专题13 平面向量-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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一、基本概念
1. 向量的概念：
在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．
2. 向量的表示：
①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．
②字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后．
3.相等向量：
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．
4. 向量共线或平行：
通过有向线段AB的直线，叫做向量AB的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于向量b，记作a∥b．
5. 零向量：
长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0．
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
二、平面向量的线性运算
1. 向量的加法：
(1)向量加法的三角形法则：
已知向量a,b，在平面上任取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a和b的和（或和向量），记作a+b，即a+b=AB+BC=AC．
(2)向量求和的平行四边形法则：
①已知两个不共线的向量a，b，作AB=a，AD=b，则A，B，D三点不共线，以AB，AD 为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC=a+b，这个法则叫做向量求和的平行四边形法则．
②向量的运算性质：
向量加法的交换律：a+b=b+a
向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
关于0：a+0=0+a=a
2. 向量的减法：
(1)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作−a．
(2)零向量的相反向量仍是零向量．
(3)差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
(4)一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
3. 数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长
4. 向量共线的条件：
如果a=λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一的一个实数λ，使a=λb．
典例精讲
【典例1】已知|a→|=|b→|=2，且a→⋅b→=0，c→=12(a→+b→)，|d→−c→|=2，则|d→|的取值范围是（ ）
A．[0，22]B．[0，2]C．[0，2]D．[0，1]
【分析】由题意，由于两向量垂直，所以可以将两向量放到坐标系内，如图可令a→=(2，0)，b→=(0，2)，从而转化为坐标情况下向量问题的研究，问题易解
【解答】解：由题意，|a→|=|b→|=2，且a→⋅b→=0，
所以可将两向量放到坐标系内，如图可令a→=(2，0)，b→=(0，2)，
∴c→=12(a→+b→)=（1，1），
令d→=(x，y)，因为|d→−c→|=2，所以向量d→的终点在以（1，1）为圆心，以2为半径的圆上，
又圆到原点的距离是2，所以|d→|的取值范围是[0，22]，
故选：A．
【点评】本题考查向量的模的求法，以及向量的模的几何意义，向量的坐标表示，根据题意，灵活选用基向量法与坐标法可以大大降低解题的难度
【典例2】已知向量a→，b→满足|a→|＝1，且对任意实数x，y，|a→−xb→|的最小值为32，|b→−ya→|的最小值为3，则|a→+b→|＝（ ）
A．7B．5+23C．7或3D．5+23或5−23
【分析】取a→=（1，0），b→=（c，d），|a→−xb→|=(1−xc)2+x2d2，展开利用二次函数的单调性可得：1−c2c2+d2=34，|b→−ya→|=(c−y)2+d2≥3，可得d2＝3．同理可得：c2＝1．
则|a→+b→|=(1+c)2+d2=5+2c，即可得出．
【解答】解：取a→=（1，0），b→=（c，d），
|a→−xb→|=(1−xc)2+x2d2=(c2+d2)(x−cc2+d2)2+1−c2c2+d2≥32，
∴1−c2c2+d2=34，
|b→−ya→|=(c−y)2+d2≥3，可得d2＝3．
解得c2＝1．
则|a→+b→|=(1+c)2+d2=5+2c=3或7．
故选：C．
【点评】本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【典例3】以下说法错误的是（ ）
A．零向量与单位向量的模不相等
B．零向量与任一向量平行
