高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：10.4 变量间的相关关系、统计案例 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：10.4 变量间的相关关系、统计案例 word版含答案，共16页。

(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系．
(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
2．统计案例
了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
(1)独立性检验
了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
(2)回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
知识点一 回归分析
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
(3)通过求Q＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
(4)相关系数：
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
易误提醒
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))点，可能所有的样本数据点都不在直线上 .
3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．
[自测练习]
1．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq \(a,\s\up6(^))，则eq \(a,\s\up6(^))＝( )
B．2.6
C．2.2 D．0
解析：∵回归直线必过样本点的中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，又eq \x\t(x)＝2，eq \x\t(y)＝4.5，代入回归方程，得eq \(a,\s\up6(^))＝2.6.
答案：B
2．(2016·镇江模拟)如图所示，有A，B，C，D，E 5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．
解析：由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.
答案：D
知识点二 独立性检验
独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
易误提醒 (1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．
(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表．在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释．
[自测练习]
3．下面是2×2列联表：
则表中a，b的值分别为( )
A．94,72 B．52,50
C．52,74 D．74,52
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.
答案：C
考点一 相关关系的判断|
1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A．r2C．r4解析：易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2答案：A
2．(2015·高考湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
解析：因为y＝－0.1x＋1，x的系数为负，故x与y负相关；而y与z正相关，故x与z负相关．
答案：C
相关关系的判断的两种方法
(1)散点图法．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．

考点二 回归分析|
(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中wi＝eq \r(xi)，eq \x\t(w)＝eq \f(1,8)eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1))wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq \r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) ui－\x\t(u)vi－\x\t(v),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) ui－\x\t(u)2)，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \x\t(v)－eq \(β,\s\up6(^)) eq \x\t(u).
[解] (1)由散点图可以判断，y＝c＋deq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝eq \r(x)，先建立y关于w的线性回归方程．由于
eq \(d,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) wi－\x\t(w)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) wi－\x\t(w)2)＝eq \f(108.8,1.6)＝68，
eq \(c,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(d,\s\up6(^))eq \x\t(w)＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(x).
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(49)＝576.6，
年利润z的预报值
eq \(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
eq \(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq \r(x))－x＝－x＋13.6eq \r(x)＋20.12.
所以当eq \r(x)＝eq \f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时，eq \(z,\s\up6(^))取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
回归直线方程的求法
(1)利用公式，求出回归系数eq \(b,\s\up6(^))，eq \(a,\s\up6(^)).
(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．

1．(2016·银川一中模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^)).
(2)已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)由对照数据，计算得eq \(∑,\s\up6(4),\s\d4(i＝1))x1y1＝66.5，eq \(∑,\s\up6(4),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,1)＝32＋42＋52＋62＝86，eq \x\t(x)＝4.5，eq \x\t(y)＝3.5，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝eq \f(66.5－63,86－81)＝0.7，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所求的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.
(2)x＝100，eq \(y,\s\up6(^))＝100×0.7＋0.35＝70.35，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
考点三 独立性检验|
(2016·邯郸模拟)为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表．平均每天喝500 mL以上为常喝，体重超过50 kg为肥胖.
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为eq \f(4,15).
(1)请将上面的列联表补充完整．
(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？
参考数据：
参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
[解] (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，eq \f(x＋2,30)＝eq \f(4,15)，解得x＝6.
(2)由已知数据可求得K2＝eq \f(30×6×18－2×42,10×20×8×22)≈8.523>7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．
(3)设常喝碳酸饮料的肥胖男生为A，B，C，D，女生为E，F，任取两人的取法有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女的取法有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种．故抽出一男一女的概率是P＝eq \f(8,15).
解独立性检验的应用问题的关注点
(1)两个明确：
①明确两类主体；
②明确研究的两个问题．
(2)两个关键：
①准确画出2×2列联表；
②准确理解K2.
提醒：准确计算K2的值是正确判断的前提．


