专题16 不等式与线性规划-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

展开

这是一份专题16 不等式与线性规划-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全，文件包含专题16不等式与线性规划原卷版docx、专题16不等式与线性规划解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共46页，欢迎下载使用。

考点一：不等式的定义及其解法
一、不等式的定义
1.定义：用不等号（> ， < ， ≥ ， ⩽ ， ≠）连接的式子叫不等式
2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形．
3.不等式的性质
1）a>b⇔b2）a>b，b>c⇒a>c（传递性）
3）a>b⇔a+c>b+c
4）a>b,c>d，则a+c>b+d．
5）a>b，c>0，则ac>bc；如果a>b，c<0，则ac6）a>b>0 ， c>d>0，则ac>bd．
7）a>b>0，则an>bn(n∈N+,n>1)．
8）a>b>0，则na>nb(n∈N+,n>1)
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解集如下表
2.分式不等式的解法
1）f(x)g(x)>0⇔f(x)⋅g(x)>0
2）f(x)g(x)≥0⇔f(x)⋅g(x)≥0且g(x)≠0
3）f(x)g(x)>a(a≠0⇔f(x)−ag(x)g(x)>0⇔g(x)[f(x)−ag(x)]>0)
3.无理不等式的解法
1）f(x)>g(x)⇔&f(x)≥0&g(x)≥0&f(x)>[g(x)]2或&f(x)≥0&g(x)<0
2）f(x)4.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义： = 1 \* GB3 ①|x|是指数轴上点x到原点的距离； = 2 \* GB3 ②|x1−x2|是指数轴上x1 ， x2两点间的距离
2）当c>0时，|ax+b|>c⇔ax+b>c或ax+b<−c，|ax+b|当c<0时，|ax+b|>c⇔x∈R，|ax+b|3）绝对值不等式的解法
= 1 \* GB3 ①公式法|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<−g(x)
|f(x)| = 2 \* GB3 ②平方法
= 3 \* GB3 ③分情况讨论法
4.高次不等式（穿线法：）
一般高次不等式f(x)>0用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
1）将f(x)最高次项的系数化为正数；
2）将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
典例精讲
1．若存在唯一的正整数x0，使关于x的不等式x3﹣3x2﹣ax+5﹣a＜0成立，则a的取值范围是（）
A．(0，13)B．(13，54]C．(13，32]D．(54，32]
【分析】设g（x）＝x3﹣3x2+5，h（x）＝a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．
【解答】解：设f（x）＝x3﹣3x2﹣ax+5﹣a，
则存在唯一的正整数x0，f（x0）＜0，
再设g（x）＝x3﹣3x2+5，h（x）＝a（x+1），
两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x0，
使得f（x0）＜0，只要g(1)≥ℎ(1)g(2)＜ℎ(2)g(3)≥ℎ(3)，即1−3+5≥2a8−12+5＜3a27−27+5≥4a，
解得13＜a≤54；
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象以及不等式整数解问题；关键是将问题转化为两个函数图象交点问题．
2．已知3a=4⋅3b−1，c−b=lg0.5(2x2+4x+4)，则实数a，b，c的大小关系是（）
A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b
【分析】根据3a＝4•3b﹣1即可得出3a=43⋅3b，从而得出a＞b；而根据2x2+4x+4≥2即可得出c﹣b≤lg0.52＝﹣1，从而得出c＜b，从而得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵3a＝4•3b﹣1；
∴3a=43⋅3b；
∴3a＞3b；
∴a＞b；
∵2x2+4x+4＝2（x+1）2+2≥2；
∴c−b=lg0.5(2x2+4x+4)≤lg0.52=−1；
∴c＜b；
∴a＞b＞c．
故选：C．
【点评】考查指数幂的运算，指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及配方求二次函数最值的方法．
3．若P=a+6+a+7，Q=a+8+a+5(a≥0)，则P，Q的大小关系是（）
A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．无法确定
【分析】作差即可得出P2＞Q2，而P＞0，Q＞0，从而便可得出P＞Q．