C．向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
D．平行向量就是共线向量
【分析】根据零向量和单位向量的定义即可判断选项A的说法正确，根据平行向量的定义即可判断选项B的说法正确，根据向量平行的定义即可判断选项C的说法错误，根据平行向量和共线向量的定义即可判断选项D的说法正确．
【解答】解：A．零向量的模为0，单位向量的模为1；
∴零向量与单位向量的模不相等；
∴该说法正确；
B．“零向量与任一向量平行“是正确的；
C．向量AB→与向量CD→是共线向量，说明AB→∥CD→；
A，B，C，D可以不在一条直线上；
∴该说法错误；
D．平行向量和共线向量是一个概念；
∴该说法正确．
故选：C．
【点评】考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义．
【典例4】过△ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若AD→+BE→+CF→=0→恒成立，则点M是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．内心
【分析】△ABC内一点M作一条直线l，可将此直线特殊为过点A、B、C三个点，则一条向量为零向量可得答案．
【解答】解：本题采用特殊位置法较为简单．因为过△ABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则|AD|＝0，有BE→+CF→=0→．如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是△ABC的重心．
故选：B．
【点评】本题考查向量的加法运算，将向量转化为两个向量的和，然后抵消掉相反向量是解题的关键，属中档题．
【典例5】在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F在CD上，且DF＝2FC，连接AE，BF交于G点，则DG→=（ ）
A．45AB→−17AD→B．67AB→−47AD→C．57AB→−27AD→D．37AB→−17AD→
【分析】由条件可知存在实数m，n使得AG→=mAE→，FG→=nFB→，然后在三角形ADG和三角形DFG中分别表示DG→，利用向量相等得到关于m，n的方程，解方程即可．
【解答】解：∵E为BC的中点，点F在CD上，且DF＝2FC，连接AE，BF交于G点，如图所示，
∴存在实数m，n使得AG→=mAE→，FG→=nFB→，
∴DG→=DA→+AG→=−AD→+mAE→
=−AD→+m(AB→+BE→)=−AD→+m(AB→+12BC→)
=(12m−1)AD→+mAB→，
DG→=DF→+FG→=23AB→+n(FC→+CB→)
=23AB→+n(13AB→−AD→)
=−nAD→+(23+13n)AB→，
∴12m−1=−nm=23+13n，∴m=67n=47，
∴DG→=67AB→−47AD→
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的加法运算，平面向量共线与相等，考查了方程思想，属中档题．
【典例6】已知点O是△ABC内部一点，并且满足OA→+2OB→+3OC→=0→，△BOC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则S1S2=（ ）
A．16B．13C．23D．34
【分析】如图所示，延长OB到D使得BD＝OB，延长OC到E使得CE＝2OC，根据OA→+2OB→+3OC→=0→，可得点O是△ADE的重心．可得S△OAD＝S△OBC＝S△OAE．又S△OAB=12S△OAD，S△OAC=13S△OAE，S△OBC=16S△ODE．即可得出．
【解答】解：如图所示，延长OB到D使得BD＝OB，延长OC到E使得CE＝2OC，
∵满足OA→+2OB→+3OC→=0→，
∴点O是△ADE的重心．
∴S△OAD＝S△OBC＝S△OAE．
S△OAB=12S△OAD，S△OAC=13S△OAE，S△OBC=16S△ODE．
∴S1=118S△ADE，S2＝S△OAB+S△OAC+S△OBC=13S△ADE．
S1S2=16．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量、三角形面积计算公式、三角形重心性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【典例7】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→=xAB→+yAC→，则x+y＝1+3 ．
【分析】首先根据向量之间的关系对已知条件进行转化，再利用向量的数量积确定x，y的值．向量等式两边同时乘以某一向量对等式进行化简是解决本题的关键．
【解答】解：∵AD→=xAB→+yAC→，AD→=AB→+BD→
∴AB→+BD→=xAB→+yAC→
又∵AC⊥AB
∴BD→⋅AB→=(x−1)AB→2
设|AB|＝1，则|DE|＝|BC|=2
又∵∠BED＝60°
∴|BD|=62
显然，BD与AB的夹角是45°
又∵BD→⋅AB→=(x−1)AB→2
