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高考数学一轮细讲精练【第八篇】解析几何
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第八篇 解析几何
第1讲 直线与方程
[最新考纲]
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知 识 梳 理
知 识 梳 理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
3.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
辨 析 感 悟
1．对直线的倾斜角与斜率的理解
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)
(3)(教材习题改编)若三点A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则a的值为－2.(√)
2．对直线的方程的认识
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(×)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)
(6)直线l过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为x＋y－3＝0.(×)
[感悟·提升]
1．直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)．
2．三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).
考点一 直线的倾斜角和斜率
【例1】 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )．
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
(2)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 ( )．
A. B．－ C．－ D.
解析 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.故选B.
(2)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
答案 (1)B (2)B
规律方法 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
【训练1】 经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α的范围．
解 法一 如图所示，
kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，
由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是∪.
法二 由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0.
∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上．
∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.
∴－1≤k≤1.
∴直线l的倾斜角α的范围是∪.
考点二 求直线的方程
【例2】 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－.
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且 |AB|＝5.
解 (1)法一 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
法二 由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，
解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得两直线交点为
(k≠－2，否则与已知直线平行)
则B点坐标为.
由已知2＋2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
规律方法 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
【训练2】 △ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解 (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
考点三 直线方程的综合应用
【例3】 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，
求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
审题路线 根据截距式设所求直线l的方程⇒把点P代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S△ABO⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l的方程．
解 设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.
∴1＝＋≥2 ，即ab≥24.
∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4.
△ABO的面积最小，最小值为12.
此时直线l的方程为：＋＝1.
即2x＋3y－12＝0.
规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决；
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．
【训练3】 在例3的条件下，求直线l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程．
解 设l的斜率为k(k＜0)，则l的方程为y＝k(x－3)＋2，令x＝0，得B(0,2－3k)，令y＝0，得A，
∴l在两轴上的截距之和为
2－3k＋3－＝5＋≥5＋2，
当且仅当k＝－时，等号成立．
∴k＝－时，l在两轴上截距之和最小，
此时l的方程为x＋3y－3－6＝0.
1．求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．
2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用
【典例】 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．
解 (1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝.
(2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)．所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有kAG·k＝－1，k＝－1⇒a＝－k.
故G点坐标为G(－k,1)，从而折痕所在的直线与AG的交点坐标(线段AG的中点)为M.
折痕所在的直线方程为y－＝k，
即y＝kx＋＋.
∴k＝0时，y＝；k≠0时，y＝kx＋＋.
[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．
(2)本题需对斜率k为0和不为0进行分类讨论，易错点是忽略斜率不存在的情况．
【自主体验】
1．若直线过点P且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为 ( )．
A．3x＋4y＋15＝0
B．x＝－3或y＝－
C．x＝－3
D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0
解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为＝，解得k＝－，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
答案 D
2．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，则直线AB的方程为________．
解析 当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为
y－2＝(x＋1)，即y＝x＋＋2.
答案 x＝－1或y＝x＋＋2
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )．
A．30° B．60° C．150° D．120°
解析 直线的斜率为k＝tan α＝，又因为α∈[0，π)，所以α＝60°.
答案 B
2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为( )．
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
解析 由点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
即3x＋4y－14＝0.
答案 A
3．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( )．
A．1 B．2 C．－ D．2或－
解析 由题意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－，在x轴上截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或－.
答案 D
4．(2014·佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )．
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析 由题意，令x＝0，y＝－>0；令y＝0，x＝－>0.即bc<0，ac<0，从而ab＞0.
答案 A
5．(2014·郑州模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )．
A. B.∪
C．(－∞，1)∪ D．(－∞，－1)∪
解析 设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪.
答案 D
二、填空题
6．(2014·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析 ∵kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案 4
7．(2014·温州模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－.
则有－＝2，所以k＝－24.
答案 －24
8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
解析 设所求直线的方程为＋＝1，
∵A(－2,2)在直线上，
∴－＋＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
三、解答题
9．(2014·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 存在．理由如下：
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，△AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·北京海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝，则直线AB的方程为( )．
A．y＝x＋或y＝－x－
B．y＝x＋或y＝－x－
C．y＝x＋1或y＝－x－1
D．y＝x＋或y＝－x－
解析 |AB|＝＝＝，所以cos α＝，sin α＝±，所以kAB＝±，即直线AB的方程为y＝±(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝x＋或y＝－x－.
