2021高考数学（文）大一轮复习习题 板块命题点专练（十二） word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 板块命题点专练（十二） word版含答案，共5页。试卷主要包含了故选D，设直线y＝x＋2a与圆C，直线l1，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

1．(2013·天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－eq \f(1,2) B．1
C．2 D．eq \f(1,2)
解析：选C 由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以eq \f(2－0,2－1)＝a，解得a＝2．
2．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 ( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选D 依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0．故选D．
1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D 圆的半径r＝eq \r(1－02＋1－02)＝eq \r(2)，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A．eq \f(5,3) B．eq \f(\r(21),3)
C．eq \f(2\r(5),3) D．eq \f(4,3)
解析：选B ∵A(1,0)，B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为eq \r(3)，故中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(21),3)．
3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(00)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋4＝r2，,4－m2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,2)，,r2＝\f(25,4).))
所以圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)
4．(2015·山东高考)过点P(1，eq \r(3))作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝________．
解析：如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，|OP|＝eq \r(1＋3)＝2，又|OA|＝|OB|＝1，可以求得|AP|＝|BP|＝eq \r(3)，∠APB＝60°，故eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝eq \r(3)×eq \r(3)×cs 60°＝eq \f(3,2)．
答案：eq \f(3,2)
5．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝eq \r(a2＋2)，因为|AB|＝2eq \r(3)，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝eq \f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq \f(|a|,\r(2))，由勾股定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π．
答案：4π
6．(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
解析：如图所示，圆心在直线x＝2上，所以切点A为(2,1)．
设圆心C为(2，t)，由题意，
可得|OC|＝|CA|，
故4＋t2＝(1－t)2，
所以t＝－eq \f(3,2)，半径r2＝eq \f(25,4)．
所以圆C的方程为
(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))2＝eq \f(25,4)．
答案：(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))2＝eq \f(25,4)
7．(2014·湖北高考)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．
解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为eq \f(π,2)，则圆心到直线l1的距离为eq \f(\r(2),2)，即eq \f(|a|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2．
答案：2
8．(2015·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
解析：由题意，圆心与点P的连线的斜率kOP＝2，
∴切线的斜率k＝－eq \f(1,2)．
由点斜式可得切线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，
即x＋2y－5＝0．
答案：x＋2y－5＝0
9．(2016·全国丙卷)已知直线l：x－eq \r(3)y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－eq \r(3)y＋6＝0，
∴kAB＝eq \f(\r(3),3)，∴∠BPD＝30°，
从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，
∵|OB|＝2eq \r(3)，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
答案：4
10．(2014·北京高考)已知椭圆C：x2＋2y2＝4．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1．
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．
因此a＝2，c＝eq \r(2)．
故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)．
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0．
因为OA⊥OB，
所以eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－eq \f(2y0,x0)．
当x0＝t时，y0＝－eq \f(t2,2)，
代入椭圆C的方程，得t＝±eq \r(2)，
故直线AB的方程为x＝±eq \r(2)．
圆心O到直线AB的距离d＝eq \r(2)．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，
直线AB的方程为y－2＝eq \f(y0－2,x0－t)(x－t)．
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0．
d＝eq \f(|2x0－ty0|,\r(y0－22＋x0－t2)) ．
又xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝4，t＝－eq \f(2y0,x0)，
故d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2x0＋\f(2y\\al(2,0),x0))),\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋\f(4y\\al(2,0),x\\al(2,0))＋4))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4＋x\\al(2,0),x0))),\r(\f(x\\al(4,0)＋8x\\al(2,0)＋16,2x\\al(2,0))))＝eq \r(2)．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
11．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up7(―→))·eq \(ON,\s\up7(―→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1．
因为直线l与圆C交于两点，
所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，
解得eq \f(4－\r(7),3)所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3)))．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0．
所以x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2)．
eq \(OM,\s\up7(―→))·eq \(ON,\s\up7(―→))＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8．
由题设可得eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1．
故圆心C(2,3)在直线l上，
所以|MN|＝2．
命题点一 直线的方程、两条直线的位置关系
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题
命题点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题、解答题