高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：3.8 正弦定理和余弦定理的应用 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：3.8 正弦定理和余弦定理的应用 word版含答案，共13页。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
知识点 实际应用中的常用术语
易误提醒 易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
[自测练习]
1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
答案：B
2．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝eq \f(\r(3),3)×30＝10eq \r(3)(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝eq \r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))
＝eq \r(300)＝10eq \r(3)(m)．
答案：10eq \r(3)
3．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8eq \r(2)n mile.此船的航速是________n mile/h.
解析：设航速为v n mile/h，
在△ABS中AB＝eq \f(1,2)v，BS＝8eq \r(2)，∠BSA＝45°，
由正弦定理得eq \f(8\r(2),sin 30°)＝eq \f(\f(1,2)v,sin 45°)，则v＝32.
答案：32
考点一 测量距离问题|
(2014·济南调研)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq \r(3))海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq \r(3) 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
[解] 由题意知AB＝5(3＋eq \r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理，
得eq \f(DB,sin∠DAB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
∴DB＝eq \f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq \f(53＋\r(3)·sin 45°,sin 105°)
＝eq \f(53＋\r(3)·sin 45°,sin 45°cs 60°＋cs 45°sin 60°)＝eq \f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))
＝10eq \r(3)(海里)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20eq \r(3)(海里)．
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cs∠DBC
＝300＋1 200－2×10eq \r(3)×20eq \r(3)×eq \f(1,2)＝900.
∴CD＝30(海里)．
则需要的时间t＝eq \f(30,30)＝1(小时)．
求距离问题的两个注意点
(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

1．如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．
(1)求A、C两岛之间的距离；
(2)求∠BAC的正弦值．
解：(1)在△ABC中，由已知，得
AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30cs 120°＝4 900，
所以AC＝70(海里)．
故A、C两岛之间的距离是70海里．
(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
所以sin∠BAC＝eq \f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq \f(30sin 120°,70)＝eq \f(3\r(3),14).
故∠BAC的正弦值是eq \f(3\r(3),14).
考点二 测量高度问题|
如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________________m.
[解析] 在Rt△ABC中，AC＝100eq \r(2) m，
在△MAC中，由正弦定理得eq \f(MA,sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)，
解得MA＝100eq \r(3) m，
在Rt△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m.
即山高MN为150 m.
[答案] 150
求解高度问题应注意
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．


2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( )
A．10eq \r(2) m B．20 m
C．20eq \r(3) m D．40 m
解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝eq \r(3)x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cs 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.
答案：D
考点三 测量角度问题|
在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10eq \r(3)海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
[解] 如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t.
在△ABC中，AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°.
利用余弦定理可得BC＝eq \r(6).
由正弦定理，得sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直．
于是∠CBD＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝eq \f(BDsin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
得∠BCD＝30°，
又eq \f(CD,sin 120°)＝eq \f(BC,sin 30°)，即eq \f(10\r(3)t,\r(3))＝eq \r(6)，得t＝eq \f(\r(6),10).
所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花eq \f(\r(6),10)小时．
解决测量角度问题的三个注意点
(1)明确方位角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步．
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．


3.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cs θ的值．
解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800⇒BC＝20eq \r(7).
由正弦定理，得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)⇒sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7).
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cs∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).
由θ＝∠ACB＋30°，得cs θ＝cs(∠ACB＋30°)＝cs∠ACBcs 30°－sin∠ACBsin 30°＝eq \f(\r(21),14).
12.函数思想在解三角形中的应用
【典例】 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
[思路点拨] (1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题．(2)注意t的取值范围．
[规范解答] (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝eq \r(900t2＋400－2·30t·20·cs90°－30°)
＝eq \r(900t2－600t＋400)＝eq \r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,3)))2＋300).
故当t＝eq \f(1,3)时，Smin＝10eq \r(3)，v＝eq \f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq \r(3).
即小艇以30eq \r(3)海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇．
则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cs(90°－30°)，
故v2＝900－eq \f(600,t)＋eq \f(400,t2).
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