答案 B
2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
解析 如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，
满足条件的直线l的倾斜角的范围是.
答案 B
二、填空题
3．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
解析 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，
故当b＝时，ab取得最大值.
答案
三、解答题
4.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别
交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x，设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
第2讲 两条直线的位置关系
[最新考纲]
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知 识 梳 理
知 识 梳 理
1．两直线平行与垂直
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2．两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
3．距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝.
可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立．
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝.
辨 析 感 悟
1．对两条直线平行与垂直的理解
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. (×)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)
(3)(2013·天津卷改编)已知过点P(2,2)斜率为－的直线且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝2. (√)
2．对距离公式的理解
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为. (×)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)
(6)(教材习题改编)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.(×)
[感悟·提升]
三个防范 一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．如(2)中忽视了斜率不存在的情况；
二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；
三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相同，如(6).
考点一 两条直线平行与垂直
【例1】 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)l1⊥l2时，求a的值．
解 (1)法一 当a＝1时，
l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2⇔解得a＝－1，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
法二 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔⇒a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
(2)法一 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；
当a≠1且a≠0时，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1⇒a＝.
法二 由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.
规律方法 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
【训练1】 (2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )．
A．－10 B．－2 C．0 D．8
解析 ∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，
解得m＝－8，又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，
解得n＝－2，∴m＋n＝－10.
答案 A
考点二 两条直线的交点问题
【例2】 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
解 法一 先解方程组
得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点(－1,2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
规律方法 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是
Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，此直线系不包括l2)．
【训练2】 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
解 法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足
即解得
因此直线l的方程为＝，
即3x＋y＋1＝0.
法二 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由得x＝.
由得x＝.
则＋＝－2，解得k＝－3.
因此直线l的方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.
考点三 距离公式的应用
【例3】 已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋ 1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
解 (1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝，即c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于P在第一象限，
所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得所以存在P同时满足三个条件．
规律方法 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x，y的系数必须对应相同．
(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略．
【训练3】 (1)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )．
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
(2)已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为，则直线l1的方程为________．
解析 (1)由题意可知所求直线斜率存在，故设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
(2)∵l1∥l2，∴＝≠，∴或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－22或18.
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为4x－8y－2＝0，
∴＝，解得n＝－18或22.
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
答案 (1)D (2)2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0
两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.．
若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意
思想方法10——对称变换思想的应用
【典例】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解 (1)设A′(x，y)，再由已知
解得
∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，
则
解得M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
[反思感悟] (1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．
(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题．
(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上．
【自主体验】
(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于( )．
A．2 B．1
C. D.
解析 以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4－x)，P2(－x,0)与△ABC的重心D共线，所以＝，求得x＝.
答案 D
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )．
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析 由题意知，直线l的斜率是－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
答案 A
2．(2014·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝( )．
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
解析 若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有＝≠，解得a＝－1或2.
答案 D
3．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )．
A. B. C．4 D．8
解析 ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝.
答案 B
4．(2014·金华调研)当0
C．第三象限 D．第四象限
解析 解方程组得两直线的交点坐标为，因为0
答案 B
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )．
A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
解析 直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．
答案 B
二、填空题
6．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
解析 由得
∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，
∴m＝－9.
答案 －9
7．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是________．
解析 由＝，得bsin A－asin B＝0.
∴两直线垂直．
答案 垂直
8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：
①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.
其中正确答案的序号是________．
解析 很明显直线l1∥l2，直线l1，l2间的距离为d＝＝，设直线m与直线l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|＝2，过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|＝d＝，则在Rt△ABC中，sin ∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°.
答案 ①⑤
三、解答题
9．已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：
(1)l1与l2相交； (2)l1⊥l2； (3)l1∥l2； (4)l1，l2重合．
解 (1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，
解得m≠－1且m≠3.
故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．
(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝时，l1⊥l2.
(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，l1∥l2.
