2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十三）　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十三）　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 word版含答案，共4页。试卷主要包含了直线l等内容，欢迎下载使用。
1．直线l：xsin 30°＋ycs 150°＋1＝0的斜率是( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \r(3)
C．－eq \r(3) D．－eq \f(\r(3),3)
解析：选A 设直线l的斜率为k，则k＝－eq \f(sin 30°,cs 150°)＝eq \f(\r(3),3)．
2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：选D 直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0．
3．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是( )
A．(－6，－2) B．(－5，－3)
C．(－∞，－6) D．(－2，＋∞)
解析：选A 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－2x＋3k＋14，,x－4y＝－3k－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝k＋6，,y＝k＋2，))
因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，所以k＋6>0且k＋20，b>0)可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b．求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a＋b的最小值．由直线经过点(1,2)得eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1．于是a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)，因为eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝2eq \r(2)当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)时取等号，所以a＋b≥3＋2eq \r(2)，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为3＋2eq \r(2)．
答案：3＋2eq \r(2)
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为eq \f(1,6)．
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k)＋3))＝±6，
解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3)．
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1．
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
10．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq \f(1,2)x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－eq \f(\r(3),3)，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq \f(\r(3),3)x．
设A(m，m)，B(－eq \r(3)n，n)，
所以AB的中点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，
由点C在直线y＝eq \f(1,2)x上，且A，P，B三点共线得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))
解得m＝eq \r(3)，所以A(eq \r(3)，eq \r(3))．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq \f(\r(3),\r(3)－1)＝eq \f(3＋\r(3),2)，
所以lAB：y＝eq \f(3＋\r(3),2)(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋eq \r(3))x－2y－3－eq \r(3)＝0．
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1．已知曲线y＝eq \f(1,ex＋1)，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．
解析：y′＝eq \f(－ex,ex＋12)＝eq \f(－1,ex＋\f(1,ex)＋2)，因为ex>0，所以ex＋eq \f(1,ex)≥2eq \r(ex·\f(1,ex))＝2(当且仅当ex＝eq \f(1,ex)，即x＝0时取等号)，所以ex＋eq \f(1,ex)＋2≥4，故y′＝eq \f(－1,ex＋\f(1,ex)＋2)≥－eq \f(1,4)(当且仅当x＝0时取等号)．
所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，切线的方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)(x－0)，即x＋4y－2＝0．该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为eq \f(1,2)，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝eq \f(1,2)×2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)．
答案：eq \f(1,2)
2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥0，,1＋2k≥0，))解得k≥0，故k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))．
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
又－eq \f(1＋2k,k)0，∴k>0．
故S＝eq \f(1,2)|OA||OB|＝eq \f(1,2)×eq \f(1＋2k,k)×(1＋2k)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．