2021高考数学（文）大一轮复习习题 第三章 三角函数、解三角形 课时跟踪检测 （二十三）　正弦定理和余弦定理的应用 word版含答案

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1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D 由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°．
2．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A．5eq \r(6) m B．15eq \r(3) m
C．5eq \r(2) m D．15eq \r(6) m
解析：选D 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°．
由正弦定理得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(30,sin 135°)，
解得BC＝15eq \r(2)(m)．
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan∠ACB＝15eq \r(2)×eq \r(3)＝15eq \r(6)(m)．
3．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cs∠DAC＝( )
A．eq \f(\r(10),10) B．eq \f(3\r(10),10)
C．eq \f(\r(5),5) D．eq \f(2\r(5),5)
解析：选B 由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cs∠DAC，
∴a2＝(eq \r(2)a)2＋(eq \r(5)a)2－2×eq \r(2)a×eq \r(5)a×cs∠DAC，
∴cs∠DAC＝eq \f(3\r(10),10)．
4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km．
解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，
设BC＝x km
则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcs 120°，
∵x>0，∴x＝eq \r(6)－1．
答案：eq \r(6)－1
5．某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km．
解析：如题图，由题意知AB＝24×eq \f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知eq \f(BS,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，∴BS＝eq \f(AB·sin 30°,sin 45°)＝3eq \r(2)(km)．
答案：3eq \r(2)
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1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10eq \r(2) 海里 B．10eq \r(3) 海里
C．20eq \r(3) 海里 D．20eq \r(2) 海里
解析：选A 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得eq \f(BC,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 45°)，
解得BC＝10eq \r(2)(海里)．
2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0．6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h B．6eq \r(2) km/h
C．2eq \r(34) km/h D．10 km/h
解析：选B 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝eq \f(0.6,1)＝eq \f(3,5)，从而cs θ＝eq \f(4,5)，所以由余弦定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)v))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq \f(1,10)×2×1×eq \f(4,5)，解得v＝6eq \r(2)．
3．(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1)m
B．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)m
D．30(eq \r(3)＋1)m
解析：选C ∵tan 15°＝tan (60°－45°)＝eq \f(tan 60°－tan 45°,1＋tan 60°tan 45°)＝2－eq \r(3)，∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(eq \r(3)－1)(m)，故选C．
4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：选A 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq \r(3)h，根据余弦定理得，(eq \r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cs 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．
5．(2017·厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)