2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时跟踪检测 （二十六）　平面向量的数量积与平面向量应用举例 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时跟踪检测 （二十六）　平面向量的数量积与平面向量应用举例 word版含答案，共6页。试卷主要包含了∴k＝－7等内容，欢迎下载使用。

1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝( )
A．－6 B．eq \r(10)
C．eq \r(5) D．10
解析：选D ∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，
∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D．
2．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为eq \f(2π,3)，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )
A．eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．3 D．4
解析：选D 因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|csa，b＝8，所以4＋2|b|×eq \f(1,2)＝8，解得|b|＝4．
3．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B (a＋2b)·(a－3b)＝－18，
∴a2－6b2－a·b＝－18，
∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a·b＝－18，
∴a·b＝3，∴csa，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，
∴a，b＝60°．
4．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．
解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，
∵(a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，
∴m＝－2．
答案：－2
5．△ABC中，∠BAC＝eq \f(2π,3)，AB＝2，AC＝1，eq \(DC,\s\up7(―→))＝2eq \(BD,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝________．
解析：由eq \(DC,\s\up7(―→))＝2eq \(BD,\s\up7(―→))，得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))＋2eq \(AB,\s\up7(―→)))．
∴eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))＋2eq \(AB,\s\up7(―→)))·(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))2＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))－2eq \(AB,\s\up7(―→))2)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12＋1×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))－2×22))＝－eq \f(8,3)．
答案：－eq \f(8,3)
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1．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3)
C．2 D．4
解析：选C 由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，所以|a|＝eq \r(1＋x2)＝eq \r(4)＝2．
2．(2017·贵州适应性考试)若单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝eq \f(\r(3),2)，则λ＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)－1
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
解析：选A 由题意可得e1·e2＝eq \f(1,2)，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×eq \f(1,2)＋λ2＝eq \f(3,4)，化简得λ2＋λ＋eq \f(1,4)＝0，解得λ＝－eq \f(1,2)，故选A．
3．平面四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
解析：选C 因为eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))，所以四边形ABCD是平行四边形．又(eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))·eq \(AC,\s\up7(―→))＝DB―→·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
4．(2016·重庆适应性测试)设单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为( )
A．－eq \f(3\r(3),2) B．－eq \r(3)
C．eq \r(3) D．eq \f(3\r(3),2)
解析：选A 依题意得e1·e2＝1×1×cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，|a|＝eq \r(e1＋2e22)＝eq \r(e\\al(2,1)＋4e\\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq \r(3)，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2eeq \\al(2,1)－6eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－eq \f(9,2)，因此b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq \f(3\r(3),2)，故选A．
5．(2017·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝eq \f(π,3)，点P满足eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))，λ∈R，若eq \(BD,\s\up7(―→))·eq \(CP,\s\up7(―→))＝－3，则λ的值为( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
解析：选A 法一：由题意可得eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝2×2cs eq \f(π,3)＝2，
eq \(BD,\s\up7(―→))·eq \(CP,\s\up7(―→))＝(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))) ·(eq \(BP,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→)))
＝(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))·
＝(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))·
＝(1－λ)eq \(BA,\s\up7(―→))2－eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＋(1－λ)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
∴λ＝eq \f(1,2)，故选A．
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq \r(3))，D(－1，eq \r(3))．
令P(x,0)，由eq \(BD,\s\up7(―→))·eq \(CP,\s\up7(―→))＝(－3，eq \r(3))·(x－1，－eq \r(3))＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1．
∵eq \(AP,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))，∴λ＝eq \f(1,2)．故选A．
6．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________．
解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，
∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，
∴|c|＝eq \r(82＋－82)＝8eq \r(2)．
答案：8eq \r(2)
7．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，
即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，
则m＝(－2,1)，n＝(－1,2)，
所以cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(4,5)．
答案：eq \f(4,5)
8．如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，eq \(AB,\s\up7(―→))＝4eq \(AC,\s\up7(―→))，则eq \(OC,\s\up7(―→))·(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＝________．
解析：由已知得|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up7(―→))|＝eq \f(\r(2),4)，
则eq \(OC,\s\up7(―→))·(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＝(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \r(2)cseq \f(3π,4)＋eq \f(\r(2),4)×eq \r(2)＝－eq \f(1,2)．
答案：－eq \f(1,2)
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°．
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
解：由已知得，a·b＝4×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－16．
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4eq \r(3)．
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16eq \r(3)．
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0．∴k＝－7．
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
10．如图，已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(3cs x,3sin x)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(3cs x，sin x)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(eq \r(3)，0)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(1)求证：(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))⊥eq \(OC,\s\up7(―→))；
(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．
解：(1)证明：eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝(0,2sin x)，
∴(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))·eq \(OC,\s\up7(―→))＝0×eq \r(3)＋2sin x×0＝0，
∴(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))⊥eq \(OC,\s\up7(―→))．
(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，
∴(2sin x)2＝(3cs x－eq \r(3))2＋sin2x，
整理得2cs2x－eq \r(3)cs x＝0，
解得cs x＝0，或cs x＝eq \f(\r(3),2)．
∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴cs x＝eq \f(\r(3),2)，x＝eq \f(π,6)．
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1．(2016·商丘二模)已知a，b均为单位向量，且a·b＝0．若|c－4a|＋|c－3b|＝5，则|c＋a|的取值范围是( )
A． B．
C． D．[eq \r(10)，5]
解析：选B ∵a，b均为单位向量，且a·b＝0，
∴设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
代入|c－4a|＋|c－3b|＝5，得eq \r(x－42＋y2)＋eq \r(x2＋y－32)＝5．
即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5，∴c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，
|c＋a|＝eq \r(x＋12＋y2)，表示M(－1,0)到线段AB上点的距离，最小值是点(－1,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离．
∴|c＋a|min＝eq \f(|－3－12|,5)＝3．
最大值为|MA|＝5．
∴|c＋a|的取值范围是．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝ceq \(CB,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))．
(1)求角B的大小；
(2)若|eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意得(eq \r(2)a－c)cs B＝bcs C．
根据正弦定理得(eq \r(2)sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
所以eq \r(2)sin Acs B＝sin(C＋B)，
即eq \r(2)sin Acs B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cs B＝eq \f(\r(2),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,4)．
(2)因为|eq \(BA,\s\up7(―→))－eq \(BC,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，所以|eq \(CA,\s\up7(―→))|＝eq \r(6)，
即b＝eq \r(6)，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－eq \r(2)ac≥2ac－eq \r(2)ac＝(2－eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋eq \r(2))，故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B≤eq \f(3\r(2)＋1,2)，
即△ABC的面积的最大值为eq \f(3\r(2)＋3,2)．