(4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，即m＝3时，l1与l2重合．
10．求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．
解 由解得
∴l1，l2的交点为(1,2)，
设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
∵P(0,4)到直线的距离为2，∴2＝，
解得k＝0或.∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0和x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实数根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )．
A.， B.， C.， D.，
解析 ∵d＝，a＋b＝－1，ab＝c，又|a－b|＝∈，从而dmax＝，dmin＝.
答案 D
2．(2014·武汉调研)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0与x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为( )．
A．11 B．10 C．9 D．8
解析 由两直线垂直，得－·2＝－1，解得a＝2.所以中点P的坐标为(0,5)．则OP＝5，在直角三角形中斜边的长度AB＝2OP＝2×5＝10，所以线段AB的长为10.
答案 B
二、填空题
3．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与
两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.
答案
三、解答题
4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；
(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．
图1
图1
解 (1)如图1，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，直线l的斜率为k1，则k1·kBB′＝－1.即3·＝－1.
∴a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为，且在直线l上，
∴3×－－1＝0.即3a－b－6＝0.②
解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
(2)如图2，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为.
∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l交点坐标为， 图2
故Q点坐标为.
第3讲 圆的方程
[最新考纲]
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．初步了解用代数方法处理几何问题.
知 识 梳 理
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种关系：
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0－b)2
1．对圆的方程的理解
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(×)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(×)
(4)(2013·江西卷改编)若圆C经过坐标原点和点(4,0)且与直线y＝1相切，则圆C的方程是(x－2)2＋2＝. (√)
2．对点与圆的位置关系的认识
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)
(6)已知圆的方程为x2＋y2－2y＝0，过点A(1,2)作该圆的切线只有一条．(×)
[感悟·提升]
1．一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b)．
2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a|；
二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；
三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).
考点一 求圆的方程
【例1】 根据下列条件，求圆的方程．
(1)求过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程．
(2)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.
解 (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．①
将P，Q点的坐标分别代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根，
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②、③、⑤组成的方程组得或
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
(2)法一 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10.
由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a.①
由圆在直线x－y＝0上截得的弦长为4，
将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，
整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.
由弦长公式得 ＝4，
化简得a－b＝±2.②
解①、②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
法二 根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图，
由勾股定理，可得弦心距
d＝＝＝.
又弦心距等于圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离，
所以d＝，即＝.③
又已知b＝2a.④
解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10
或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
【训练1】 (1)(2014·济南模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )．
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
解析 (1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x－3y＝0相切，得＝1，解得a＝2或－(舍去)．故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.
(2)依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，将A，B点坐标分别代入方程得
解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案 (1)A (2)(x－2)2＋y2＝10
考点二 与圆有关的最值问题
【例2】 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，
在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
规律方法 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【训练2】 (2014·金华十校联考)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 ( )．
A. B．2 C. D．2
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.
答案 C
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
审题路线 (1)设圆心P为(x，y)，半径为r⇒由圆的几何性质得方程组⇒消去r可得点P的轨迹方程．
(2)设点P(x0，y0)⇒由点到直线的距离公式可得一方程⇒点P在第(1)问所求曲线上可得一方程⇒以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径⇒得到圆P的方程．
解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.
又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得此时，圆P半径r＝.
由得此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
规律方法 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
【训练3】 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．
解 (1)法一 设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
法二 设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算
量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．
方法优化7——利用几何性质巧设方程求半径
【典例】 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
[一般解法] (代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴交点是(3＋2，0)，(3－2，0)，
设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
[优美解法] (几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
[反思感悟] 一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．
优美解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．
【自主体验】
1．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于 点A，B，若|AB|＝，则该圆的标准方程是________．
解析 根据|AB|＝，可得圆心到x轴的距离为，故圆心坐标为，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋2＝1.
答案 (x－1)2＋2＝1
2．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
解析 设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋2＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
答案 x2＋(y－1)2＝10
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )．
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析 AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
答案 A
2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，
则a＜0，b＞0.直线y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直线不经过第四象限．
答案 D
3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )．
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析 设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
答案 B
4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
解析 联立解得P(a,3a)，
∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－＜a＜1，故应选A.
答案 A
5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
二、填空题
6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．
解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.
