高考数学一轮复习总教案：2.3 　函数的奇偶性

　2.3　函数的奇偶性

典例精析

题型一　函数奇偶性的判断

【例1】判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝

【解析】(1)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，

这时f(x)＝＝－，

因为f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)为偶函数.

(2)当x＜0时，－x＞0，则

f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，

当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)，

所以对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.

【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析

f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解析式进行化简变形.

【变式训练1】(2010广东)若函数f(x)＝3x＋与g(x)＝3x－的定义域均为R，则(　　)

A. f (x)与g(x)均为偶函数     B. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数

C. f (x)与g(x)均为奇函数     D. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数

【解析】B.

题型二　由奇偶性的条件求函数的解析式

【例2】若函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，求f(x)的解析式.

【解析】因为函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，

所以f(0)＝0，从而得m＝0. 又f()＋f(－)＝0，解得n＝0.

所以f(x)＝(－1＜x＜1).

【变式训练2】已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，求a，b的值.

【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.[来源:www.shulihua.net]

又由f(1)＝－f(－1)，所以＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1.

题型三　函数奇偶性的应用

【例3】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6.

(1)求证：函数f(x)为奇函数；

(2)求证：函数f(x)在R上是增函数；

(3)在区间[－4,4]上，求f(x)的最值.[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]

【解析】(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，[来源:数理化网]

令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数.

(2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，

又x＞0时，f(x)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，

所以函数f(x)在R上是增函数.

(3)因为函数f(x)在R上是增函数，

所以f(x)在区间[－4,4]上也是增函数，

所以函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(－4)，[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

因为f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12，

又f(x)为奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－12，

故函数f(x)在区间[－4,4]上的最大值为12，最小值为－12.

【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值.

【变式训练3】定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝

则f(－1)＝　    　，f(33)＝　    　.

【解析】4；－2.

总结提高

1.判定函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形.

2.判定函数的奇偶性时，有时可通过其等价形式：f(－x)±f(x)＝0或＝±1 (f(x)≠0)进行处理.[:网]

3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题，要注意数形结合求解.