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高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：6.1 不等关系与不等式 word版含答案
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这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：6.1 不等关系与不等式 word版含答案，共10页。
不等式的概念和性质
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
知识点一 实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a必备方法 比较大小的常用方法：
(1)作差法
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．
[自测练习]
1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
知识点二 不等式性质
易误提醒
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
[自测练习]
2．设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B.eq \f(1,a)C．a2>b2 D．a3>b3
解析：当c<0时，ac>bc不成立，故A不正确，当a＝1，b＝－3时，B、C均不正确，故选D.
答案：D
3．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(b,a)>eq \f(b＋1,a＋1) B．a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)
C．a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a) D.eq \f(2a＋b,a＋2b)>eq \f(a,b)
解析：由a>b>0⇒0b＋eq \f(1,a)，故选C.
答案：C
4．已知a<0，－1解析：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(－1又ab>0，∴ab>ab2>a.
答案：ab>ab2>a
考点一 利用不等式(组)表示不等关系|
1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系．
解：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x>0，,5－x＋12－x>13－x，,5－x2＋12－x2<13－x2.))
2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设甲、乙两种产品的产量分别为x件，y件，由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≤400，,2x＋y≤500，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))
利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：
关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．
注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．
考点二 不等式性质及应用|
1．(2016·大庆质检)若aA.eq \f(1,a－b)>eq \f(1,a) B.eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：由aeq \f(1,a)不成立，选A.
答案：A
2．(2016·武汉调研)若实数a，b∈(0,1)，且满足(1－a)b>eq \f(1,4)，则a，b的大小关系是( )
A．aC．a>b D．a≥b
解析：∵a，b∈(0,1)，∴1－a>0，又(1－a)b>eq \f(1,4)，
∴eq \f(1,4)0，故选A.
答案：A
3．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：法一：因为a＋eq \f(1,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＝eq \f(a－bab－1,ab)，所以若a>b>1，显然a＋eq \f(1,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＝eq \f(a－bab－1,ab)>0，则充分性成立；当a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(2,3)时，显然不等式a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立，故选A.
法二：令函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，则f′(x)＝1－eq \f(1,x2)＝eq \f(x2－1,x2)，可知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a>b>1”是“a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)”的充分不必要条件，选A.
答案：A
运用不等式性质求解问题的两个注意点
1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．
考点三 比较大小|
(1)若实数a≠1，比较a＋2与eq \f(3,1－a)的大小；
(2)比较aabb与abba(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的大小．
[解] (1)a＋2－eq \f(3,1－a)＝eq \f(－a2＋a＋1,1－a)，
∵a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，∴－(a2＋a＋1)<0，
∴当1－a>0，即a<1时，eq \f(－a2＋a＋1,1－a)<0，则有a＋2当1－a<0即a>1时，eq \f(－a2＋a＋1,1－a)>0，则有a＋2>eq \f(3,1－a).综上知，当a<1时，a＋2当a>1时，a＋2>eq \f(3,1－a).
(2)eq \f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b，
当a>b>0时，eq \f(a,b)>1，a－b>0，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b>1，∴aabb>abba；
当b>a>0时，0则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b>1，∴aabb>abba；
当a＝b>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b＝1，∴aabb＝abba，
综上知aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)．
比较两个数(式)大小的两种方法
(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．
已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.
∵1＋a2－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，∴1＋a2>a，
∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.
答案：A
10.不等式变形中不等价致误
【典例】 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[解析] 法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝1.))
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.
法二：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝a－b，,f1＝a＋b))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1]，,b＝\f(1,2)[f1－f－1].))
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法三：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤a－b≤2，,2≤a＋b≤4，))
确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))时，
取得最小值4×eq \f(3,2)－2×eq \f(1,2)＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.
[答案] [5,10]
[易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(－2)＝4a－2b的范围，导致变量范围扩大．
[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．
[跟踪练习] 若α，β满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤α＋β≤1，,1≤α＋2β≤3，))试求α＋3β的取值范围．
解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x＋2y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
∴α＋3β的取值范围为[1,7]．
A组 考点能力演练
1．已知eq \f(1,a)A．a22
C．ab>b2 D．lg a2解析：∵eq \f(1,a)0，∴a－b>0，
∴ab－b2＝(a－b)b<0，∴ab答案：C
2．已知实数a，b∈(0,1)，且满足cs πaA．ln aC.eq \f(1,a)解析：因为a，b∈(0,1)，则πa，πb∈(0，π)，而函数y＝cs x在(0，π)上单调递减，又cs πaπb，即a>b，由函数y＝ln x，y＝sin x，y＝eq \f(1,x)，y＝x3的单调性知C正确．
答案：C
3．(2016·资阳一诊)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )
A．若a>b，则|a|>|b| B．若a>b，则eq \f(1,a)C．若|a|>b，则a2>b2 D．若a>|b|，则a2>b2
解析：当a＝1，b＝－2时，A不正确；当a＝1，b＝－2时，B不正确；当a＝1，b＝－2时，C不正确；对于D，a>|b|≥0，则a2>b2，故选D.