∴62×1×cs45°=(x−1)×1
∴x=32+1
同理，BD→=(x−1)AB→+yAC→，
两边同时乘以AC→，由数量积可得，
y=32
∴x+y=32+1+32=3+1
【点评】本题考查向量加法及向量数量积的应用．以及利用垂直向量化简等知识，属于中档题．
考点2：平面向量的基本定理和直角坐标运算
一、平面向量的基本定理
1. 平面向量基本定理：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a =a1e1+a2e2．
2. 基底：我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记e1,e2．
a1e1+a2e2叫做向量关于基底e1,e2的分解式．
二、向量的直角坐标运算：
1. 向量的直角坐标运算：
设a=(a1​​,​​​​a2)，b=(b1​​,​​​​b2)，则
①a+b=(a1+b1​​,​​​​a2+b2)；②a−b=(a1−b1​​,​​​​a2−b2)；③λa=λ(a1​​,​​​​a2)=(λa1​​,​​​​λa2)
2. 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=OB−OA=(x2−x1,y2−y1)；
即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．
3. 用平面向量坐标表示向量共线条件：
设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a1b2−a2b1=0就是两个向量平行的条件．
若向量b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．
典例精讲
【典例1】已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若OC→=λOA→+μOB→（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为（ ）
A．[﹣2，2]B．（1，2]C．[1，2]D．[1，2]
【分析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．
【解答】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其
中A（−12，32）；B（1，0）；C（csθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ（0≤θ≤2π3）
有OC→=λOA→+μOB→（λ，μ∈R）
即：（csθ，sinθ）＝λ（−12，32）+μ（1，0）；
整理得：−12λ+μ＝csθ；32λ＝sinθ，
解得：λ=2sinθ3，μ＝csθ+sinθ3，
则λ+μ=2sinθ3+csθ+sinθ3=3sinθ+csθ＝2sin（θ+π6），
其中（0≤θ≤2π3）；
易知λ+μ=2sinθ3+csθ+sinθ3=3sinθ+csθ＝2sin（θ+π6）为增函数，
由单调性易得其值域为[1，2]
故选：D．
【点评】本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
【典例2】已知正六边形ABCDEF中，G是线段AF的中点，则CG→=（ ）
A．58CE→+34DA→B．34CE→+58DA→C．56CE→+23DA→D．23CE→+56DA→
【分析】选AF→，AB→为基向量，将CG→，CE→，DA→用基向量表示后可得．
【解答】解：CG→=CB→+BA→+AG→=OA→+BA→+12AF→=−AF→−AB→−AB→+12AF→=−12AF→−2AB→；
58DA→=58×2OA→=−54AF→−54AB→；
34CE→=34BF→=34（AF→−AB→）=34AF→−34AB→，
∴34CE→+58DA→=34AF→−34AB→−54AF→−54AB→=−12AF→−2AB→．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，属中档题．
【典例3】如图，在△ABC中，AD→=2DB→，BC→=2BE→，AE与CD交于点F，过点F作直线QP，分别交AB，AC于点Q，P，若AQ→=λAB→，AP→=μAC→，则λ+μ的最小值为（ ）
A．85B．95C．2D．115
【分析】选取AB→和AC→为基向量，利用两个三点共线和平面向量基本定理以及基本不等式可得．
【解答】解：∵D，F，C三点共线，∴可设AF→=tAD→+（1﹣t）AC→=2t3AB→+（1﹣t）AC→，
又AE→=12AB→+12AC→，又AF→与AE→共线，∴2t312=1−t12，解得t=35，
∴AF→=25AB→+25AC→，
∵Q，F，P三点共线，所以可设AF→=xAQ→+（1﹣x）AP→=xλAB→+（1﹣x）μAC→，
根据平面向量基本定理可得：xλ=25(1−x)μ=25，消去x得1λ+1μ=52且λ＞0，μ，＞0，
λ+μ＝（λ+μ）•25（1λ+1μ）=25（1+1+λμ+μλ）≥25（2+2λμ⋅μλ）=85，
