2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 word版含答案，共53页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，共线向量定理等内容，欢迎下载使用。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算



1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的 单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律




加法
求两个向量和的运算
三角形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
平行四边形法则
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．

1．下列四个命题中，正确的命题是(　　)
A．若a∥b，则a＝b　　　　 B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案：D
2．(教材习题改编)化简：
(1)( ＋)＋＋＝________．
(2) ＋＋－＝________．
答案：(1)　(2)0
3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．
答案：－

1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．


1．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2．
答案：2
2．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．
解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q．
若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，
即a＝λb，且λ>0，故q⇒/ p．
∴p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要




1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．假命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．
2．(易错题)给出下列命题：
①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c．
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则∥且||＝||，因此，＝．
③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是①②．
答案：①②

向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反．
(3)单位向量：长度是一个单位长度．
(4)零向量：方向没有限制，长度是0．
(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念．



1．(2017·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A． 　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选D　因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4．
2．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
解析：选B　因为＝－2，所以＝2．又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋．
3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝．
答案：

1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．



设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，
∴＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5．
∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb同向，
∴存在实数λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb．∴(k－λ)a＝(λk－1)b．
∵a，b是不共线的两个非零向量，
解得或
又∵λ>0，∴k＝1．

共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．


如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长AD到G，
使＝，
连接BG，CG，得到▱ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．6
解析：选B　根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2．
2．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A．c＝2b－a B．c＝2a－b
C．c＝a－b D．c＝b－a
解析：选D　依题意得－＝2(－)，
即＝－＝b－a．
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥．又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
4．(2017·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
解析：如图，因为＝，P是BN―→上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝．
答案：
5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b．
答案：b－a　－a－b
二保高考，全练题型做到高考达标
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b, 则等于(　　)
A．b－a B．a－b
C．－a＋b D．b＋a
解析：选C　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故选C．
2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解析：选B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－．
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－．
3．下列四个结论：
①＋＋＝0；②＋＋＋＝0；③－＋－＝0；④＋＋－＝0，
其中一定正确的结论个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．
4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A　由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．
5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B　∵D为AB的中点，
则＝(＋)，
又＋＋2＝0，
∴＝－，∴O为CD的中点，
又∵D为AB中点，
∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，
则＝4．
6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：由＝3，得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b．
答案：－a＋b
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________．
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，
因此，||＝||＝2．
答案：2
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0．
其中正确命题的个数为________．
解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．
∴正确命题为②③④．
答案：3
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，．
解：＝(＋)＝a＋b．
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b．
10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2．
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵＝2e1－8e2，
∴＝2．
又∵与有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，
∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
∴＝λ (λ∈R)，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得
解得k＝12．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2．
∵点E在线段CD上，
∴＝λ (0≤λ≤1)．
∵＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
∴＝1，即μ＝．∵0≤λ≤1，
∴0≤μ≤．
即μ的取值范围是．
答案：
2．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1．
证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)
＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n．
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0．
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1．

第二节平面向量的基本定理及坐标表示




1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．


1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3
2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝________．
答案：(－6,19)
3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b．
解析：由题意，设e1＋e2＝m a＋n b．
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2．
由平面向量基本定理，得所以
答案：　－

1．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0．


1．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________．
答案：0
2．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3．
答案：－3





1．如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b　　　　　 B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选D　∵在三角形ABC中，
BE是AC边上的中线，
∴＝．
∵O是BE边的中点，
∴＝(＋)＝＋＝a＋b．
2．(易错题)如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，．

解：∵＝－＝a－b，
＝＝a－b，
∴＝＋＝a＋b．
∵＝a＋b，
∴＝＋
＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b．
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b．

用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．




1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)
A．(－3,4)　　　　　　 B．(3,4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
解析：选A　由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)，故选A．
2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2,0)　　　　　　　　 B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
解析：选A　＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，
设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
所以即
3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴
解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．

平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．



已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－．
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝．

向量共线的充要条件
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)；
(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．

1．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－　　　　B．　　　　C．　　　　D．
解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴，共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－．
2．(2017·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，则λ＝________．
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0．
答案：0


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)
A．(－2，－4)　　　　　　 B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B　由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，
＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，
∴m＝1．故选A．
3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
解析：选A　由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝．
4．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．
解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又∵θ为锐角，∴θ＝．
答案：
5．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________．
解析：―→＝－＝(－3,2)，
∴＝2＝(－6,4)．
＝＋＝(－2,7)，
∴＝3＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A　由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．
2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
解析：选D　由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即解得k＝－1．c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．
3．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：选D　∵a－b＝(3,1)，
∴a－(3,1)＝b，则b＝(－4,2)．∴2a＋b＝(－2,6)．
又(2a＋b)∥c，∴－6＝6x，x＝－1．故选D．
4．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B　设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5．
又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－．故选B．
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选C　如图，∵＝a，＝b，
∴＝＋＝＋＝a＋b．
∵E是OD的中点，
∴＝，
∴|DF|＝|AB|．∴＝＝(－)＝×＝－＝a－b，
∴＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b，故选C．
6．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________．
解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1．
答案：－1
7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1．
答案：k≠1
8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4．
答案：4
9．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k．
解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
所以解得
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－．
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，．
解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋＝b－a，
＝＋＝－b－＝a－b．