答案：D
4．已知ab>0，则“bA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由b0得ab20，所以a答案：C
5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若eq \f(a,c2)D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：A项，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B项，当c<0时，ac>bc⇒a0，∴a答案：C
6．若m解析：把p，q看成变量，则m答案：m7．(2015·安庆二模)若x>y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④eq \f(a,y)>eq \f(b,x)这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．又eq \f(a,y)＝eq \f(3,－3)＝－1，eq \f(b,x)＝eq \f(2,－2)＝－1，∴eq \f(a,y)＝eq \f(b,x)，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．
答案：②
8．如果0解析：显然变量a或c的值增加1会使S的值增加，∵00，∴eq \f(a＋1,b)＋eq \f(c,d)＋eq \f(1,e)>eq \f(a,b)＋eq \f(c＋1,d)＋eq \f(1,e)，即当变量a的值增加1会使S的值增加最大．
答案：a
9．若a>b>0，ceq \f(e,b－d2).
证明：∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
∴0又∵e<0，∴eq \f(e,a－c2)>eq \f(e,b－d2).
10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋eq \f(3,4)x·(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn，y2＝eq \f(4,5)nx.
所以y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)nx＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)nx＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,5))).
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．
B组 高考题型专练
1．(2013·高考天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a答案：A
2．(2012·高考湖南卷)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①eq \f(c,a)>eq \f(c,b)；②aclga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：∵a>b>1，∴eq \f(1,a)∴eq \f(c,a)>eq \f(c,b)，故①正确．
当c<0时，y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴ac∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.
∵a>b>1，∴lgb(a－c)>lga(a－c)>lga(b－c)，
即lgb(a－c)>lga(b－c)，故③正确．
答案：D
3．(2014·高考山东卷)已知实数x，y满足axA.eq \f(1,x2＋1)>eq \f(1,y2＋1)
B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y
D．x3>y3
解析：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．
答案：D
4．(2014·高考四川卷)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.eq \f(a,c)＞eq \f(b,d) B.eq \f(a,c)＜eq \f(b,d)
C.eq \f(a,d)＞eq \f(b,c) D.eq \f(a,d)＜eq \f(b,c)
解析：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确．
答案：D
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac同向可加性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn
(n∈N，n≥1)
同正
可开方性
a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
(n∈N，n≥2)
不等式的概念和性质
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
知识点一 实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a
(1)作差法
一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．
[自测练习]
1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M
C．M＝N D．不确定
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
知识点二 不等式性质
易误提醒
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b
[自测练习]
2．设a，b，c∈R，且a>b，则( )
A．ac>bc B.eq \f(1,a)
解析：当c<0时，ac>bc不成立，故A不正确，当a＝1，b＝－3时，B、C均不正确，故选D.
答案：D
3．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(b,a)>eq \f(b＋1,a＋1) B．a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)
C．a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a) D.eq \f(2a＋b,a＋2b)>eq \f(a,b)
解析：由a>b>0⇒0
答案：C
4．已知a<0，－1
答案：ab>ab2>a
考点一 利用不等式(组)表示不等关系|
1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x应满足的不等关系．
解：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x>0，,5－x＋12－x>13－x，,5－x2＋12－x2<13－x2.))
2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．
解：设甲、乙两种产品的产量分别为x件，y件，由题意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≤400，,2x＋y≤500，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))
利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：
关键点：准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言．
注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．
考点二 不等式性质及应用|
1．(2016·大庆质检)若a
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：由a
答案：A
2．(2016·武汉调研)若实数a，b∈(0,1)，且满足(1－a)b>eq \f(1,4)，则a，b的大小关系是( )
A．aC．a>b D．a≥b
解析：∵a，b∈(0,1)，∴1－a>0，又(1－a)b>eq \f(1,4)，
∴eq \f(1,4)
答案：A
3．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：法一：因为a＋eq \f(1,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＝eq \f(a－bab－1,ab)，所以若a>b>1，显然a＋eq \f(1,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＝eq \f(a－bab－1,ab)>0，则充分性成立；当a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(2,3)时，显然不等式a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立，故选A.