当且仅当λ＝μ=45时，等号成立．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属中档题．
【典例4】如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若OC→=xOA→+yOB→，则x﹣y的取值范围是 [﹣1，1] ．
【分析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．
【解答】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其
中A（12，32）；B（1，0）；C（csθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ（0≤θ≤π3）
有若OC→=xOA→+yOB→=（csθ，sinθ）＝x（12，32）+y（1，0）；
整理得：12x+y＝csθ；32x＝sinθ，
解得x=2sinθ3，y＝csθ−sinθ3，
则x﹣y=2sinθ3−csθ+sinθ3=3sinθ﹣csθ＝2sin（θ−π6），
其中（0≤θ≤π3）；
易知x﹣y=2sinθ3−csθ+sinθ3=3sinθ﹣csθ＝2sin（θ−π6），为增函数，由单调
性易得其值域为[﹣1，1]
故答案为：[﹣1，1]
【点评】本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
【典例5】已知向量a→=（1，x），b→=（3，4），若a→∥b→，则x＝ 43 ．
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法，可得若a→∥b→，则有3x＝4，解可得x的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量a→=（1，x），b→=（3，4），
若a→∥b→，则有3x＝4，
解可得x=43；
故答案为：43．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，关键是掌握向量平行的坐标判定公式．
【典例6】已知向量m→=（2，5），n→=（﹣5，t），若m→⊥n→，则（m→+n→）•（m→−2n→）＝ ﹣29 ．
【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得m→•n→=2×（﹣5）+5t＝0，解可得t＝2，即可得向量n→的坐标，进而可得m→+n→、m→−2n→的值，由数量积的计算公式计算即可得答案．
【解答】解：向量m→=（2，5），n→=（﹣5，t），
若m→⊥n→，则m→•n→=2×（﹣5）+5t＝0，解可得t＝2，
则m→=（2，5），n→=（﹣5，2），
则有m→+n→=（﹣3，7），m→−2n→=（12，1），
则（m→+n→）•（m→−2n→）＝（﹣3）×12+7×1＝﹣29；
故答案为：﹣29
【点评】本题考查向量的数量积的计算，关键是求出t的值．
【典例7】已知a→=（1，﹣1），b→=（t，1），若（a→+b→）∥（a→−b→），则实数t＝﹣1 ．
【分析】根据题意，由向量坐标的计算公式计算可得a→+b→、a→−b→的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得0×（1﹣t）＝（1+t）×（﹣2），解可得t的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，a→=（1，﹣1），b→=（t，1），
则a→+b→=（1+t，0），a→−b→=（1﹣t，﹣2），
若（a→+b→）∥（a→−b→），则有0×（1﹣t）＝（1+t）×（﹣2），
解可得t＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法，关键是求出关于k的关系式．
【典例8】已知向量a→=（4，﹣2），b→=（x，1），若a→∥b→，则|a→+b→|＝ 5 ．
【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出x的值，再求a→+b→的模长|a→+b→|．
【解答】解：∵向量a→=（4，﹣2），b→=（x，1），且a→∥b→，
∴﹣2x﹣4×1＝0，解得x＝﹣2；
∴b→=（﹣2，1），
∴a→+b→=（2，﹣1），
∴|a→+b→|=22+(−1)2=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了向量平行与模长的计算问题．
考点3：平面向量的数量积
平面向量的数量积
1. 两个向量的夹角：
已知两个非零向量a， b，作OA=a，OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作，并规定0≤ ≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有=．当=π2时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b．
2. 向量的数量积（内积）定义
