2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十八） 离散型随机变量的分布列、均值与方差 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十八） 离散型随机变量的分布列、均值与方差 word版含答案，共6页。试卷主要包含了全员必做题，冲刺满分题等内容，欢迎下载使用。

一、全员必做题
1．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列及均值E(X)．
解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,2)C\\al(1,2)C\\al(1,2),C\\al(3,10))＝eq \f(2,3).
(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,2)＋C\\al(1,2)C\\al(2,2),C\\al(3,10))＝eq \f(1,30)；
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)＋C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,10))＝eq \f(2,15)；
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(1,2)＋C\\al(1,6)C\\al(2,2),C\\al(3,10))＝eq \f(3,10)；
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(2,8)C\\al(1,2)＋C\\al(1,8)C\\al(2,2),C\\al(3,10))＝eq \f(8,15).
所以随机变量X的分布列为
E(X)＝2×eq \f(1,30)＋3×eq \f(2,15)＋4×eq \f(3,10)＋5×eq \f(8,15)＝eq \f(13,3).
2．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值E(X)．
解：(1)由已知得，P(A)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(2,3)＋C\\al(2,3)C\\al(2,3),C\\al(4,8))＝eq \f(6,35).
所以事件A发生的概率为eq \f(6,35).
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,5)C\\al(4－k,3),C\\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．
所以，随机变量X的分布列为
E(X)＝1×eq \f(1,14)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(3,7)＋4×eq \f(1,14)
＝eq \f(1,14)＋eq \f(12,14)＋eq \f(18,14)＋eq \f(4,14)＝eq \f(35,14)＝eq \f(5,2).
3．国庆节期间，某旅行社组织了14人参加“国家旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：
根据上表信息解答以下问题：
(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；
(2)从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列及E(X)．
解：(1)记“3人答对题目个数之和为6”为事件A，
事件A包含“3人分别答对2题”，“3人分别答对1,2,3题”和“3人分别答对0,3,3题”．
则P(A)＝eq \f(C\\al(3,5)＋C\\al(1,2)C\\al(1,5)C\\al(1,4)＋C\\al(1,3)C\\al(2,4),C\\al(3,14))＝eq \f(10＋40＋18,14×26)＝eq \f(17,91)，
即3人答对题目个数之和为6的概率为eq \f(17,91).
(2)依题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
则P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,14))＝eq \f(3,7×13)＝eq \f(3,91)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,14))＝eq \f(6,7×13)＝eq \f(6,91)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)＋C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(2,14))＝eq \f(16,7×13)＝eq \f(16,91)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,4)＋C\\al(1,2)C\\al(1,5),C\\al(2,14))＝eq \f(22,7×13)＝eq \f(22,91)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,5)＋C\\al(1,2)C\\al(1,4),C\\al(2,14))＝eq \f(18,7×13)＝eq \f(18,91)，
P(X＝5)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(2,14))＝eq \f(20,7×13)＝eq \f(20,91)，
P(X＝6)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,14))＝eq \f(6,7×13)＝eq \f(6,91).
从而X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(3,91)＋1×eq \f(6,91)＋2×eq \f(16,91)＋3×eq \f(22,91)＋4×eq \f(18,91)＋5×eq \f(20,91)＋6×eq \f(6,91)＝eq \f(6＋32＋66＋72＋100＋36,91)＝eq \f(312,91)＝eq \f(24,7).
1．抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体，记上底面上的数字分别为x，y.若表示a的整数部分，如：＝2，设ξ为随机变量，且ξ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(\f(x,y)))).
(1)求P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列，并求其均值E(ξ)．
解：(1)依题意，实数对(x，y)共有36种情况，使ξ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(\f(x,y))))＝0的实数对(x，y)有以下15种情况：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，
所以P(ξ＝0)＝eq \f(15,36)＝eq \f(5,12).
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2.
ξ＝1的情况有以下18种：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)，
所以P(ξ＝1)＝eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
ξ＝2的情况有以下3种：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以P(ξ＝2)＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
所以ξ的分布列为
均值E(ξ)＝0×eq \f(5,12)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,12)＝eq \f(2,3).
