2021高考数学（理）大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测（二十） 同角三角函数的基本关系与诱导公式 word版含答案

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1．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sin α＝－eq \f(3,5)，则cs(－α)＝( )
A．－eq \f(4,5) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
解析：选B 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sin α＝－eq \f(3,5)，所以cs α＝eq \f(4,5)，则cs(－α)＝cs α＝eq \f(4,5).
2．若sin θcs θ＝eq \f(1,2)，则tan θ＋eq \f(cs θ,sin θ)的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D.eq \f(1,2)
解析：选B tan θ＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,cs θsin θ)＝2.
3．已知sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，|θ|＜eq \f(π,2)，则θ等于( )
A．－eq \f(π,6) B．－eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，∴－sin θ＝－eq \r(3)cs θ，∴tan θ＝eq \r(3).∵|θ|＜eq \f(π,2)，∴θ＝eq \f(π,3).
4．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(4,5)，则tan α＝________.
解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(4,5)，∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(3,5)，∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).
答案：－eq \f(4,3)
5.eq \f(\r(1－2sin 40°cs 40°),cs 40°－\r(1－sin250°))＝________.
解析：原式＝eq \f(\r(sin240°＋cs240°－2sin 40°cs 40°),cs 40°－cs 50°)
＝eq \f(|sin 40°－cs 40°|,sin 50°－sin 40°)＝eq \f(|sin 40°－sin 50°|,sin 50°－sin 40°)
＝eq \f(sin 50°－sin 40°,sin 50°－sin 40°)＝1.
答案：1
一、选择题
1．sin(－600°)的值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C．1 D.eq \f(\r(3),3)
解析：选A sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝eq \f(\r(3),2).
2．已知tan(α－π)＝eq \f(3,4)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
解析：选B 由tan(α－π)＝eq \f(3,4)得tan α＝eq \f(3,4).又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α为第三象限的角，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＝\f(sin α,cs α)＝\f(3,4)，,sin2α＋cs2α＝1，))可得，sin α＝－eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5).所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝cs α＝－eq \f(4,5).
3．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选D ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcs(4π＋β)
＝asin α＋bcs β＝3，
∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcs(2 017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcs(π＋β)
＝－asin α－bcs β
＝－(asin α＋bcs β)＝－3.
4．已知2tan α·sin α＝3，－eq \f(π,2)<α<0，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
解析：选B 因为2tan α·sin α＝3，所以eq \f(2sin2α,cs α)＝3，所以2sin2α＝3cs α，即2－2cs2α＝3cs α，所以cs α＝eq \f(1,2)或cs α＝－2(舍去)，又－eq \f(π,2)<α<0，所以sin α＝－eq \f(\r(3),2).
5．若θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin θ·cs θ＝eq \f(3\r(7),16)，则sin θ＝( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(\r(7),4) D.eq \f(3,4)
解析：选D ∵sin θ·cs θ＝eq \f(3\r(7),16)，∴(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θ·cs θ＝eq \f(8＋3\r(7),8)，(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(8－3\r(7),8)，∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin θ＋cs θ＝eq \f(3＋\r(7),4) ①，sin θ－cs θ＝eq \f(3－\r(7),4) ②，联立①②得，sin θ＝eq \f(3,4).
6．(2017·长沙模拟)若sin θ，cs θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A．1＋eq \r(5) B．1－eq \r(5)
C．1±eq \r(5) D．－1－eq \r(5)
解析：选B 由题意知，sin θ＋cs θ＝－eq \f(m,2)，sin θcs θ＝eq \f(m,4).∵(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ，∴eq \f(m2,4)＝1＋eq \f(m,2)，解得m＝1±eq \r(5)，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq \r(5).
二、填空题
7．化简：eq \f(csα－π,sinπ－α)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝________.
解析：eq \f(csα－π,sinπ－α)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(－cs α,sin α)·(－cs α)·(－sin α)＝－cs2α.
答案：－cs2α
8．若f(α)＝eq \f(sin[k＋1π＋α]·cs[k＋1π－α],sinkπ－α·cskπ＋α)(k∈Z)，则f(2 017)＝________.
解析：①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，原式＝eq \f(sin2nπ＋π＋α·cs2nπ＋π－α,sin2nπ－α·cs2nπ＋α)＝eq \f(－sin α·－cs α,－sin α·cs α)＝－1；
②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
原式＝eq \f(sin[2n＋2π＋α]·cs[2n＋2π－α],sin[2n＋1π－α]·cs[2n＋1π＋α])
＝eq \f(sin α·cs α,sin α·－cs α)＝－1.
综上所述，当k∈Z时，f(α)＝－1，
故f(2 017)＝－1.
答案：－1
9．若角θ满足eq \f(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋cs θ,2sinπ＋θ－3csπ－θ)＝3，则tan θ的值为________．
解析：由eq \f(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋cs θ,2sinπ＋θ－3csπ－θ)＝3，得eq \f(2sin θ＋cs θ,－2sin θ＋3cs θ)＝3，等式左边分子分母同时除以cs θ，得eq \f(2tan θ＋1,－2tan θ＋3)＝3，解得tan θ＝1.
答案：1
10．已知角A为△ABC的内角，且sin A＋cs A＝eq \f(1,5)，则tan A的值为________．
解析：∵sin A＋cs A＝eq \f(1,5) ①，
①式两边平方得1＋2sin Acs A＝eq \f(1,25)，
∴sin Acs A＝－eq \f(12,25)，
则(sin A－cs A)2＝1－2sin Acs A＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，
∵角A为△ABC的内角，∴sin A>0，
又sin Acs A＝－eq \f(12,25)<0，
∴cs A<0，
∴sin A－cs A>0，
则sin A－cs A＝eq \f(7,5) ②.
由①②可得sin A＝eq \f(4,5)，cs A＝－eq \f(3,5)，
∴tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
答案：－eq \f(4,3)
三、解答题
11．已知sin(3π＋α)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cs α.
(1)原式＝eq \f(2cs α－4cs α,5×2cs α＋2cs α)＝－eq \f(1,6).
(2)原式＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(sin2α＋sin2α,sin2α＋\f(1,4)sin2α)＝eq \f(8,5).
12．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))
＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ.
由条件知sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
故eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知，得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
又1＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，可得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
又θ∈(0,2π)，故θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6).