abcs叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a⋅b，即
3. 向量内积的性质
(1)e是单位向量，则a⋅e=e⋅a=acs；
(2)a⊥b⇒a⋅b=0，且a⋅b=0⇒a⊥b；
(3)a⋅a=a2，即a=a⋅a；
(4)cs=a⋅bab；
(5)a⋅b≤ab．
4. 向量数量积的运算律
(1)交换律：a⋅b=b⋅a；λ(a⋅b)=(λa)⋅b=a⋅(λb)．
(2)分配律：(a+b)c=a⋅c+b⋅c
5. 向量数量积的坐标运算与度量公式
(1)向量内积的坐标运算：建立正交基：e1​​,​​​​e2，已知a=(a1​​,​​​​a2)，b=(b1​​,​​​​b2)，a⋅b=a1b1+a2b2．
(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：ab⇔a1b1+a2b2=0
(3)向量的长度公式：
已知a=(a1​​,​​​​a2)，则a=a12+a22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
(4)两点间的距离公式：
如果A(x1​​，y1)，B(x2​​，​​​​y2)，则AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2．
(5)两个向量夹角余弦的坐标表达式：cs=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22．
典例精讲
【典例1】在△ABC中，AD为斜边BC边的高，若AC→⋅AB→=0，|AC→|=1，|AB→|=3，则CD→⋅AB→=（ ）
A．910B．310C．−310D．−910
【分析】根据条件求出三角形ABC中各边的长度，然后建立以D为原点BC，AD所在的直线分别为x轴，y轴的直角坐标系，用坐标运算即可．
【解答】解：∵若AC→⋅AB→=0，∴AC→⊥AB→，又AD为斜边BC边的高，
∴|BC|→=|AC|→2+|AB|→2=10，|AD|→⋅|BC|→=|AB|→⋅|AD|→，
∴|AD|→=3×110=31010，
∴|BD|→=|AB→2−|AD|→2=91010，∴|DC|→=|BC|→−|BD|→=1010，
如图以D为原点BC，AD所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，
则D（0，0），A（0，31010），B（−91010，0），C（1010，0），
∴CD→=（−1010，0），AB→=（−91010，−31010），
∴CD→⋅AB→=910．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质和运算，利用坐标运算是解题的关键，属中档题．
【典例2】设a→、b→是夹角为60°的单位向量，则2a→+b→和3a→−2b→的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积即可得到结论．
【解答】解：∵a→、b→是夹角为60°的单位向量，
∴a→•b→=|a→||b→|cs60°=12，
则（2a→+b→）•（3a→−2b→）＝6a→2﹣2b→2−a→•b→=6﹣2−12=72，
|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+2+1=7，
|3a→−2b→|=(3a→−2b→)2=9a→2−12a→⋅b→+4b→2=9−12×12+4=13−6=7，
∴2a→+b→和3a→−2b→的夹角α满足csα=(2a→+b→)⋅(3a→−2b→)|2a→+b→||3a→−2b→|=727×7=12，
即α＝60°，
故选：B．
【点评】本题主要考查向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本题的关键．
【典例3】已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→−b→）⊥b→，则a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】由（a→−b→）⊥b→，可得(a→−b→)⋅b→=0，进一步得到|a|→|b|→cs＜a→，b→＞−b→2=0，然后求出夹角即可．
【解答】解：∵（a→−b→）⊥b→，
∴(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2
=|a|→|b|→cs＜a→，b→＞−b→2=0，
∴cs＜a→，b→＞=|b|→2|a|→|b|→
=|b|→22|b|→2=12，
∵＜a→，b→＞∈[0，π]，
∴＜a→，b→＞=π3．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角．
【典例4】已知单位向量a→，b→的夹角为60°，若向量c→满足|a→−2b→+3c→|≤3，则|c→|的最大值为（ ）
A．1+33B．33C．1+3D．3
【分析】由题意设单位向量a→=（1，0），b→=（cs60°，sin60°），c→=（x，y）；由|a→−2b→+3c→|≤3求出x、y的关系式，利用数形结合求出|c→|的最大值．