三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设＝x，＝y，则＋＝________．
解析：∵点P，G，Q在一条直线上，∴＝λ．
∴＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)x＋λy，①
又∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)
＝＋．②
而，不共线，∴由①②，得
解得∴＋＝3．
答案：3
2．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0．
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，
解得
故a＝2，b＝2．
(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a>0，b>0，
所以2(a＋b)＝ab≤2，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，
解得a＋b≥8或a＋b≤0．
因为a>0，b>0，
所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8．
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．


第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例




1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤


1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
答案：D
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝_____．
答案：－10
3．(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．
解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，
∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．
又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，
即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5．
答案：－5

1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．
3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．
4．在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．


1．给出下列说法：
①向量b在向量a方向上的投影是向量；
②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角，若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；
③(a·b)c＝a(b·c)；
④若a·b＝0，则a＝0或b＝0．
其中正确的说法有________个．
答案：0
2．(2016·北京高考)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．
解析：由题意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，
a·b＝1×＋×1＝2．
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝．
∵θ∈，∴θ＝．
答案：



1．(易错题)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　　)
A．(－15,12)　　　　　　　 B．0
C．－3 D．－11
解析：选C　∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，
∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3．
2．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为(　　)
A．－ B．－3
C． D．3
解析：选C　因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝．
3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________．
解析：因为a＝(－2，－6)，
所以|a|＝＝2，
又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2××＝10．
答案：10
4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________．

解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，
∴·＝·(＋)
＝·＋·
＝||·||cos 45°＋||·||cos 45°
＝2×2×＋2×1×＝6．
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意得A(0,2)，B(－2,0)，
D(－1,0)，
∴＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，
＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，
∴·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6．
答案：6

向量数量积的2种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题，如“题组练透”第1题易错






平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．
常见的命题角度有：
(1)平面向量的模；
(2)平面向量的夹角；
(3)平面向量的垂直．　　　 　

角度一：平面向量的模
1．已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝．若向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．
解析：∵e1·e2＝，
∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°．
又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°．
由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝．
答案：

角度二：平面向量的夹角
2．(2017·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选B　∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cosa，b＝0，∴cosa，b＝，∴a，b＝．
3．(2017·江西八校联考)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．
解析：由题意得，(||· ||)2＝(||·||·cos〈，〉)2＋(||·||·sin〈，〉)2，
即(||·||)2＝(·)2＋(||·||·sin〈，〉)2，
∴||·||·sin〈，〉＝2－，
∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉＝1－．
答案：1－

角度三：平面向量的垂直
4．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
解析：选B　∵n⊥(t m＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，
即t m·n＋|n|2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0．
又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，
解得t＝－4．故选B．

平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈．
(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝．
②|a±b|＝＝．
③若a＝(x，y)，则|a|＝．
(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|．


1．(2017·合肥质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝(　　)
A． B．2
C．2 D．4
解析：选B　由a⊥(a－2b)得，a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0，则|a－b|＝＝＝|b|＝2，故选B．
2．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．
解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8．
∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9，
∴|a|＝3．
∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8，
∴|b|＝2，
∴cos β＝＝＝．
答案：
3．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若＝λ ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析：＝－，由于⊥，
所以·＝0，
即(λ＋)·(－)
＝－λ2＋2＋(λ－1)·
＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×
＝0，解得λ＝．
答案：



已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R．
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．
解：(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，
∴cos＝－1．
又<2A＋＜，
∴2A＋＝π，即A＝．
∵a＝，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7．①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
所以2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②
由①②，可得b＝3，c＝2．

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．

(2017·临沂模拟)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R．
(1)若m⊥n，求角α；
(2)若|m－n|＝，求cos 2α的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，
即为－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，
即sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z．
(2)若|m－n|＝，即有(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2，
即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2 α＝2，
即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，
即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－．