答案
8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，所以有
解得m≥－1＋.故m的取值范围是[－1＋，＋∞)．
答案 [－1＋，＋∞)
三、解答题
9．求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解 (1)法一 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．
∴半径r＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二 由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，
则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.
同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.
联立得
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为
，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝.
从而
N(x＋3，y－4)在圆上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )．
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
解析 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案 C
2．(2014·烟台二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为( )．
A．(x－1)2＋(y－4)2＝1
B．(x－1)2＋(y＋4)2＝1
C．(x－1)2＋(y－4)2＝16
D．(x－1)2＋(y＋4)2＝16
解析 抛物线的焦点为F，准线方程为x＝－，所以|MF|＝1－＝5，解得p＝8，即抛物线方程为y2＝16x，又m2＝16，m＞0，所以m＝4，即M(1,4)，所以半径为1，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝1.
答案 A
二、填空题
3．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析 由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
三、解答题
4．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
解 法一 将x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，
得5y2－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1，y2满足条件：
y1＋y2＝4，y1y2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝.
故＋＝0，解得m＝3，
此时Δ＝(－20)2－4×5×(12＋m)＝20(8－m)＞0，圆心坐标为，半径r＝.
法二 如图所示，设弦PQ中点为M，且圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0的圆心为O1，
设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2，
∴x0＝＝－1，y0＝＝2.
即M的坐标为(－1,2)．
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋
(y－2)2＝r.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r，即r＝5，|MQ|2＝r.
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
∴＝2＋(3－2)2＋5.
∴m＝3，∴圆心坐标为，半径r＝.
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[最新考纲]
1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
知 识 梳 理
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d＞r
Δ＜0
2. 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
d＞r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
无解
辨 析 感 悟
1．对直线与圆位置关系的理解
(1)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1恒有公共点．(√)
(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)
(3)(教材习题改编)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得 的弦长等于2.(×)
2．对圆与圆位置关系的理解
(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)
(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)
3．关于圆的切线与公共弦
(6)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)
(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)
(8)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(√)
[感悟·提升]
1．两个防范 一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；
二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含．
2．两个重要结论
一是两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.
考点一 直线与圆的位置关系
【例1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )．
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
(2)(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )．
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1.故直线与圆O相交．
(2)如图，圆心坐标为C(1,0)，易知A(1,1)，又kAB·kPC＝－1，且kPC＝＝，∴kAB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
答案 (1)B (2)A
规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
【训练1】 (1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2014·郑州模拟)直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m取值范围是 ( )．
A．(，2) B．(，3)
C. D.
解析 (1)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．
(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜.
答案 (1)A (2)D
考点二 圆与圆的位置关系
【例2】 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2 ＝2.
规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
【训练2】 (1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )．
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )．
A．4 B．4 C．8 D．8
解析 (1)圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，故两圆相交．
(2)依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a＞0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8.故选C.
答案 (1)B (2)C
考点三 有关圆的综合问题
【例3】 (2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，
点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
审题路线 (1)由两条直线解得圆心C的坐标⇒设过点A与圆C相切的切线方程⇒由点到直线的距离求斜率⇒写出切线方程；(2)设圆C的方程⇒设点M(x，y)⇒由|MA|＝2|MO|得M的轨迹方程⇒由两圆有公共点，列出关于a的不等式⇒解不等式可得．
解 (1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，得＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，
所以＝2 ，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，
即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围是.
规律方法 (1)圆与直线l相切的情形——圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形——圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最
短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算．
【训练3】 (2013·江西卷)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 ( )．
A. B．－ C．± D．－
解析 由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．
故S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB.所以当sin∠AOB＝1，即OA⊥OB时，S△AOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d＝|OA|·sin 45°＝.设此时直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，则有＝，解得k＝±，由图象可知直线l的倾斜角为钝角，故取k＝－.
答案 B
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．
3．圆的弦长的常用求法
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝.
答题模板10——与圆有关的探索问题
【典例】 (12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
[规范解答] 圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．
假设在圆C上存在两点A，B满足条件，
则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1. (2分)
于是可知，kAB＝1.
设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，
整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0，即b2＋6b－9＜0.