【解答】解：由题意，设单位向量a→=（1，0），b→=（cs60°，sin60°）＝（12，32），且c→=（x，y）；
则a→−2b→+3c→=（3x，3y−3），
由|a→−2b→+3c→|≤3，
∴(3x)2+(3y−3)2≤3，
化简得x2+(y−33)2≤1，
它表示圆心为C（0，33），半径为1的圆，如图所示；
由图形知，|c→|的最大值为1+33．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的模长公式应用问题，也考查了数形结合应用思想，是中档题．
【典例5】已知向量a→=（2，3），b→=（﹣4，7），则a→在b→方向上正射影的数量是 655 ．
【分析】设向量a→与b→的夹角为θ，则所求=|a→|csθ=|a→|•a→⋅b→|a→||b→|=a→⋅b→|b→|，由向量的坐标运算可得．
【解答】解：设向量a→与b→的夹角为θ，
则a→在b→方向上正射影为：|a→|csθ=|a→|•a→⋅b→|a→||b→|
=a→⋅b→|b→|=2×(−4)+3×7(−4)2+72=1365=655
故答案为：655
【点评】本题考查向量的正射影的求解，牢记正射影的定义以及数量积的运算是解决问题的关键．
【典例6】如图，已知P是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB上一点，AB=2BC，则PC⋅PA的最小值为 5﹣213 ．
【分析】建立平面直角坐标系，将向量的点求最值乘转换成求三角函数的最值即可．
【解答】解：已知P是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB上一点，AB=2BC，
以圆心为原点，AB垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则：A（﹣1，3），B（2，3），由题设：P（2csθ，2sinθ），π3≤θ≤2π3；
则PC⋅PA=（2﹣2 csθ，3−2sinθ）•（﹣1﹣2csθ，3−2sinθ）＝5﹣2ssθ﹣43sinθ
＝5﹣213sin（θ+Φ），其中0＜tanΦ=36＜33；
所以0＜Φ＜π6，当θ=π2−Φ时，
则PC⋅PA的最小值为5﹣213；
故答案为：5﹣213．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【典例7】设向量a→=（4，m），b→=（1，﹣2），且a→⊥b→，则|a→+2b→|＝ 210 ．
【分析】由a→⊥b→，可得a→•b→=0，解得m．再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵a→⊥b→，∴a→•b→=4﹣2m＝0，解得m＝2．
∴a→+2b→=（4，2）+2（1，﹣2）＝（6，﹣2）．
∴|a→+2b→|=62+(−2)2=210．
故答案为：210．
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的运算性质、向量坐标运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．向量a→，b→，c→在正方形网络中的位置如图所示，若c→=λa→+μb→（λ，μ∈R），则λμ=（ ）
A．﹣8B．﹣4C．4D．2
【分析】设正方形的边长为1，则易知c→=（﹣1，﹣3），a→=（﹣1，1），b→=（6，2）；从而可得（﹣1，﹣3）＝λ（﹣1，1）+μ（6，2），从而求得．
【解答】解：设正方形的边长为1，则易知
c→=（﹣1，﹣3），a→=（﹣1，1），b→=（6，2）；
∵c→=λa→+μb→，
∴（﹣1，﹣3）＝λ（﹣1，1）+μ（6，2），
解得，λ＝﹣2，μ=−12；
故λμ=4；
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示的应用及学生的转化思想的应用．
2．设α为锐角，a→=(sinα，1)，b→=(1，2)，若a→与b→共线，则角α＝（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】a→与b→共线，可得2sinα＝1，又 α为锐角，即可得出．
【解答】解：∵a→与b→共线，∴2sinα＝1，即sinα=12．
又 α为锐角，∴α＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了向量共线定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力．
3．已知等边三角形ABC中，D是线段AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，F是线段BD的中点，则DE→=（ ）
A．−38BD→+54FC→B．38BD→−54FC→C．18BD→−34FC→D．−18BD→+34FC→
【分析】如图所示，建立直角坐标系．不妨设|AC|＝4．作EG⊥AD，垂足为G．由DE⊥AB，可得∠AED＝90°．利用直角三角形的边角关系可得E坐标．设DE→=xBD→+yFC→，利用向量坐标于是性质、平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设|AC|＝4．