【解答】解：∵a≥0；
∴P2−Q2=2a+13+2a2+13a+42−(2a+13+2a2+13a+40)=2(a2+13a+42−a2+13a+40)＞0；
∴P2＞Q2，且P＞0，Q＞0；
∴P＞Q．
故选：B．
【点评】考查作差比较法的运用，要比较P，Q大小，先比较P2，Q2大小的方法．
4．若M＝2a2﹣3a+5，N＝a2﹣a+4，则M与N的大小关系为（）
A．M≥NB．M＞NC．M＜ND．M≤N
【分析】作差即可得出M﹣N＝a2﹣2a+1，配方即可得出M﹣N＝（a﹣1）2≥0，从而得出M≥N．
【解答】解：M﹣N＝2a2﹣3a+5﹣（a2﹣a+4）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0；
∴M≥N．
故选：A．
【点评】考查作差比较法比较两个式子大小的方法，以及配方法的运用．
5．不等式x+1x≤3的解集是（﹣∞，0）∪[12，+∞）．
【分析】讨论x的符号，去分母转化为一元一次不等式解出．
【解答】解：当x＞0时，x+1≤3x，解得x≥12；
当x＜0时，x+1≥3x，解得x≤12，又x＜0，∴x＜0；
综上，不等式x+1x≤3的解集是（﹣∞，0）∪[12，+∞）．
故答案为（﹣∞，0）∪[12，+∞）．
【点评】本题考查了分式不等式的解法，属于中档题．
6．已知f(x)=x2−(a+1a)x+1．
（1）当a=12时，解不等式f（x）≤0；
（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．
【分析】（1）a=12时不等式化x2−52x+1≤0，求出解集即可；
（2）讨论a的取值，比较1a与a的大小，解不等式（x−1a）（x﹣a）≤0即可．
【解答】解：（1）函数f(x)=x2−(a+1a)x+1，
当a=12时，有不等式化为f(x)=x2−52x+1≤0，
即(x−12)(x−2)≤0，
∴不等式的解集为{x|12≤x≤2}；
（2）∵不等式f(x)=(x−1a)(x−a)≤0，
当1a＞a时，有0＜a＜1，∴不等式的解集为{x|a≤x≤1a}；
当1a＜a时，有a＞1，∴不等式的解集为{x|1a≤x≤a}；
当1a=a时，有a＝1，∴不等式的解集为{1}．
【点评】本题考查了含有字母系数不等式的解法与应用问题，是中档题．
7．已知a＞0，试比较a2+1a2−1与a+1a−1的值的大小．
【分析】运用作差法，再对a讨论，a＞1，0＜a＜1，判断差的符号，即可得到所求大小关系．
【解答】解：a2+1a2−1−a+1a−1=a2+1−(a+1)2a2−1
=−2aa2−1，
当a＞1时，﹣2a＜0，a2﹣1＞0，
则−2aa2−1＜0，即a2+1a2−1＜a+1a−1；
当0＜a＜1时，﹣2a＜0，a2﹣1＜0，
则−2aa2−1＞0，即a2+1a2−1＞a+1a−1．
综上可得a＞1时，a2+1a2−1＜a+1a−1；
0＜a＜1时，a2+1a2−1＞a+1a−1．
【点评】本题考查两式的大小比较，注意运用作差法，考查分类讨论思想方法，以及运算能力．
考点二：基本不等式
均值定理
定理：对于任意实数a ， b，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立
推论：如果a ， b，是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a=b时，有等号成立．
典例精讲
1．已知线段AB的长为6，以AB为直径的圆有一内接四边形ABCD，其中AB∥CD，则这个内接四边形的周长的最大值为（）
A．15B．16C．17D．18
【分析】设∠A＝θ，将四边形ABCD的各边长用θ进行表示，然后得出该四边形周长的表达式，利用基本不等式即可得出周长的最大值．
【解答】解：如下图所示，
连接BD，分别过点C、D作CE⊥AB，DF⊥AB，设∠A＝θ，则AD＝BC＝6csθ，AF＝BE＝ADcsθ＝6cs2θ，
CD＝EF＝AB﹣2AF＝6﹣12cs2θ，
所以，四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD＝6+12csθ+6﹣12cs2θ
＝﹣12cs2θ+12csθ+12＝12csθ（1﹣csθ）+12≤12×(csθ+1−csθ2)2+12=15，
当且仅当csθ＝1﹣csθ，即当θ=π3时，等号成立，
因此，四边形ABCD周长的最大值为15，
故选：A．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，解决这类问题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题．
2．已知正数a，b满足a2+b2＝ab+1，则（3−1）a+2b的最大值为（）
A．22B．2C．2D．1
【分析】令a＝x﹣y，b＝x+y，（x＞y＞0），由此a2+b2＝ab+1可化为（x﹣y）2+（x+y）2＝（x﹣y）（x+y）+1，即x2+3y2＝1（x＞y），然后再令x＝csα，y=sinα3，结合三角函数的性质可求
【解答】解：令a＝x﹣y，b＝x+y，（x＞y＞0），
则a2+b2＝ab+1化为（x﹣y）2+（x+y）2＝（x﹣y）（x+y）+1，即x2+3y2＝1（x＞y），
令x＝csα，y=sinα3，
∵x＞y＞0，
