高考数学一轮复习总教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

典例精析

题型一　直线与圆的位置关系的判断

【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，

(1)直线与圆有两个公共点；

(2)直线与圆只有一个公共点.[来源:数理化网]

【解析】方法一：(几何法)

设圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d，d＝＝，半径r＝.

当d＜r时，直线与圆相交，＜，－2＜b＜2，

所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.

当d＝r时，直线与圆相切， ＝，b＝±2，

所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点.

方法二：(代数法)

联立两个方程得方程组

消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.

当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点；

当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点.

【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.

【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋，k∈Z)的位置关系是(　　)

A.相离    B.相切    C.相交     D.不能确定

【解析】选A.易知圆的半径r＝，设圆心到直线的距离为d，则d＝.

因为θ≠＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，

所以＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离.

题型二　圆与圆的位置关系的应用

【例2】如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.

【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2＋y2＝1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|OC|＜2＋1，[来源:www.shulihua.net]

所以1＜＜3，即＜|a|＜，

所以－＜a＜－或＜a＜为所求a的范围.[来源:www.shulihua.net]

【变式训练2】两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为　　　　　.

【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(－1,1)，(2，－2)，则过它们圆心的直线方程为＝，即y＝－x.

根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.

故由P(1,2)可得它关于直线y＝－x的对称点，即点Q的坐标为(－2，－1).

题型三　圆的弦长、中点弦的问题[来源:数理化网]

【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.

(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；

(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.

【解析】(1)如图，AB＝4，D是AB的中点，则AD＝2，AC＝4，

在Rt△ADC中，可得CD＝2.

设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线的距离公式＝2，[来源:数理化网][来源:www.shulihua.net]

得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.

又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x＝0.

所以所求直线为x＝0或3x－4y＋20＝0. (也可以用弦长公式求解)

(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，

因为CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，

化简得轨迹方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.

【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，

由得k＝＝－＝－.

该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.

【变式训练3】已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A.10    B.20     C.30    D.40

【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为AC＝10，最短弦为BD＝2＝4，S＝AC·BD＝20.

总结提高

1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l＝2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.

2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.

3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.[来源:www.shulihua.net]