解得－3－3＜b＜－3＋3. (6分)
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2.
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0.
由题意知OA⊥OB，则有x1x2＋y1y2＝0， (8分)
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.
∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0. (10分)
解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0， (11分)
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0 . (12分)
[反思感悟] 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点A、B关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB.转化为·＝0.
答题模板 第一步：假设符合要求的结论存在．
第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．
第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．
第四步：给出明确结果．
第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．
【自主体验】
在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，如图，直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，
1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离不大于2即可．圆心C(4,0)到直线
y＝kx－2的距离d＝＝，由题意知≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.
故kmax＝.
答案
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·广州二测)直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( )．
A．相交 B．相切 C．相离 D．取决于k的值
解析 由y＝kx＋1知直线过定点(0,1)，由x2＋y2－2y＝0得x2＋(y－1)2＝1.∴直线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．
答案 A
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析 两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )．
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案 C
4．(2014·宝鸡二检)若圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0(m＜3)的一条弦AB的中点为P(0,1)，则垂直于AB的直径所在直线的方程为( )．
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析 由圆的方程得该圆圆心为C(－1,2)，则CP⊥AB，直线CP的斜率为－1，故垂直于AB的直径所在直线的方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.
答案 B
5．(2014·威海期末考试)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )．
A．k＝，b＝－4 B．k＝－，b＝4
C．k＝，b＝4 D．k＝－，b＝－4
解析 因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.
答案 A
二、填空题
6．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________．
解析 显然x＝2为所求切线之一；另设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么＝2，解得k＝，
即3x－4y＋10＝0.
答案 x＝2或3x－4y＋10＝0
7．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为________．
解析 由题意得，当CM⊥AB时，∠ACB最小，从而直线方程y－1＝－，即2x－4y＋3＝0.
答案 2x－4y＋3＝0
8．(2014·三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m，c均为实数，则m＋c＝________.
解析 根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有
∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.
答案 3
三、解答题
9．求过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．
解 由
①－②得2x－y＝0代入①得x＝－或－1，
∴两圆两个交点为，(－1，－2)．
过两交点圆中，以，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．
∴该圆圆心为，半径为
＝，
圆方程为2＋2＝.
10．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，
解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得解得a＝－7或－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·安徽宣城六校联考)已知点P(x0，y0)，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，直线l：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切；②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交；④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切，其中正确的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 根据点到直线的距离公式有d＝，若点P在圆O上，则x＋y＝r2，d＝r，相切；若点P在圆O外，则x＋y＞r2，d＜r，相交；若点P在圆O内，则x＋y＜r2，d＞r，相离，故只有①正确．
答案 A
2．(2013·重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )．
A．5－4 B.－1 C．6－2 D.
解析 圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的
最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，
连接C′1C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|＋|PC2|的最小值
为|C′1C2|，则|PM|＋|PN|的最小值为5－4.选A.
答案 A
二、填空题
3．(2014·福建质检)已知直线l：y＝－(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．
解析 依题意，直线l：y＝－(x－1)与y轴的交点A的坐标为(0，)．由得点M的横坐标xM＝，所以△MOA的面积为S＝|OA|×xM＝××＝.
答案
三、解答题
4．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．
解 (1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，
则圆心M到切线的距离为1，
∴＝1，∴m＝－或0，
∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.
(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝.
∴四边形QAMB面积的最小值为.
(3)设AB与MQ交于P，
则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝ ＝.
在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝|MQ|，
∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.
设Q(x,0)，则x2＋22＝9，
∴x＝±，∴Q(±，0)，
∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
第5讲 椭 圆
[最新考纲]
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2．了解椭圆的简单应用．
3．理解数形结合的思想.
知 识 梳 理
1．椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图 形
性质
范 围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
辨 析 感 悟
1．对椭圆定义的认识
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)
(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(×)
2．对椭圆的几何性质的理解
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(√)
(5)(教材习题改编)椭圆＋＝1的离心率为. (√)
3．椭圆的方程
(6)若椭圆＋＝1的焦点坐标是F1(－，0)，F2(，0)，则k＝2(√)
(7)(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是＋＝1(×)
[感悟·提升]
1．一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|，如(1)、(2)．
2．两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆，如(3)；
二是注意椭圆方程的焦点位置是在x轴上还是y轴上，当a＞b＞0时，方程＋＝1的焦点在x轴上；当b＞a＞0时，方程＋＝1的焦点在y轴上，如(7).
