2021高考数学（文）大一轮复习习题 选修4-4 坐标系与参数方程 课时跟踪检测 （五十九）　参数方程 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 选修4-4 坐标系与参数方程 课时跟踪检测 （五十九）　参数方程 word版含答案，共5页。试卷主要包含了已知P为半圆C等内容，欢迎下载使用。

(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，点M的极角为eq \f(π,3)，
且点M的极径等于eq \f(π,3)，
故点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,3)))．
(2)由(1)知点M的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t为参数)．
2．(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
(1)求C的参数方程；
(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－eq \r(3))2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，
则C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs t，,y＝2sin t))(t为参数，0≤t≤π)．
(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，eq \r(3))，
于是直线CD的斜率k＝eq \f(\r(3)－0,5－2)＝eq \f(\r(3),3)．
由于切点必在两个圆心的连线上，
故切点对应的参数t满足tan t＝eq \f(\r(3),3)，t＝eq \f(π,6)，
所以，切点的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2cs\f(π,6)，2sin\f(π,6)))，
即(2＋eq \r(3)，1)．
3．(2017·湖北八校联考)已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,4)y))得到曲线C′．
(1)求曲线C′的普通方程；
(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ，,y＝4sin θ，))代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,4)y，))得曲线C′的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2cs θ，,y′＝sin θ，))
∴曲线C′的普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，
又D(1,3)，且AD的中点为P，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－1，,y0＝2y－3))
又点A在曲线C′上，
∴代入C′的普通方程eq \f(x2,4)＋y2＝1，
得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，
∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4．
4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2eq \r(3)cs θ．
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x＝0．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))．
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α＜π．
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2eq \r(3)cs α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2eq \r(3)cs α|＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))．
当α＝eq \f(5π,6)时，
|AB|取得最大值，最大值为4．
5．(2016·长春质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝\r(3)＋tsin α))(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))．
(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
解：(1)对于曲线C2有ρ＝8cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，
即ρ2＝4ρcs θ＋4eq \r(3)ρsin θ，
因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4eq \r(3)y＝0，
其表示以(2,2eq \r(3))为圆心，半径为4的圆．
(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：
t2－2eq \r(3)sin α·t－13＝0，
所以t1＋t2＝2eq \r(3)sin α，t1t2＝－13，
所以|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)
＝eq \r(2\r(3)sin α2－4×－13)＝eq \r(12sin2α＋52)，
因此|AB|的最小值为2eq \r(13)，最大值为8．
6．(2016·云南统测)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t－1，,y＝t＋2))(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq \f(\r(3),\r(1＋2cs2θ))．
(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0．
曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3．
(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，
即x2＋eq \f(y2,3)＝1，
∴曲线C上的点的坐标可表示为(cs α，eq \r(3)sin α)．
∴d＝eq \f(|cs α－\r(3)sin α＋3|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋3)),\r(2))
＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋3,\r(2))．
∴d的最小值为eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，d的最大值为eq \f(5,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)．
∴eq \f(\r(2),2)≤d≤eq \f(5\r(2),2)，即d的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(5\r(2),2)))．
7．(2017·河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝t－3))(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq \f(2cs θ,sin2θ)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝eq \f(2cs θ,sin2θ)，得ρ2sin2θ＝2ρcs θ，
所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x．
由直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝t－3))得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－4＝0．
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝8，t1t2＝7，
所以|AB|＝eq \r(2)|t1－t2|＝eq \r(2)×eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(2)×eq \r(82－4×7)＝6eq \r(2)，
因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝eq \f(|－4|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)，
所以△AOB的面积是eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×6eq \r(2)×2eq \r(2)＝12．
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs t，,y＝sin t))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(a＞b＞0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与曲线C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝eq \f(π,2)时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝eq \f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－eq \f(π,4)时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，
当α＝0时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标分别是(1,0)，(a,0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a＝3，当α＝eq \f(π,2)时，射线l与曲线C1，C2交点的直角坐标系分别是(0,1)，(0，b)，
因为这两个交点重合，所以b＝1．
(2)由(1)可得，曲线C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1，
eq \f(x2,9)＋y2＝1，当α＝eq \f(π,4)时，
射线l与曲线C1的交点
A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，与曲线C2的交点B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)，\f(3\r(10),10)))；
当α＝－eq \f(π,4)时，射线l与曲线C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，
则四边形A1A2B2B1为梯形，所以四边形A1A2B2B1的面积为eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(3\r(10),10)＋2×\f(\r(2),2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)－\f(\r(2),2))),2)＝eq \f(2,5)．