2021高考数学（文）大一轮复习习题 第三章 三角函数、解三角形 课时跟踪检测 （十六）　任意角和弧度制及任意角的三角函数 word版含答案

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1．已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 因为点P在第三象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α<0，,cs α<0，))所以α的终边在第二象限，故选B．
2．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则sin α的值为( )
A．eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C．eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
解析：选B 设点P与原点间的距离为r，
∵P(－4a,3a)，a<0，
∴r＝eq \r(－4a2＋3a2)＝|5a|＝－5a．
∴sin α＝eq \f(3a,r)＝－eq \f(3,5)．
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,2)
C．eq \r(3) D．2
解析：选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为eq \r(3)r，所以eq \r(3)r＝αr，
所以α＝eq \r(3)．
4．在直角坐标系中，O是原点，A(eq \r(3)，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
解析：依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cs 120°＝－1，y＝2sin 120°＝eq \r(3)，即B(－1，eq \r(3))．
答案：(－1，eq \r(3))
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝________．
解析：因为sin θ＝eq \f(y,\r(42＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8．
答案：－8
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1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6)
C．－eq \f(π,3) D．－eq \f(π,6)
解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的eq \f(1,6)，即为－eq \f(1,6)×2π＝－eq \f(π,3)．
2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cs α＝eq \f(1,5)x，则tan α＝( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3)
解析：选D 因为α是第二象限角，所以cs α＝eq \f(1,5)x＜0，
即x＜0．又cs α＝eq \f(1,5)x＝eq \f(x,\r(x2＋16))．
解得x＝－3，所以tan α＝eq \f(4,x)＝－eq \f(4,3)．
3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cs 2)，则sin α等于( )
A．sin 2 B．－sin 2
C．cs 2 D．－cs 2
解析：选D 因为r＝eq \r(2sin 22＋－2cs 22)＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝eq \f(y,r)＝－cs 2．
4．设θ是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cs eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由θ是第三象限角，知eq \f(θ,2)为第二或第四象限角，∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cs eq \f(θ,2)，∴cs eq \f(θ,2)<0，综上知eq \f(θ,2)为第二象限角．
5．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样．
6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．
解析：∵2 017°＝217°＋5×360°，
∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°．
答案：217°
7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
答案：一
8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，
则eq \f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq \f(5,27)，
∴α＝eq \f(5π,6)．
∴扇形的弧长与圆周长之比为eq \f(l,c)＝eq \f(\f(5π,6)·\f(2,3)r,2πr)＝eq \f(5,18)．
答案：eq \f(5,18)
9．在(0,2π)内，使sin x>cs x成立的x的取值范围为____________________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cs x的x值，sineq \f(π,4)＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，sineq \f(5π,4)＝cseq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2)．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))
10．已知扇形AOB的周长为8．
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝3，,l＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝6，))
∴α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,3)或α＝eq \f(l,r)＝6．
(2)法一：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,4)l·2r≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l＋2r,2)))2＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝eq \f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4．
∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．
法二：∵2r＋l＝8，
∴S扇＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，即α＝eq \f(l,r)＝2时，扇形面积取得最大值4．
∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．
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1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A．sin α＋cs α＜0 B．tan α－sin α＜0
C．cs α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cs α＜0，tan α＞0，则可排除A、C、D．
2．已知角α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(cs θ,|cs θ|)＋eq \f(tan θ,|tan θ|)的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B 由α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cs θ＞0，tan θ＜0．
所以y＝－1＋1－1＝－1．
3．已知sin α＜0，tan α＞0．
(1)求α角的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断 taneq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cseq \f(α,2)的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))．
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，
故eq \f(α,2)终边在第二、四象限．
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)＜0，
sin eq \f(α,2)＞0, cs eq \f(α,2)＜0，
所以taneq \f(α,2) sineq \f(α,2) cseq \f(α,2)取正号；
当eq \f(α,2)在第四象限时， taneq \f(α,2)＜0，
sineq \f(α,2)＜0, cseq \f(α,2)＞0，
所以 taneq \f(α,2)sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)也取正号．
因此，taneq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号．