考点一 椭圆定义及标准方程
【例1】 (1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭 圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的 距离为 ( )．
A．4 B．3 C．2 D．5
(2)求过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
(1)解析 由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
答案 A
(2)解 法一 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，
2a＝＋，
解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．
(2)求椭圆的标准方程有两种方法
①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______．
解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝知＝，故＝.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
考点二 椭圆的几何性质
【例2】 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)解 法一 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴≥，即e≥.
又0＜e＜1，∴e的取值范围是.
法二 如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F1PF2＝60°，则只需满足60°≤∠F1AF2即可，
又△F1AF2是等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|，所以0°＜∠F1F2A≤60°，
所以≤cos∠F1F2A＜1，
又e＝cos∠F1F2A，所以e的取值范围是.
(2)证明 由(1)知mn＝b2，
∴S△PF1F2＝mnsin 60°＝b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
规律方法 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【训练2】 (1)(2013·四川卷)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( )．
A. B. C. D.
(2)(2012·安徽卷改编)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，
A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.且△AF1B的面积为40，
则a＝________，b＝________.
解析 (1)左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴，
当x＝－c时，＋＝1⇒y＝b2＝⇒yP＝(负值不合题意，已舍去)，点P，
由斜率公式得kAB＝－，kOP＝－.
∵AB∥OP，∴kAB＝kOP⇒－＝－⇒b＝c.
∵a2＝b2＋c2＝2c2，
∴＝⇒e＝＝.
(2)法一 a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，
所以|AB|＝·＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.
法二 设|AB|＝t(t>0)．
因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，
a＝10，b＝5.
答案 (1)C (2)10 5
考点三 直线与椭圆的位置关系
【例3】 (2013·陕西卷)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．
审题路线 (1)根据题意列出等式⇒坐标化⇒整理可得动点M的轨迹方程．
(2)设直线m的方程，交点A，B的坐标
法一：把直线与点M的轨迹方程联立，消y⇒由Δ＞0得k的范围⇒由方程得根与系数的关系式⇒再结合A是PB的中点即x2＝2x1⇒解得k的值；
法二：由A是PB的中点得出A，B两点坐标间的关系⇒又点A，B在点M的轨迹上⇒联立方程组解得A或B点坐标⇒根据斜率公式求k.
解 (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.
由此得|4－x|＝2，
化简得＋＝1，
所以，动点M的轨迹方程为
＋＝1.
(2)法一 由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)>0，
解得k2>.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－， ①
x1x2＝. ②
又因A是PB的中点，故x2＝2x1， ③
将③代入①，②，得x1＝－，x＝，
可得2＝，且k2>，
解得k＝－或k＝，
所以，直线m的斜率为－或.
法二 由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
∵A是PB的中点，
∴x1＝， ①
y1＝. ②
又＋＝1， ③
＋＝1， ④
联立①，②，③，④解得或
即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，
所以，直线m的斜率为－或.
规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
【训练3】 (2014·山东省实验中学诊断)设F1，F2分别是椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|＝a.
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点M(0，－1)满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程．
解 (1)直线PQ斜率为1，设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P，Q两点坐标满足方程组
化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|PQ|＝|x2－x1|＝＝a，
化简，得a＝，故a2＝2b2，
所以椭圆的离心率e＝＝＝.
(2)设PQ的中点为N(x0，y0)，
由(1)知x0＝＝＝－c，
y0＝x0＋c＝.
由|MP|＝|MQ|，得kMN＝－1，
即＝－1，得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆的方程为＋＝1.
