2021高考数学（文）大一轮复习习题 第七章 立体几何 课时跟踪检测 （四十）　空间点、线、面之间的位置关系 word版含答案

课时跟踪检测  (四十)　空间点、线、面之间的位置关系

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1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为(　　)

A．P∈m，m∈α　　　　　　 B．P∈m，m⊂α

C．P⊂m，m∈α  D．P⊂m，m⊂α

解析：选B　点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”，故选B．

2．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

解析：选D　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是(　　)

A．6  B．12

C．12  D．24

解析：选A　如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝6，故选A．

4．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．

答案：1或4

5．如图，平行六面体ABCD  ­A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1．故符合条件的有5条．

答案：5

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1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)

A．相交  B．异面

C．平行  D．垂直

解析：选A　由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，

从而四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥CD1，

又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，

则A1B与EF相交．

3．下列命题中，真命题的个数为(　　)

①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；

②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；

④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l．

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2．

4．如图，ABCD  ­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)

A．A，M，O三点共线  B．A，M，O，A1不共面

C．A，M，C，O不共面  D．B，B1，O，M共面

解析：选A　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．

5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选C　如图，设正方体的棱长为a，取线段AB的中点M，连接CM，MF，EF．则MF綊AE，所以∠CFM即为所求角或所求角的补角．在△CFM中，MF＝CM＝a，CF＝a，根据余弦定理可得cos∠CFM＝，所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为．故选C．

6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．

解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

答案：3

7．(2017·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．

答案：①

8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，

所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，

所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，

所以C1D＝AD，

所以直线AC1与AD所成角的正切值为，

所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为．

答案：

9．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由．

解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：

如图，连接MN，A1C1，AC．

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，

所以MN∥A1C1．

又因为A1A綊C1C，

所以四边形A1ACC1为平行四边形，

所以A1C1∥AC，

所以MN∥AC，

所以A，M，N，C在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线．

(2)D1B与CC1是异面直线．

理由如下：

因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．

假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．

所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

10．如图所示，在三棱锥P ­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2，PA＝2．求：

(1)三棱锥P ­ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，

故三棱锥P ­ABC的体积为

V＝·S△ABC·PA＝×2×2＝．

(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE，

则DE∥BC，

所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，

则cos∠ADE＝＝＝．

即异面直线BC与AD所成角的余弦值为．

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1．如图是三棱锥D­ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选A　由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝，在直角三角形DAO中可以求得DO＝．在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝＝，故所求余弦值为．

2．如图所示，三棱柱ABC ­A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2．

(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．

解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M．

因为侧棱A1A⊥底面ABC，

所以侧面A1ACC1⊥底面ABC．

又因为EC＝2FB＝2，

所以OM∥FB∥EC且OM＝EC＝FB，

所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF．

因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，

故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ．

因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，

所以PQ∥AE，PB∥EF，

所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，

因为PB∩PQ＝P，PB，PQ ⊂平面PBQ，

所以平面PBQ∥平面AEF．

又因为BQ⊂平面PBQ，

所以BQ∥平面AEF．

故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．

(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．

易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，

所以cos∠OFE＝＝＝，

所以BM与EF所成的角的余弦值为．