2．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
附表：
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”
解析：K2＝eq \f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.
P(K2≥6.635)＝0.01＝1－99%，∴有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”，故选A.
答案：A
12.独立性检验与概率交汇综合问题的答题模板
【典例】 (12分)(2016·保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
下面的临界值表供参考：
(参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)
[规范解答] (1)由公式K2＝eq \f(55×20×20－10×52,30×25×25×30)≈11.978>7.879，(3分)
所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(6分)
(2)设所抽样本中有m个男生，则eq \f(6,30)＝eq \f(m,20)，得m＝4，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2.从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15个，(9分)
其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8个．(11分)
所以恰有1个男生和1个女生的概率为eq \f(8,15).(12分)
[模板形成]
eq \x(分析2×2列联表数据)
↓
eq \x(利用K2公式计算K2值)
↓
eq \x(对分类变量的相关性作出判断)
↓
eq \x(求相应事件的概率)
↓
eq \x(反思解题过程，注意规范化)
[跟踪练习] 某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据见下表所示：
(1)如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)；其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是eq \f(22,50)＝eq \f(11,25)；
抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是eq \f(20,50)＝eq \f(2,5).
(2)因为K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq \f(50×17×20－5×82,25×25×22×28)≈11.688>10.828，
所以大约有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．
A组 考点能力演练
1．根据如下样本数据得到的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则( )
A.eq \(a,\s\up6(^))>0，eq \(b,\s\up6(^))>0 B.eq \(a,\s\up6(^))>0，eq \(b,\s\up6(^))<0
C.eq \(a,\s\up6(^))<0，eq \(b,\s\up6(^))>0 D.eq \(a,\s\up6(^))<0，eq \(b,\s\up6(^))<0
解析：把样本数据中的x，y分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy中作出散点图(图略)，由图可知eq \(b,\s\up6(^))<0，eq \(a,\s\up6(^))>0.故选B.
答案：B
2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq \x\t(x)＝3，eq \x\t(y)＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A.eq \(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3 B.eq \(y,\s\up6(^))＝2x－2.4
C.eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5 D.eq \(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.4
解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)，代入A，B得A正确．
答案：A
3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
附表及公式
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
则下面的正确结论是( )
A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得K2的观测值k0＝eq \f(100×675－3002,55×45×75×25)≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选A.
答案：A
4．根据如下样本数据：
得到的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^)).若样本点的中心为(5，0.9)，则当x每增加1个单位时，y就( )
A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
解析：依题意得，eq \f(a＋b－2,5)＝0.9，故eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))＝6.5①；又样本点的中心为(5,0.9)，故0.9＝5eq \(b,\s\up6(^))＋eq \(a,\s\up6(^))②，联立①②，解得eq \(b,\s\up6(^))＝－1.4，eq \(a,\s\up6(^))＝7.9，则eq \(y,\s\up6(^))＝－1.4x＋7.9，可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位，故选B.
答案：B
5．已知x与y之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.eq \(b,\s\up6(^))>b′，eq \(a,\s\up6(^))>a′ B.eq \(b,\s\up6(^))>b′，eq \(a,\s\up6(^))C.eq \(b,\s\up6(^))a′ D.eq \(b,\s\up6(^))解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))xiyi－6\x\t(x)·\x\t(y),\(∑,\s\up6(6),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－6\x\t(x)2)＝eq \f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))2)＝eq \f(5,7)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝eq \f(13,6)－eq \f(5,7)×eq \f(7,2)＝－eq \f(1,3)，所以eq \(b,\s\up6(^))a′.
答案：C
6．(2016·忻州联考)已知x，y的取值如下表：
从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.46x＋eq \(a,\s\up6(^))，则实数eq \(a,\s\up6(^))的值为________．
解析：eq \x\t(x)＝eq \f(2＋3＋4＋5,4)＝3.5，eq \x\t(y)＝eq \f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5,4)＝4.5，回归方程必过样本的中心点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得eq \(a,\s\up6(^))＝－0.61.
答案：－0.61
7．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示).
解析：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
＝eq \f(50×20×15－5×102,25×25×30×20)≈8.333>7.879.
答案：0.5%
8．已知下表所示数据的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝4x＋242，则实数a＝________.
解析：回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝4x＋242必过样本点的中心点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，而eq \x\t(x)＝eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq \x\t(y)＝eq \f(251＋254＋257＋a＋266,5)＝eq \f(1 028＋a,5)，∴eq \f(1 028＋a,5)＝4×4＋242，解得a＝262.
答案：262
9．(2015·东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：
(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．
解：(1)2×2列联表如下：
(2)因为K2＝eq \f(30×8－1282,12×18×20×10)＝10>6.635，
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
10．(2015·高考重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
(1)求y关于t的回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))中，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))tiyi－n\x\t(t) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))t\\al(2,i)－n\x\t(t)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(t).
解：(1)列表计算如下
这里n＝5，eq \x\t(t)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))ti＝eq \f(15,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yi＝eq \f(36,5)＝7.2.
又ltt＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))teq \\al(2,i)－neq \x\t(t)2＝55－5×32＝10，lty＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))tiyi－neq \x\t(t) eq \x\t(y)＝120－5×3×7.2＝12，
从而eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(lty,ltt)＝eq \f(12,10)＝1.2，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(t)＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为eq \(y,\s\up6(^))＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
B组 高考题型专练
1．(2015·高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝0.76，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
解析：∵eq \x\t(x)＝10.0，eq \x\t(y)＝8.0，eq \(b,\s\up6(^))＝0.76，∴eq \(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，∴回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.76x＋0.4，把x＝15代入上式得，eq \(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B.
答案：B
2．(2015·高考北京卷)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；
(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．
解析：(1)由题图分析乙的语文成绩名次略比甲的语文成绩名次靠前，但总成绩名次靠后，所以甲、乙两人中语文成绩名次比总成绩靠前的是乙；(2)丙同学的数学成绩名次位于中间稍微靠后，而总成绩名次相对靠后，所以丙同学的语文成绩名次比较靠后，所以丙同学的成绩名次靠前的科目是数学．
答案：乙 数学
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
22
25
47
总计
b
46
120
eq \x\t(x)
eq \x\t(y)
eq \x\t(w)
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))2
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－eq \x\t(w))2
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))
eq \(∑,\s\up6(8),\s\d4(i＝1)) (wi－eq \x\t(w))(yi－eq \x\t(y))
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
常喝
不常喝
合计
肥胖
2
不肥胖
18
合计
30
K2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
常喝
不常喝
合计
肥胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
合计
10
20
30
男
女
总计
走天桥
40
20
60
走斑马线
20
30
50
总计
60
50
110
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
喜欢“应用统计”课程
不喜欢“应
用统计”课程
总计
男生
20
5
25
女生
10
20
30
总计
30
25
55
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.25
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参加社团活动
不参加社团活动
合计
学习积极性高
17
8
25
学习积极性一般
5
20
25
合计
22
28
50
P(K2≥k0)
0.05
0.01
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
x
3
4
5
6
7
y
4.0
a－5.4
－0.5
0.5
b－0.6
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
x
2
3
4
5
y
2.2
3.8
5.5
6.5
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
总计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
总计
30
20
50
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
2
3
4
5
6
y
251
254
257
a
266
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
50岁以上
合计
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
i
ti
yi
teq \\al(2,i)
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
5
4
5
8
10
16
25
32
50
∑
15
36
55
120
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8