∴csα＞sinα3＞0，
∴0＜α＜13π，
则z＝（3−1）a+2b＝（3−1）（x﹣y）+2（x+y）＝（3+1）x﹣（3−3）y，
＝（3+1）csα﹣（3−3）×sinα3
＝22sin（α+5π12），
∵0＜α＜13π，
∴5π12＜α+5π12＜3π4，
当sin（α+5π12）＝1时有最大值22，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．函数y＝lga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中m，n均大于0，则1m+2n的最小值为（）
A．2B．6C．5+26D．10
【分析】因为直线横过定点A，设A（x，y），则x+4＝1，即x＝﹣3，所以y＝﹣1．又知道A在直线上，得到m，n满足的关系，代入即可．
【解答】解：设A点坐标为（x，y），依题意x+4＝1，即x＝﹣3，所以y＝﹣1，即A点坐标为（﹣3，﹣1），又知道A点在直线mx+ny+1＝0上，所以﹣3m﹣n+1＝0，
即3m+n＝1，
所以1m+2n=（1m+2n）（3m+n）＝5+6mn+nm≥5+26mn⋅nm=5+26，当且仅当m=3−63，n=6−2时，等号成立．
故选：C．
【点评】本题考查了对数型函数过定点问题、点与直线的位置、基本不等式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
4．实数xy满足x=1−y2，则x+y+3x+1的最小值是（）
A．34B．74C．2D．3
【分析】x=1−y2⇒x2+y2＝1（x≥0）表示半圆；x+y+3x+1=1+y+2x+1，转化为求y+2x+1的最小值，即求过P（﹣1，﹣2）的圆的切线的斜率．
【解答】解：x=1−y2⇒x2+y2＝1（x≥0）表示半圆，如图：
x+y+3x+1=1+y+2x+1
设t=y+2x+1，则tx﹣y+t﹣2＝0与圆x2+y2＝1相切时t取最小值，
由|t−2|t2+1=1得t=34，
所以原式的最小值为1+34=74，
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，圆的切线，数形结合思想，属中档题．
5．已知锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，三角形ABC的面积S△ABC＝1，则a2+b2的取值范围为（）
A．[172，+∞）B．（9，+∞）C．[172，9]D．[172，9）
【分析】因为三角形为锐角三角形，所以过CCD⊥AB于D，D在边AB上，如图：根据面积算出CD＝2，再根据勾股定理，二次函数知识可求得．
【解答】解：因为三角形为锐角三角形，所以过C作CD⊥AB于D，D在边AB上，如图：
因为：S△ABC=12AB•CD＝1，所以CD＝2，
在三角形ADC中，AD=AC2−CD2=b2−4，
在三角形BDC中，BD=BC2−CD2=a2−4，
∵AD+BD＝AB＝1，∴a2−4+b2−4=1，
∴a2+b2＝a2﹣4+b2﹣4+8＝（a2−4）2+（b2−4）2+8＝（a2−4）2+（1−a2−4）2+8
＝2（a2−4）2﹣2a2−4+9
∵a2−4∈（0，1）．
∴a2+b2∈[172，9）．
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．
6．己知x，y＝R+，且满足x+12x+2y+1y=6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝ 134 ．
【分析】设xy＝t，则xyt=1，可得6＝（x+12x+2y+1y）xy6=x+2y+y2t+xt，然后利用基本不等式得到关于t的一元二次方程解方程可得t的最大值和最小值．
【解答】解：∵x，y＝R+，设xy＝t，则xyt=1，
∴6＝x+12x+2y+1y=（x+12x+2y+1y）xy6=x+2y+y2t+xt，
∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y≥2(2t+2)(4t+1)xy，
∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，
∴13−3178≤t≤13+3178，
∵xy的最大值与最小值分别为M和m，
∴M=13+3178，m=13−3178，
∴M+m=134．
故答案为：134．
【点评】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，考查了转化思想和运算推理能力，属中档题．
考点三：线性规划
线性规划的有关概念
1.约束条件：由未知数x,y的不等式（或方程）组成的不等式组成为x,y的约束条件．
不等式组x−y+5≥0x+y≥0x2≤3就是x,y的一个约束条件．
2.线性约束条件：关于未知数x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为x,y的线性约束条件，不等式组2x−y−3>02x+3y−6<03x−5y−15<0就是x,y的一个约束条件．
3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式．