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝(　　)
A．－6　　　　　　　　　B．
C． D．10
解析：选D　∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，
∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D．
2．(2017·河南八市重点高中质检)已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于(　　)
A． B．2
C．3 D．4
解析：选D　因为a·(a－b)＝8，所以a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cosa，b＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4．
3．已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选B　(a＋2b)·(a－3b)＝－18，
∴a2－6b2－a·b＝－18，
∵|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－a·b＝－18，
∴a·b＝3，∴cosa，b＝＝＝，
∴a，b＝60°．
4．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________．
解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，
∵(a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，
∴m＝－2．
答案：－2
5．△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝1，＝2，则·＝________．
解析：由＝2，得＝(＋2)．
∴·＝(＋2)·(－)
＝(2＋·－22)
＝＝－．
答案：－
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
解析：选C　由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，所以|a|＝＝＝2．
2．(2017·贵州适应性考试)若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝(　　)
A．－ B．－1
C． D．
解析：选A　由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－，故选A．
3．平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
解析：选C　因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
4．(2016·重庆适应性测试)设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选A　依题意得e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a方向上的投影为＝＝－，故选A．
5．(2017·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选A　法一：由题意可得·＝2×2cos ＝2，
·CP―→＝(＋) ·(－)
＝(＋)·
＝(＋)·
＝(1－λ)2－·＋(1－λ)·－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
∴λ＝，故选A．

法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．
令P(x,0)，由·CP―→＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1．
∵＝λ，∴λ＝．故选A．
6．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________．
解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，
∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8．
答案：8
7．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，
即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，
则m＝(－2,1)，n＝(－1,2)，
所以cos〈m，n〉＝＝．
答案：
8．如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________．
解析：由已知得||＝，||＝，
则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos＋×＝－．
答案：－
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°．
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16．
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4．
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16．
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0．∴k＝－7．
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．


10．如图，已知O为坐标原点，向量＝(3cos x,3sin x)，＝(3cos x，sin x)，＝(，0)，x∈．
(1)求证：(－)⊥；
(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．
解：(1)证明：－＝(0,2sin x)，
∴(－)·＝0×＋2sin x×0＝0，
∴(－)⊥．
(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，
∴(2sin x)2＝(3cos x－)2＋sin2x，
整理得2cos2x－cos x＝0，
解得cos x＝0，或cos x＝．
∵x∈，
∴cos x＝，x＝．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2016·商丘二模)已知a，b均为单位向量，且a·b＝0．若|c－4a|＋|c－3b|＝5，则|c＋a|的取值范围是(　　)
A．　 B．　　C．　　D．[，5]
解析：选B　∵a，b均为单位向量，且a·b＝0，

∴设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
代入|c－4a|＋|c－3b|＝5，得＋＝5．
即(x，y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5，∴c的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段，
|c＋a|＝，表示M(－1,0)到线段AB上点的距离，最小值是点(－1,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离．
∴|c＋a|min＝＝3．
最大值为|MA|＝5．
∴|c＋a|的取值范围是．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·．
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C．
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝．
(2)因为|－|＝，所以||＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋)，故△ABC的面积S＝acsin B≤，
即△ABC的面积的最大值为．
第四节数系的扩充与复数的引入



1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi―→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→ 平面向量 ．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．


1．若复数z满足＝i，则z＝________．
解析：由题意得，z＝＝＝4－3i．
答案：4－3i
2．(2016·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
解析：因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5．
答案：5
3．(教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．
答案：3＋5i

1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．两个虚数不能比较大小．
3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．


1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________．
解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4．
答案：4
2．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2．
答案：2






1．(2017·皖南八校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．
解析：选C　∵＝＝－i＝a＋bi，
∴∴lg(a＋b)＝lg 1＝0．
2．(2016·河南六市一联)已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　由题意得，＝ti(t≠0)，∴2－i＝－t＋tai，∴解得∴z＝2a＋i＝1＋i，|z|＝，故选C．
3．(易错题)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．2
C． D．1
解析：选A　依题意得(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·|＝|－3＋i|＝＝．
4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________．
解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i．
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i．
∵z1·z2∈R，∴a＝4．
∴z2＝4＋2i．
答案：4＋2i

求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解，如“题组练透”第3题．




1．(2016·河南八市重点高中质检)复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A　z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限．
2．(2017·河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选B　因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i．
3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．
解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，
＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴
解得
∴λ＋μ＝1．
答案：1

对复数几何意义的理解及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔ ．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．


1．(2016·北京高考)复数＝(　　)
A．i　　　　　　　　　 B．1＋i
C．－i D．1－i
解析：选A　法一：＝＝＝i．
法二：＝＝＝i．
2．(2017·重庆第一次适应性测试)已知(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数＝(　　)
A．＋i B．－i
C．＋i D．－i
解析：选B　依题意得z＝＝＝＋i，因此＝－i，选B．
3．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________．
解析：∵z＝＝＝＝＝＝－＋i，

故＝－－i，
∴z·＝＝＋＝．
答案：
4．已知i是虚数单位，2 016＋6＝________．
解析：原式＝1 008＋6＝1 008＋i6＝i1 008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0．
答案：0

