2021高考数学（理）大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测（二十三） 三角恒等变换 word版含答案

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1．计算eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选B eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)＝eq \f(sin 70°sin 20°,cs 310°)
＝eq \f(cs 20°sin 20°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2).
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,2)，－eq \f(π,2)＜α＜0，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(1,2) D．1
解析：选C 由已知得cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝－eq \f(1,2).
3．(2017·江西新余三校联考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝－eq \f(7,8)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(7,8)
C．±eq \f(1,4) D．±eq \f(7,8)
解析：选C 因为cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝eq \f(7,8)，所以有sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,8)))＝eq \f(1,16)，从而求得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的值为±eq \f(1,4)，故选C.
4．已知sineq \f(π,6)－α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))的值是( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(7,9)
解析：选D ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝cs2eq \f(π,6)－α
＝1－2sin2eq \f(π,6)－α＝eq \f(7,9)，
∴cs2eq \f(π,3)＋α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))
＝csπ－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝－cseq \f(π,3)－2α＝－eq \f(7,9).
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是________．
解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
∴sineq \f(π,3)cs α＋cs eq \f(π,3)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
∴eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，
即eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cs α＝eq \f(4,5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝sin αcseq \f(7π,6)＋cs αsineq \f(7π,6)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝－eq \f(4,5).
答案：－eq \f(4,5)
一、选择题
1．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
解析：选D 依题意得cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝cs αcseq \f(π,4)＋sin αsineq \f(π,4)2＝eq \f(1,2)(cs α＋sin α)2＝eq \f(1,2)(1＋sin 2α)＝eq \f(2,3).
2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1 D．±1
解析：选C ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，
∴cs x＋csx－eq \f(π,3)＝cs x＋cs xcseq \f(π,3)＋sin xsineq \f(π,3)＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝－1.
3．若tan α＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))
＝eq \f(sin αcs\f(π,5)＋cs αsin\f(π,5),sin αcs\f(π,5)－cs αsin\f(π,5))＝eq \f(\f(sin α,cs α)cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sin α,cs α)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))
＝eq \f(2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故选C.
4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，cs 2α＝eq \f(7,25)，则sin α＝( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
解析：选C 由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)得sin α－cs α＝eq \f(7,5)， ①
由cs 2α＝eq \f(7,25)得cs2α－sin2α＝eq \f(7,25)，
所以(cs α－sin α)·(cs α＋sin α)＝eq \f(7,25)， ②
由①②可得cs α＋sin α＝－eq \f(1,5)， ③
由①③可得sin α＝eq \f(3,5).
5．在斜三角形ABC中，sin A＝－eq \r(2)cs B·cs C，且tan B·tan C＝1－eq \r(2)，则角A的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,2) D.eq \f(3π,4)
解析：选A 由题意知，sin A＝－eq \r(2)cs B·cs C＝sin(B＋C)＝sin B·cs C＋cs B·sin C，
在等式－eq \r(2)cs B·cs C＝sin B·cs C＋cs B·sin C两边同除以cs B·cs C得tan B＋tan C＝－eq \r(2)，
又tan B·tan C＝1－eq \r(2)，
所以tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,1－tan Btan C)＝－1.
由已知，有tan A＝－tan(B＋C)，
则tan A＝1，所以A＝eq \f(π,4).
6．已知锐角α，β满足sin α－cs α＝eq \f(1,6)，tan α＋tan β＋eq \r(3)·tan αtan β＝eq \r(3)，则α，β的大小关系是( )
A．αC.eq \f(π,4)<α<β D.eq \f(π,4)<β<α
解析：选B ∵α为锐角，sin α－cs α＝eq \f(1,6)，
∴α>eq \f(π,4).又tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)，
∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(3)，
∴α＋β＝eq \f(π,3)，又α>eq \f(π,4)，
∴β二、填空题
7．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－2eq \r(2)sin2x的最小正周期是________．
解析：∵f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin 2x－eq \f(\r(2),2)cs 2x－eq \r(2)(1－cs 2x)＝eq \f(\r(2),2)sin 2x＋eq \f(\r(2),2)cs 2x－eq \r(2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))－eq \r(2)，∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
答案：π
8．已知cs4α－sin4α＝eq \f(2,3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝________.
解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cs4α－sin4α＝(sin2α＋cs2α)(cs2α－sin2α)＝cs 2α＝eq \f(2,3)>0，∴2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin 2α＝eq \r(1－cs22α)＝eq \f(\r(5),3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs 2α－eq \f(\r(3),2)sin 2α＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(5),3)＝eq \f(2－\r(15),6).
答案：eq \f(2－\r(15),6)
9．已知tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则α＋β＝________.
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3eq \r(3)<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(3)，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－eq \f(2π,3).
答案：－eq \f(2π,3)
10．若0<α解析：∵0<α答案：eq \f(5\r(3),9)
三、解答题
11．已知函数f(x)＝cs2x＋sin xcs x，x∈R.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值；
(2)若sin α＝eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24))).
解：(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝cs2eq \f(π,6)＋sineq \f(π,6)cseq \f(π,6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3＋\r(3),4).
(2)因为f(x)＝cs2x＋sin xcs x＝eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(1,2)sin 2x
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)(sin 2x＋cs 2x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)＋\f(π,4)))
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α)).
因为sin α＝eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs α＝－eq \f(4,5)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)eq \f(1,2)×eq \f(3,5)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(4,5)
＝eq \f(10＋3\r(2)－4\r(6),20).
12．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z)).
f(x)＝4tan xcs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)
＝4sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)
＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)
＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)
＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)令z＝2x－eq \f(π,3)，则函数y＝2sin z的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z.
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z.
设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，B＝x－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4))).
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上单调递减.