2．某商场中的20件不同的商品中有eq \f(3,4)是进口商品，其余的是国产商品．在进口商品中有eq \f(1,3)是高端商品，在国产商品中有eq \f(3,5)是高端商品．
(1)从该批商品中随机抽取3件，求恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；
(2)若销售1件国产高端商品获利80元，1件国产非高端商品获利50元，当销售该批国产商品3件时，获利为ξ元，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
解：(1)设事件B为“从该批商品中随机抽取3件，恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”．
因为这20件商品中，进口高端商品有20×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝5(件)，国产高端商品有20×eq \f(1,4)×eq \f(3,5)＝3(件)．
所以P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,12),C\\al(3,20))＋eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,3)C\\al(1,12),C\\al(3,20))＝eq \f(17,38)，
即从该批商品中随机抽取3件，恰有1件进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是eq \f(17,38).
(2)由于本批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，故销售该批国产商品3件时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.
P(ξ＝180)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，P(ξ＝210)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,2),C\\al(3,5))＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝240)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10).
所以ξ的分布列为
故E(ξ)＝180×eq \f(3,10)＋210×eq \f(3,5)＋240×eq \f(1,10)＝204.
三、冲刺满分题
1．袋中装有黑色球和白色球共7个，从中任取2个球都是白色球的概率为eq \f(1,7).现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用X表示摸球终止时所需摸球的次数．
(1)求随机变量X的分布列和均值E(X)；
(2)求甲摸到白色球的概率．
解析：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知eq \f(C\\al(2,x),C\\al(2,7))＝eq \f(1,7)，所以eq \f(\f(xx－1,2×1),\f(7×6,2×1))＝eq \f(1,7)，
即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．
(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.
P (X＝1)＝eq \f(A\\al(1,3),A\\al(1,7))＝eq \f(3,7)，P(X＝2)＝eq \f(A\\al(1,4)A\\al(1,3),A\\al(2,7))＝eq \f(2,7)，P(X＝3)＝eq \f(A\\al(2,4)A\\al(1,3),A\\al(3,7))＝eq \f(6,35)，P(X＝4)＝eq \f(A\\al(3,4)A\\al(1,3),A\\al(4,7))＝eq \f(3,35)，P(X＝5)＝eq \f(A\\al(4,4)A\\al(1,3),A\\al(5,7))＝eq \f(1,35).
随机变量X的分布列为
所以E(X)＝1×eq \f(3,7)＋2×eq \f(2,7)＋3×eq \f(6,35)＋4×eq \f(3,35)＋5×eq \f(1,35)＝2.
(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：
A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；
A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；
A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．
依题意知，P(A1)＝eq \f(A\\al(1,3),A\\al(1,7))＝eq \f(3,7)，P(A2)＝eq \f(A\\al(2,4)A\\al(1,3),A\\al(3,7))＝eq \f(6,35)，P(A3)＝eq \f(A\\al(4,4)A\\al(1,3),A\\al(5,7))＝eq \f(1,35)，
所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(3,7)＋eq \f(6,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(22,35).
2．某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：
(1)记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为ξ(单位：万元)，求ξ的分布列和均值E(ξ)；
(2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？
(注：毛收入＝销售商支付给牛奶厂的费用－运费)
解：(1)若汽车走公路1，
不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1.6＝18.4(万元)；
堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1.6－1＝17.4(万元)，
∴汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为
E(ξ)＝18.4×eq \f(9,10)＋17.4×eq \f(1,10)＝18.3(万元)．
(2)设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η，则
不堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0.8＋1＝20.2(万元)；
堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0.8－2＝17.2(万元)．
∴汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为
E(η)＝20.2×eq \f(1,2)＋17.2×eq \f(1,2)＝18.7(万元)．
∵E(ξ)∴选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多．
X
2
3
4
5
P
eq \f(1,30)
eq \f(2,15)
eq \f(3,10)
eq \f(8,15)
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(3,7)
eq \f(3,7)
eq \f(1,14)
答对题目个数
0
1
2
3
人数
3
2
5
4
X
0
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(3,91)
eq \f(6,91)
eq \f(16,91)
eq \f(22,91)
eq \f(18,91)
eq \f(20,91)
eq \f(6,91)
ξ
0
1
2
P
eq \f(5,12)
eq \f(1,2)
eq \f(1,12)
ξ
180
210
240
P
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
eq \f(1,10)
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(3,7)
eq \f(2,7)
eq \f(6,35)
eq \f(3,35)
eq \f(1,35)
统计
信息
汽车行
驶路线
在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)
在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)
堵车的概率
运费(万元)
公路1
2
3
eq \f(1,10)
1.6
公路2
1
4
eq \f(1,2)
0.8
ξ
18.4
17.4
P
eq \f(9,10)
eq \f(1,10)
η
20.2
17.2
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)