法二：令函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，则f′(x)＝1－eq \f(1,x2)＝eq \f(x2－1,x2)，可知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，所以“a>b>1”是“a＋eq \f(1,a)>b＋eq \f(1,b)”的充分不必要条件，选A.
答案：A
运用不等式性质求解问题的两个注意点
1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误．
2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．
考点三 比较大小|
(1)若实数a≠1，比较a＋2与eq \f(3,1－a)的大小；
(2)比较aabb与abba(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的大小．
[解] (1)a＋2－eq \f(3,1－a)＝eq \f(－a2＋a＋1,1－a)，
∵a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，∴－(a2＋a＋1)<0，
∴当1－a>0，即a<1时，eq \f(－a2＋a＋1,1－a)<0，则有a＋2
(2)eq \f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b，
当a>b>0时，eq \f(a,b)>1，a－b>0，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b>1，∴aabb>abba；
当b>a>0时，0
当a＝b>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))a－b＝1，∴aabb＝abba，
综上知aabb≥abba(当且仅当a＝b时取等号)．
比较两个数(式)大小的两种方法
(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．
已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.
∵1＋a2－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，∴1＋a2>a，
∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.
答案：A
10.不等式变形中不等价致误
【典例】 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[解析] 法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝1.))
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.
法二：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝a－b，,f1＝a＋b))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1]，,b＝\f(1,2)[f1－f－1].))
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法三：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤a－b≤2，,2≤a＋b≤4，))
确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))时，
取得最小值4×eq \f(3,2)－2×eq \f(1,2)＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.
[答案] [5,10]
[易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(－2)＝4a－2b的范围，导致变量范围扩大．
[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．
[跟踪练习] 若α，β满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤α＋β≤1，,1≤α＋2β≤3，))试求α＋3β的取值范围．
解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,x＋2y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
∴α＋3β的取值范围为[1,7]．
A组 考点能力演练
1．已知eq \f(1,a)
C．ab>b2 D．lg a2
∴ab－b2＝(a－b)b<0，∴ab
2．已知实数a，b∈(0,1)，且满足cs πa
答案：C
3．(2016·资阳一诊)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )
A．若a>b，则|a|>|b| B．若a>b，则eq \f(1,a)
解析：当a＝1，b＝－2时，A不正确；当a＝1，b＝－2时，B不正确；当a＝1，b＝－2时，C不正确；对于D，a>|b|≥0，则a2>b2，故选D.
答案：D
4．已知ab>0，则“b
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由b
5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若eq \f(a,c2)
解析：A项，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B项，当c<0时，ac>bc⇒a
6．若m
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．又eq \f(a,y)＝eq \f(3,－3)＝－1，eq \f(b,x)＝eq \f(2,－2)＝－1，∴eq \f(a,y)＝eq \f(b,x)，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．
答案：②
8．如果0
答案：a
9．若a>b>0，c
证明：∵c
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
∴0
10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋eq \f(3,4)x·(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn，y2＝eq \f(4,5)nx.
所以y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)nx＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)nx＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,5))).
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．
B组 高考题型专练
1．(2013·高考天津卷)设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a
2．(2012·高考湖南卷)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①eq \f(c,a)>eq \f(c,b)；②ac
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：∵a>b>1，∴eq \f(1,a)
当c<0时，y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a>b>1，∴ac
∵a>b>1，∴lgb(a－c)>lga(a－c)>lga(b－c)，
即lgb(a－c)>lga(b－c)，故③正确．
答案：D
3．(2014·高考山东卷)已知实数x，y满足ax
B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y
D．x3>y3
解析：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立．
答案：D
4．(2014·高考四川卷)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.eq \f(a,c)＞eq \f(b,d) B.eq \f(a,c)＜eq \f(b,d)
C.eq \f(a,d)＞eq \f(b,c) D.eq \f(a,d)＜eq \f(b,c)
解析：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，B，C均错，只有D正确．
答案：D
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔b
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
c的符号
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正
可乘性
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn
(n∈N，n≥1)
同正
可开方性
a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)
(n∈N，n≥2)
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