作EG⊥AD，垂足为G．
D（0，0），C（2，0），F（0，3），B（0，23）．
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．
|EO|＝2sin60°=3．
∴xE=−3cs30°=−32．
yE=3sin30°=32．
∴E（−32，32）．
DE→=（−32，32）.BD→=（0，﹣23），FC→=（2，−3）．
设DE→=xBD→+yFC→，
∴−32=2y，32=−23x−3y．
解得y=−34，x=18．
∴DE→=18BD→−34FC→．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、向量坐标于是性质、平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．已知点为内一点，，则，，的面积之比为
A．B．C．D．
【分析】设，，，则点是的重心，所以，利用正弦的面积公式可推出，，，然后求出，，的面积之比．
【解答】解：，
不妨设，，，则点是的重心，
，
同理可得，，，
点是的重心，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平面向量在几何中的应用，涉及三角形重心的性质、正弦的面积公式等，掌握三角形的重心把三角形的面积三等分是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．在中，为上一点，且，，若，则
A．，B．，C．，D．，
【分析】作出图象，整理，对应得到，即可．
【解答】解：如图，因为，，
所以，，
由图可得
，
故，，
故选：．
【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
6．如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若OC→=mOA→+2mOB→，AP→=λAB→，则λ＝ 23 ．
【分析】根据条件可知，OP→与OC→共线，而根据AP→=λAB→可得出OP→=(1−λ)OA→+λOB→，又知OC→=mOA→+2mOB→，从而得出λ＝2（1﹣λ），求出λ即可．
【解答】解：根据条件知，OP→与OC→共线；
∵AP→=λAB→；
∴OP→−OA→=λ(OB→−OA→)；
∴OP→=(1−λ)OA→+λOB→；
又OC→=mOA→+2mOB→；
∴λ＝2（1﹣λ）；
∴λ=23．
故答案为：23．
【点评】考查共线向量基本定理，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．
7．已知OM→=23OA→+13OB→，则AM→= 13 AB→．
【分析】设AM→=kAB→，化为OM→=(1−k)OA→+kOB→，与OM→=（1−13）OA→+13OB→比较，可得k．
【解答】解：设AM→=kAB→，
则OM→−OA→=k(OB→−OA→)，
化为OM→=(1−k)OA→+kOB→，与OM→=（1−13）OA→+13OB→比较，可得k=13，
∴AM→=13AB→．
故答案为：13．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．设向量a→，b→不平行，若向量λa→+b→与a→−2b→平行，则实数λ的值为 −12 ．
【分析】向量λa→+b→与a→−2b→平行，存在实数k使得λa→+b→=k（a→−2b→），再利用向量共面基本定理即可得出．
【解答】解：∵向量λa→+b→与a→−2b→平行，
∴存在实数k使得λa→+b→=k（a→−2b→），
化为(λ−k)a→+(1+2k)b→=0→，
∵向量a→，b→不平行，
∴λ−k=01+2k=0，
解得λ=−12．
故答案为：−12．
【点评】本题考查了向量共线定理与向量共面基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B分别在两条互相垂直的射线OP，OQ上滑动，则OC→•CD→的最大值为 8 ．
【分析】令∠OAB＝θ，由边长为2的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，可得出D，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可
【解答】解：如图令∠OAB＝θ，由于AB＝2，故OA＝2csθ，OB＝2sinθ，
如图∠DAX=π2−θ，AD＝2，故xD＝2csθ+2cs（π2−θ）＝2csθ+2sinθ，yD＝2sin（π2−θ）＝2csθ，
故OD→=（2csθ+2sinθ，2csθ），
同理可求得C（2sinθ，2csθ+2sinθ），即OC→=（2sinθ，2csθ+2sinθ），
∴OC→•CD→=（2csθ+2sinθ，2csθ）•（2sinθ，2csθ+2sinθ）＝4（1+sin2θ），
∴OC→•CD→的最大值是8，
故答案是：8．
【点评】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．