1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．
2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1(m＞0，n＞0)可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，这种形式在解题中更简便．
3．椭圆的标准方程有两种形式，在解题时要防止遗漏，深刻理解椭圆中的几何量a，b，c，e之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题．若已知焦点位置，则标准方程唯一；若无法确定焦点位置，则应考虑两种形式．
答题模板11——直线与椭圆的综合问题
【典例】 (13分)(2013·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线 与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
[规范解答] (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程＋＝1，解得y＝±b， (2分)
于是b＝ ，解得b＝， (3分)
又a2－c2＝b2，从而可得a＝，c＝1， (4分)
所以椭圆的方程为＋＝1. (5分)
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)， (6分)
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. (8分)
因为直线过椭圆内的点，无论k为何值，直线和椭圆总相交．
由根与系数的关系可得
则x1＋x2＝－，x1x2＝， (9分)
因为A(－，0)，B(，0)，所以
·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋. (12分)
由已知得6＋＝8，
解得k＝±. (13分)
[反思感悟] 解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
答题模板 直线与椭圆联立问题
第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．
第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．
第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0.
第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．
第五步：根据题设条件求解问题中的结论．
【自主体验】
已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解 (1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)．
其离心率为，故＝，解得a＝4.
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.又由＝2 ，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )．
A．2 B．6 C．4 D．12
解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝4.
答案 C
2．(2014·广州模拟)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )．
A．－21 B．21 C．－或21 D.或21
解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝－；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，
由＝，即＝，解得k＝21.
答案 C
3．(2014·韶关模拟)已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )．
A．4 B．5 C．7 D．8
解析 将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，
显然m－2＞10－m，即m＞6，且()2－()2＝22，解得m＝8.
答案 D
4．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )．
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2·2c，＝，
又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.
答案 A
5．(2013·辽宁卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝＝.
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，
△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.
答案 B
二、填空题
6．(2014·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．
解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.
∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9.
∴b＝3.
答案 3
8．(2013·福建卷)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析 因为直线y＝(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，
故|MF1|＝c，|MF2|＝c
由点M在椭圆上知，c＋c＝2a.
故离心率e＝＝＝－1.
答案 －1
三、解答题
9．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
解 (1)依题意得|F1F2|＝2，
又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)设P点坐标为(x，y)，
∵∠F2F1P＝120°，
∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan 120°，
即y＝－(x＋1)．
解方程组
并注意到x＜0，y＞0，可得
∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝.
10．(2014·绍兴模拟)
如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点M在椭圆上，
且点M到两焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A，B(A，B不重合)，求·的取值范围．
解 (1)∵2a＝4，∴a＝2，
又M在椭圆上，
∴＋＝1，解得b2＝2，
∴所求椭圆方程＋＝1.
(2)由题意知kMO＝，∴kAB＝－.
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立方程组
消去y，得13x2－4mx＋2m2－4＝0，
Δ＝(－4m)2－4×13×(2m2－4)＝8(12m2－13m2＋26)＞0，
∴m2＜26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
则·＝x1x2＋y1y2＝7x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝∈.
∴·的取值范围是.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·潍坊模拟)已知椭圆：＋＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( )．
A．1 B.
C. D.
解析 由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，代入椭圆方程得＋＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，所以b＝.
答案 D
2．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，
∴∠PF2x＝60°，
∴|F2P|＝2＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，
∴3a＝4c，∴＝，
即椭圆的离心率为.
答案 C
二、填空题
3．(2014·陕西五校联考)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析 设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．
此时4a＝12，则a＝3.
故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，
所以e＝＝.
答案
三、解答题
4．(2014·河南省三市调研)已知圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角为π的直线l交椭圆于C，D两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．
解 (1)∵圆G：x2＋y2－2x－y＝0经过点F，B，
∴F(2,0)，B(0，)，∴c＝2，b＝，
∴a2＝b2＋c2＝6，椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意知直线l的方程为y＝－(x－m)，m＞，
由
消去y，得2x2－2mx＋(m2－6)＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－6)＞0，解得－2＜m＜2.
∵m＞，∴＜m＜2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝m，x1x2＝，
∴y1y2＝·＝x1x2－(x1＋x2)＋.
∵＝(x1－2，y1).＝(x2－2，y2)，
∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋4＝.
∵点F在圆E内部，∴·＜0，
即＜0，解得0＜m＜3.
又＜m＜2，∴＜m＜3.
故m的取值范围是(，3).
第6讲 双曲线
[最新考纲]
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想.
