2021高考数学（文）大一轮复习习题 第三章 三角函数、解三角形 课时跟踪检测 （十九）　函数y＝asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用 word版含答案

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1．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，eq \f(1,π)，－eq \f(π,4) B．2，eq \f(1,2π)，－eq \f(π,4)
C．2，eq \f(1,π)，－eq \f(π,8) D．2，eq \f(1,2π)，－eq \f(π,8)
答案：A
2．函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为( )
A．eq \f(π,2) B．π
C．2π D．4π
解析：选D 最小正周期为T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π．
3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的简图是( )
解析：选A 令x＝0，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，排除B、D．由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝0，排除C，故选A．
4．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动eq \f(π,3)个单位长度
B．向右平行移动eq \f(π,3)个单位长度
C．向左平行移动eq \f(π,6)个单位长度
D．向右平行移动eq \f(π,6)个单位长度
解析：选D ∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))))，
∴将函数y＝sin 2x的图象向右平行移动eq \f(π,6)个单位长度，可得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．
5．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为eq \f(π,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值是( )
A．－eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3)
C．1 D．eq \r(3)
解析：选D 由题意可知该函数的周期为eq \f(π,2)，
∴eq \f(π,ω)＝eq \f(π,2)，ω＝2，f(x)＝tan 2x．
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3)．
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1．为了得到y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B．横坐标缩短eq \f(1,2)倍，再向上平移1个单位长度
C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D．横坐标缩短eq \f(1,2)倍，再向下平移1个单位长度
解析：选B 将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短eq \f(1,2)倍，将y＝3sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B．
2．(2017·贵州省适应性考试)将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ≤\f(π,2)))个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
解析：选A 将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ≤\f(π,2)))个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋φ＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2φ＋\f(π,6)))，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z，又0＜φ≤eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6)．
3．(2015·湖南高考)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<φ<\f(π,2)))个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝eq \f(π,3)，则φ＝( )
A．eq \f(5π,12) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
解析：选D 由已知得g(x)＝sin (2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝eq \f(π,3)，令2x1＝eq \f(π,2)，2x2－2φ＝－eq \f(π,2)，此时|x1－x2|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－φ))＝eq \f(π,3)，又0<φ4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，如果x1，x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(\r(2),2) D．1
解析：选B 由图可知，eq \f(T,2)＝eq \f(π,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(π,2)，
则T＝π，ω＝2，
又∵eq \f(－\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq \f(π,12)，∴f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，1))，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)＋φ))＝1，得φ＝eq \f(π,3)，
∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．
而x1＋x2＝－eq \f(π,6)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,6)，
∴f(x1＋x2)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)))＝sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)．
5．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的图象，为了得到y＝sin x(x∈R)的图象，只要将函数f(x)的图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变
B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变
D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
解析：选D 由题图可知A＝1，T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2．
∵题图过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))在函数的单调递减区间上，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq \f(2,3)π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，
∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2kπ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．
故将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝sin x的图象，故选D．
6．若函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为eq \f(π,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝________．
解析：由f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为eq \f(π,2)，得ω＝4．所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×\f(π,3)－\f(π,3)))＝0．
答案：0
7．已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)和g(x)＝3cs(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＝3cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))))＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(2π,3)))，易知ω＝2，则f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，
∴－eq \f(3,2)≤f(x)≤3．
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
8．已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq \f(π,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
解析：由角φ的终边经过点P(－4,3)，可得cs φ＝－eq \f(4,5)，sin φ＝eq \f(3,5)．
根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq \f(π,2)，
可得周期为eq \f(2π,ω)＝2×eq \f(π,2)，解得ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝cs φ＝－eq \f(4,5)．
答案：－eq \f(4,5)
9．(2017·郴州模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋eq \f(π,3)(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间上的图象；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解：(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))，
因为T＝π，所以eq \f(2π,ω)＝π，即ω＝2，
故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．
列表如下：
y＝f(x)在上的图象如图所示．
(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．
再将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)的图象．
10．函数f(x)＝cs(πx＋φ)0<φ(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))，求函数g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝eq \f(\r(3),2)，所以cs φ＝eq \f(\r(3),2)，
因为0<φ由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1故eq \f(7π,6)<πx0＋eq \f(π,6)由f(x0)＝eq \f(\r(3),2)得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx0＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以πx0＋eq \f(π,6)＝eq \f(11π,6)，x0＝eq \f(5,3)．
(2)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,2)))
＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx＋\f(π,6)))－sin πx
＝cs πxcseq \f(π,6)－sin πxsin eq \f(π,6) －sin πx
＝eq \f(\r(3),2)cs πx－eq \f(3,2)sin πx
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－πx))．
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,3)))时，－eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)－πx≤eq \f(2π,3)．
所以－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－πx))≤1，
故eq \f(π,6)－πx＝eq \f(π,2)，即x＝－eq \f(1,3)时，g(x)取得最大值eq \r(3)；
当eq \f(π,6)－πx＝－eq \f(π,6)，即x＝eq \f(1,3)时，g(x)取得最小值－eq \f(\r(3),2)．
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1．(2016·北京高考)将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))图象上的点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，t))向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′．若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )
A．t＝eq \f(1,2)，s的最小值为eq \f(π,6)
B．t＝eq \f(\r(3),2)，s的最小值为eq \f(π,6)
C．t＝eq \f(1,2)，s的最小值为eq \f(π,3)
D．t＝eq \f(\r(3),2)，s的最小值为eq \f(π,3)
解析：选A 因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，t))在函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象上，
所以t＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,4)－\f(π,3)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)．
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(1,2)))．
将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－s，\f(1,2)))．
因为P′在函数y＝sin 2x的图象上，
所以sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－s))))＝eq \f(1,2)，即cs 2s＝eq \f(1,2)，
所以2s＝2kπ＋eq \f(π,3)或2s＝2kπ＋eq \f(5π,3)(k∈Z)，
即s＝kπ＋eq \f(π,6)或s＝kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)，
所以s的最小值为eq \f(π,6)．
2．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；
由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；
由③可知，f(x)在上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500．
根据上述分析可得，eq \f(2π,ω)＝12，故ω＝eq \f(π,6)，
且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋B＝100，,A＋B＝500，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝200，,B＝300.))
根据分析可知，当x＝2时f(x)最小，
当x＝8时f(x)最大，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝－1，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8×\f(π,6)＋φ))＝1．
又因为0<|φ|<π，故φ＝－eq \f(5π,6)．
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300．
(2)由条件可知，200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300≥400，
化简得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))≥eq \f(1,2)，
即2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z．
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10．
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．
2x＋eq \f(π,3)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
eq \f(7π,3)
x
0
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
π
f(x)
eq \f(\r(3),2)
1
0
－1
0
eq \f(\r(3),2)