故选AB.【答案】AB10.(考点:三角函数的基本性质,★★)下列命题正确的是(    ).A.若α,β是锐角,且α>β,则tan α>tan βB.函数y=sin(π-2x)是偶函数C.y=sin|x|是周期为2π的周期函数D.函数y=cos的图象关于点成中心对称【解析】对于选项A,y=tan x在上为增函数,故选项A正确;对于选项B,因为y=sin(π-2x)=sin 2x为奇函数,故选项B不正确;对于选项C,作出函数y=sin |x|的大致图象如图所示,由图象可知,函数y=sin |x|为偶函数,图象关于y轴对称,不具有周期性,故选项C错误;对于选项D,当x=时,x+=,所以y=cos=0,所以函数y=cos的图象关于点成中心对称,故选项D正确.故选AD.【答案】AD11.(考点:解三角形,★★)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值可能为(    ).A. B. C. D.【解析】根据余弦定理可知a2+c2-b2=2accos B,代入化简可得2accos B·=ac,即sin B=,因为0<B<π,所以B=或B=.故选AC.【答案】AC12.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则下列结论正确的是(    ).A.-≤f(x)≤B.f(x)在区间上只有1个零点C.2π为f(x)的一个周期D.直线x=为f(x)图象的一条对称轴【解析】对于A项,已知f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,x∈R,故A正确;对于B项,令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)在区间上没有零点,故B错误;对于C项,f(x)的最小正周期为π,所以f(x)的周期为kπ,k∈Z,故C正确;对于D项,当x=时,f=sin=1,所以直线x=不是f(x)图象的对称轴,故D错误.故选AC.【答案】AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:三角函数的性质,★★)函数f(x)=cos2x-2sin x的最大值为        . 【解析】由题意得f(x)=1-sin2x-2sin x=-(sin x+1)2+2,因为sin x∈[-1,1],所以当sin x=-1时,f(x)取得最大值,最大值为2.【答案】214.(考点:平面向量的数量积,★★)若|a|=,|b|=4,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角的余弦值是        . 【解析】∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=a2-a·b=3-a·b=0,即a·b=3,∴cos<a,b>===,∴a与b的夹角的余弦值是.【答案】15.(考点:利用正、余弦定理解三角形,★★)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若c=,b=,B=150°,则△ABC的面积为        . 【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即a2+3a-3=0,解得a=或a=(舍去),则△ABC的面积S=acsin B=×××=.【答案】16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)设函数f(x)=sin 2x+2cos2x,则函数f(x)的最小正周期为        ;若对于任意x∈R,都有f(x)≤m成立,则实数m的取值范围为        . 【解析】f(x)=sin 2x+2cos2 x=sin 2x+cos 2x+1=sin+1,所以函数f(x)的最小正周期T==π;函数f(x)的最大值f(x)max=+1,因为对于任意x∈R,都有f(x)≤m成立,所以m≥f(x)max=+1,所以实数m的取值范围为[+1,+∞).【答案】π  [+1,+∞)