2021高考数学（文）大一轮复习习题 选修4-4 坐标系与参数方程 课时跟踪检测 （五十八） 坐标系 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 选修4-4 坐标系与参数方程 课时跟踪检测 （五十八） 坐标系 word版含答案，共4页。试卷主要包含了求双曲线C等内容，欢迎下载使用。

解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′))代入x2－eq \f(y2,64)＝1
得eq \f(x′2,9)－eq \f(4y′2,64)＝1，化简得eq \f(x′2,9)－eq \f(y′2,16)＝1，
即eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1为曲线C′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
2．(1)把化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)化为极坐标方程；
(2)把曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ化为直角坐标方程．
解：(1)将 x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2，
得ρ2cs2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cs2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r．
所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为
ρ＝r(0≤θ＜2π)．
(2)法一：把ρ＝eq \r(x2＋y2)，sin θ＝eq \f(y,ρ)代入ρ＝8sin θ，
得eq \r(x2＋y2)＝8·eq \f(y,\r(x2＋y2))，
即x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16．
法二：方程两边同时乘以ρ，
得ρ2＝8ρsin θ，
即x2＋y2－8y＝0．
3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2sin2θ)，点Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))．
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解：(1)∵x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(eq \r(3)cs θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－eq \r(3)cs θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))．
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs θ＋\f(\r(3),2)sin θ))＝1．
从而C的直角坐标方程为eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1，即x＋eq \r(3)y＝2．
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝eq \f(π,2)时，ρ＝eq \f(2\r(3),3)，所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2)))．
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))．
所以P点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，则P点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(π,6)))，所以直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．
5．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋eq \r(3)cs θ)＝5eq \r(3)，射线OM：θ＝eq \f(π,3)与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ1＝2cs θ1，,θ1＝\f(π,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ1＝1，,θ1＝\f(π,3)，))设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2sin θ2＋\r(3)cs θ2＝5\r(3)，,θ2＝\f(π,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝5，,θ2＝\f(π,3)，))
由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ的长为4．
6．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为eq \f(π,3)，求：
(1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
解：(1)如图，由正弦定理得
eq \f(ρ,sin\f(2π,3))＝eq \f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ)))．
即ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，
∴所求直线的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＝eq \f(\r(3),2)．
(2)作OH⊥l，垂足为H，
在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝eq \f(π,2)，∠OAH＝eq \f(π,3)，
则OH＝OAsineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，即极点到该直线的距离等于eq \f(\r(3),2)．
7．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝1＋asin t))(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cs θ．
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0．
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，,ρ＝4cs θ.))
若ρ≠0，由方程组得16cs2θ－8sin θcs θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cs2θ－8sin θcs θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1．
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1．
8．(2017·广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,6)))为圆心，2为半径的圆．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求圆C被直线l：θ＝－eq \f(5π,12)(ρ∈R)所截得的弦长．
解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，
在Rt△OAM中，∠OMA＝eq \f(π,2)，
∠AOM＝2π－θ－eq \f(π,6)，|OA|＝4．
因为cs∠AOM＝eq \f(|OM|,|OA|)，
所以|OM|＝|OA|·cs∠AOM，
即ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－θ－\f(π,6)))＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，
验证可知，极点O与Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－\f(π,6)))的极坐标也满足方程，
故ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))为所求．
(2)设l：θ＝－eq \f(5π,12)(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝eq \f(π,2)，
易得∠AOP＝eq \f(π,4)，
所以|OP|＝|OA|cs∠AOP＝2eq \r(2)．
法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cs θ绕极点按顺时针方向旋转eq \f(π,6)而得到的圆，
所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))．
(2)将θ＝－eq \f(5π,12)代入圆C的极坐标方程ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，
得ρ＝2eq \r(2)，
所以圆C被直线l：θ＝－eq \f(5π,12)(ρ∈R)所截得的弦长为2eq \r(2)．