如：已知x,y满足约束条件x−4y≤−33x+5y≤25x≥1，分别确定x,y的值，使z=2x+y取到最大值和最小值使z'=x2+y2达到最值，其中z=2x+y和z'=x2+y2均为目标函数．
4.线性目标函数：目标函数为变量x,y的一次解析式．如上例中，z=2x+y为线性目标函数，而z'=x2+y2就不是线性目标函数，只是一个目标函数．
5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．
6.可行解：满足约束条件的解x,y．
7.可行域：所有可行解组成的集合．
8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．
线性规划的图解法
1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0（目标函数为z=ax+by）
2.移：平行移动直线ax+by=0，确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点．
3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．
典例精讲
1．设实数x，y满足的约束条件x−y+1≥02x−y≤0y≥0，则z＝x+y的取值范围是（）
A．[﹣1，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，3]D．[0，4]
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解函数的最值，即可推出结果．
【解答】解：实数x，y满足的约束条件x−y+1≥02x−y≤0y≥0的可行域如图：可得A（1，2）；B（﹣1，0），z＝x+y在B处取得最小值，在A处取得最大值；
目标函数的最小值为：﹣1，最大值为：3．
则z＝x+y的取值范围是：[﹣1，3]．
故选：C．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力．
2．已知A＝{（x，y）||x﹣2|+|y﹣2|≤2，0≤x≤2}∪{（x，y）|（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，x＞2}，若P（x，y）∈A，且使z＝x2+y2﹣22x﹣22y﹣2﹣a的最大值为b，（a＞0，b＞0），则1a+1+1b的最小值为（）
A．4B．2C．43D．23
【分析】根据题意，分析集合A的几何意义，作出集合A表示的区域，分析可得z＝x2+y2﹣22x﹣22y﹣2﹣a＝（x−2）2+（y−2）2﹣6﹣a，设t=(x−2)2+(y−2)2，结合图形分析其几何意义可得t的最大值，进而可得z的最大值，即可得2﹣a＝b，即a+b＝2，变形可得（a+1）+b＝3，又由1a+1+1b=13×[（a+1）+b]（1a+1+1b）=13×[2+ba+1+a+1b]，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，A＝{（x，y）||x﹣2|+|y﹣2|≤2，0≤x≤2}∪{（x，y）|（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，x＞2}，
设右半部分半圆的圆心为M（2，2），
其几何意义为如图的区域：
z＝x2+y2﹣22x﹣22y﹣2﹣a＝（x−2）2+（y−2）2﹣6﹣a，
设t=(x−2)2+(y−2)2，其几何意义为区域中任意一点到点（2，2）的距离，
则z＝t2﹣6﹣a，
设点（2，2）为点N，
则t的最大值为|MN|+2＝22，
故z的最大值为（22）2﹣6﹣a＝2﹣a，
则有2﹣a＝b，即a+b＝2，变形可得（a+1）+b＝3，
则1a+1+1b=13×[（a+1）+b]（1a+1+1b）=13×[2+ba+1+a+1b]≥13×[2+2ba+1×a+1b]=43，
故1a+1+1b的最小值为43，
故选：C．
【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及基本不等式的性质以及应用，关键是求出集合A以及分析Z的几何意义．
3．若x、y满足约束条件x+y≤4x−y+2≥0y≥0，目标函数z＝ax+y取得最大值时的最优解仅为（1，3），则a的取值范围为（）
A．（﹣1，1）B．（0，1）
C．（﹣∞，1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值时的条件，转化为斜率之间的关系进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，
要使目标函数z＝ax+y取得最大值时的最优解仅为（1，3），
则若a＝0，则直线y＝z在A（1，3）处取得最大值，满足条件．
若a＜0，则﹣a＞0，
要使直线y＝﹣ax+z在A（1，3）处取得最大值，
则直线y＝﹣ax+z的斜率小于AC的斜率k＝1，即﹣a＜﹣1，的﹣1＜a＜0，
若a＞0，则﹣a＜0，
要使直线y＝﹣ax+z在A（1，3）处取得最大值，
则直线y＝﹣ax+z的斜率大于AB的斜率k＝﹣1，即﹣a＞﹣1，的0＜a＜1，
综上﹣1＜a＜1，即实数a的取值范围是（﹣1，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用分类讨论以及数形结合的思想是解决本题的关键．