复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*．


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．i是虚数单位，复数＝(　　)
A．2＋i　　　　　　　　 B．2－i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析：选B　＝＝＝2－i．
2．(2017·郑州检测)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则－＝(　　)
A．i B．2－i
C．1－i D．0
解析：选D　因为－＝－1＋i＝－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故选D．
3．(2016·全国丙卷)若z＝4＋3i，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．＋i D．－i
解析：选D　∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i．
4．复数|1＋i|＋2＝________．
解析：原式＝＋＝＋＝＋i－＝i．
答案：i
5．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________．
解析：∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3．
答案：3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝1，则|2z－3|＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　由(1－i)z＝1得z＝＝，则|2z－3|＝|－2＋i|＝．
2．已知实数a，b满足(a＋i)(1－i)＝3＋bi，则复数a＋bi的模为(　　)
A． B．2
C． D．5
解析：选C　依题意，(a＋1)＋(1－a)i＝3＋bi，因此解得a＝2，b＝－1，所以a＋bi＝2－i，|a＋bi|＝|2－i|＝＝，选C．
3．(2016·福州二检)定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B　由题意得，2zi－＝0，则z＝＝－－i，∴＝－＋i，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B．
4．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 017＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．i D．0
解析：选A　∵z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 017＝＝＝＝1＋i．
5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：选D　对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．
6．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝________．
解析：∵z＝1＋2i，∴＝1－2i．
∴·＝z·＋1＝5＋1＝6．
答案：6
7．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________．
解析：由＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝，所以|z|＝＝＝2．
答案：2
8．已知a∈R，若为实数，则a＝________．
解析：＝＝＝＋i，
∵为实数，∴＝0，∴a＝－．
答案：－
9．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．
解析：∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3．
由图可知max＝＝．
答案：
10．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4)．
解：(1)＝＝－1－3i．
(2)＝＝＝＝＋i．
(3)＋＝＋＝＋＝－1．
(4)＝＝＝＝－－i．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于(　　)
A．　　　　B．　　　　C．－　　　　D．－
解析：选D　因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，
所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，
又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－，故选D．
2．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________．
解析：z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i．
答案：＋i
3．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋i
＝＋(a2＋2a－15)i．
∵1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3．
∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3．


命题点一　平面向量基本定理
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低
题型：选择题、填空题
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4)　　　　　　　 B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析：选A　法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A．
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A．
2．(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选A　＋＝(＋)＋(＋)＝
(＋)＝，故选A．
3．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A．
4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得
答案：

命题点二　平面向量数量积
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2016·全国甲卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)
A．－8 B．－6
C．6 D．8
解析：选D　法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8．
法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8．
2．(2016·全国丙卷)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选A　因为＝，＝，
所以·＝＋＝．
又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝，
所以cos∠ABC＝．
又0°≤∠ABC≤180°，
所以∠ABC＝30°．
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C　法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1．
法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C．
4．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b 满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选A　因为|a＋b|＝，
所以|a＋b|2＝10，
即a2＋2a·b＋b2＝10．　①
又因为|a－b|＝，所以|a－b|2＝6，
所以a2－2a·b＋b2＝6．　②
由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1．
5．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF的值为(　　)
A．－ B．
C． D．
解析：选B　如图，由条件可知
BC－AB＝AD
＝AB＋DE＝AB＋AC·AF－AB)·AB＋AC
＝AC2－AB－AB|＝|AB·AF＝－－＝．
6．(2016·全国乙卷)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
解析：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，
∴a·b＝0．
又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2．
答案：－2
7．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．
解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝22－×22＝2．
答案：2
8．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．
解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0得b·＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2．
答案：2
9．(2014·湖北高考)若向量＝(1，－3)，|| ＝||， ·＝0，则 || ＝________．
解析：法一：设＝(x，y)，由||＝||知，＝，又 ·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1．当x＝3，y＝1时，|| ＝2；当x＝－3，y＝－1时，|| ＝2．则|| ＝2．
法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以||＝2．
答案：2
10．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈．
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0．
由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，
∴tan x＝1．
(2)∵m与n的夹角为，
∴m·n＝|m|·|n|cos，
即sin x－cos x＝，
∴sin＝．
又∵x∈，∴x－∈，
∴x－＝，即x＝．
命题点三　复数
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低
题型：选择题、填空题
1．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B　∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i．
∴解得a＝0．故选B．
2．(2016·全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A　由题意知即－3 3．(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
解析：选B　∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi．
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1．
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B．
4．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)
A．－4　　　　　　　　　 B．－3
C．3 D．4
解析：选D　∵＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，∴a＝4，故选D．
5．(2016·全国丙卷)若z＝1＋2i，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选C　因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z ＝(1＋2i)·(1－2i)＝5，则＝＝i．故选C．
6．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)
A．1　　　　　　　　　　B．
C． D．2
解析：选A　由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A．