4．设x，y满足约束条件xy≥0|x+y|≤2，则z＝2x+y的取值范围是（）
A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]
【分析】作出约束条件xy≥0|x+y|≤2所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y＝2x可得结论．
【解答】解：作出约束条件xy≥0|x+y|≤2所对应的可行域（如图阴影）
变形目标函数可得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x可知
当直线经过点A（﹣2，0）时，目标函数取最小值﹣4
当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最大值4，
故z＝﹣2x+y的取值范围为[﹣4，4]．
故选：B．
【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
5．若变量x，y满足约束条件x+y≥3x−y≥−12x−y≤3，则z=yx的最大值为（）
A．12B．54C．2D．4
【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
【解答】解：作出变量x，y满足约束条件x+y≥3x−y≥−12x−y≤3对应的平面区域如图：
则z=yx的几何意义为动点P到原点的斜率，
由图象可知当P位于A时，直线AO的斜率最大，由x+y=3x−y=−1解得A（1，2）
此时z=21=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．
6．设关于x，y的不等式组2x−y+1＞0x+m＜0y−m＞0表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是（）
A．（﹣∞，−43）B．（−23，0）C．（﹣∞，−13）D．（﹣∞，−23）
【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则平面区域内必存在一个点在直线x﹣2y＝2的下方，由图象可得m的取值范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（﹣m，m），
直线x﹣2y＝2的斜率为12，斜截式方程为y=12x﹣1，
要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，
则点C（﹣m，m）必在直线x﹣2y＝2的下方，
即m＜−12m﹣1，解得m＜−23，
∴m的取值范围是（﹣∞，−23），
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属中高档题．
综合练习
一．选择题（共6小题）
1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中一定不成立的是（）
A．|a﹣b|≥|a﹣c|+|b﹣c|B．a2+1a2＜a+1a
C．|a−b|+1a−b≥2D．a+3−a+1≤a+2−a
【分析】本题要找出不等式中一定不成立的选项，需要根据选项找出成立的条件说明一定不成立的原因．
【解答】解：∵a为正数，∴a+1a≥2，
∴a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2
=(a+1a−1)(a+1a−2)≥0，
∴a2+1a2≥a+1a，
故a2+1a2＜a+1a一定不成立．
故选：B．
【点评】本题考查的是不等关系，通过基本不等式法、作差法、特殊值法比较两式大小，研究不等式是否成立，得出本题结论，属中档题．
2．已知关于、的二元一次不等式组．则的最小值是
A．3B．C．D．9
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即行域内的动点到定点距离的平方求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点到定点距离的平方．
由图可知，到直线的距离为．
的最小值是．
故选：．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．
3．已知实数，满足，，则的最大值为
A．8B．9C．16D．18
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解表达式的最大值即可．
【解答】解：实数，满足，的可行域如图：
则的最大值就是平移图中的直线，可知是最优解，
由：，解得，
则的最大值为：．
故选：．
【点评】本题考查简单的线性规划，画出可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．
4．设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（）
A．a2+3＞2aB．a2+b2＞0
C．a3+b3≥a2b+ab2D．a+1a≥2
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出．
【解答】解：A：将不等式转化为a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2＞0恒成立，A对．
B：a2+b2≥0，B错
C：将不等式转化为a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）不一定大于等于0，C错．
D：如果想要用基本不等式，需要满足a＞0，D错．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质．
5．设x，y满足约束条件x≥0y≥x4x+3y≤12，则x+2y+3x+1的取值范围是（）
A．[1，5]B．[2，6]C．[2，10]D．[3，11]
【分析】x+2y+3x+1=x+1+2(y+1)x+1=1+2×y+1x+1，设k=y+1x+1，利用z的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（0，4），B（3，0）
x+2y+3x+1=x+1+2(y+1)x+1=1+2×y+1x+1，
设k=y+1x+1，则k=y+1x+1的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，
由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，
则BD的斜率k＝1，AD的斜率为k=4+10+1=5，
即1≤k≤5，
则2≤2k≤10，
3≤1+2k≤11，
即x+2y+3x+1的取值范围是[3，11]，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义结合分式的性质，利用数形结合是解决本题的关键．
6．若，，，则的最小值为
A．B．4C．D．3
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：因为，，，
则，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质
二．填空题（共3小题）
7．设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为（﹣1，23）．
【分析】解一元二次不等式即可．
【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：
（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x−23）＜0；
由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”
可得：﹣1＜x＜23；
即：{x|﹣1＜x＜23}；或（﹣1，23）；
故答案为：（﹣1，23）；
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题．
8．若x，y满足约束条件x−y≥−1x+y≤3x≥0y≥0，则z＝x﹣2y的最大值是 3 ．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z＝x﹣2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值；
【解答】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝x﹣2y，得y=12x−z2，
平移直线y=12x−z2，当直线y=12x−z2经过点A（3，0）时，直线的截距最小，此时z最大，
此时z的最大值为z＝3﹣2×0＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
9．若变量x、y满足x+y+2≤0x−y+4≥0y≥a，若2x﹣y的最大值为﹣1，则a＝ ﹣1 ．
【分析】由题意画出不等式组所代表的可行域，再有z＝2x﹣y得到y＝2x﹣z，为使得z取最大值为﹣1，应该使斜率为定值2的直线在可行域内当过x+y+2＝0与y＝a的交点时可以使目标函数恰取得最大值，并令最大值为﹣1，解出即可．
【解答】解：由不等式组x+y+2≤0x−y+4≥0y≥a画出如下图形：
由题意画出可行域为图示的封闭三角形这一阴影图形，
又∵目标函数为：z＝2x﹣y等价于得到y＝2x﹣z，
由该式子可以知道该直线的斜率为定值2，
当目标函数代表的直线在可行域内任意平行移动当过直线x+y+2＝0与y＝a的交点（﹣2﹣a，a）时，使得目标函数取最大值，
故即令z＝2（﹣2﹣a）﹣a＝﹣1
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了又不等式准确画出可行域，还考查了直线的方程及解决问题时的数形结合与方程的思想．
判别式
△=b2−4ac
△=b2−4ac>0
△=b2−4ac=0
△=b2−4ac<0
二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图像
一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）
有两个相异实根
x1 ， x2
（x1有两个相异实根
x1 ， x2
（x1=x2=−b2a）
没有实数根
ax2+bx+c>0（a>0）的解集
{xxx2}
xx≠−b2a
R
ax2+bx+c<0（a>0）的解集
{xx1∅
∅