知 识 梳 理
1．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性 质
范 围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
辨 析 感 悟
1．对双曲线定义的认识
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)
2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解
(3)方程－＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)
(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为y＝±x.(×)
(5)(2013·陕西卷改编)双曲线－＝1的离心率为，则m等于9. (√)
(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)
[感悟·提升]
1．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线．
2．二个防范 一是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，应注意其区别与联系，如(4)；
二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)．
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是 ( )．
A．4 B．12 C．4或12 D．6
(2)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，
则△ PQF的周长为________．
解析 (1)由题意知c＝＝4，设双曲线的左焦点为F1(－4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.
(2)由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
∴|PQ|＝4b＝16>2a.
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
答案 (1)C (2)44
规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
【训练1】 (1)(2014·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝
( )．
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右 支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ( )．
A．5 B．5＋4 C．7 D．9
解析 (1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，
则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，
从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
答案 (1)B (2)D
考点二 求双曲线的标准方程
【例2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为________．
解析 (1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1.
(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案 (1)－＝1 (2)－＝1
规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.
【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
考点三 双曲线的几何性质
【例3】 (1)(2013·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )．
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x＋4y＝0
解析 (1)因为PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，
所以|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|＝c.
由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
即c－c＝2a，所以离心率e＝＝＋1.
(2)设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在直角三角形F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，根据双曲线的定义4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即y＝±x，即4x±3y＝0.
答案 (1)＋1 (2)C
规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．
(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
(2)求曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
【训练3】 (1)设点P在双曲线－＝1(a，b＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为________．
解析 (1)由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，所以4|PF2|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝a，|PF1|＝a，
所以整理得a≥c，所以≤，即e≤，
又e＞1，所以1＜e≤.
(2)当焦点在x轴上时，＝，即＝，
所以e2＝，解得e＝；
当焦点在y轴上时，＝，即＝，
所以e2＝，解得e＝，
即双曲线的离心率为或.
答案 (1) (2)或
1．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系．
2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程．
如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．
3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，
“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．
教你审题8——运用双曲线的标准方程及其性质
【典例】 如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B❶与
C的两条渐近线分别交于P，Q两点，❷线段PQ的垂直平分线❸与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，❹
则C的离心率是 ( )．
A. B. C. D.
[审题] 一审：求出直线F1B的方程．
二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标．
三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标．
四审：由|MF2|＝|F1F2|建立关系式，求出离心率．
解析 依题意，知直线F1B的方程为y＝x＋b，联立方程得点Q，
联立方程得点P，
所以PQ的中点坐标为.
所以PQ的垂直平分线方程为y－＝－.
令y＝0，得x＝c，所以c＝3c.
所以a2＝2b2＝2c2－2a2，即3a2＝2c2.所以e＝.故选B.
答案 B
[反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．
【自主体验】
(2013·山东卷)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.
答案 D
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )．
A．4 B．8 C．24 D．48
解析 由可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
答案 C
2．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )．
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析 ∵0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.由双曲线C1：－＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：－＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为.
答案 D
3．(2014·日照二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案 A
4．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )．
A．m＞ B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2
解析 在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，则c＝，离心率e＝＝＞，解得m＞1.
答案 C
5．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝.
答案 A
二、填空题
6．(2014·青岛一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其离心率为________．
解析 由已知，得a＝1，c＝.∴e＝＝.
答案
7．(2014·广州一模)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析 由题意得c＝，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线为2x±3y＝0.
答案 2x±3y＝0
8．(2014·武汉诊断)已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.
解析 因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案 5
三、解答题
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线G的方程为－＝1.
10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解 (1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，
则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·焦作二模)直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于( )．
A.＋ B.＋1 C.＋1 D．2
解析 由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，
∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c，
由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a，
∴e＝＝＋1.
答案 B
2．(2014·临沂联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )．
A．(1,2) B．(，2) C．(，2) D．(2,3)
解析 由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即
二、填空题
3.如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，
两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
解析 (1)由△B2OF2的面积可得a ＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
(2)设∠B2F1O＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e2－＝.
答案 (1) (2)
三、解答题
4．(2014·湛江二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的
右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解 (1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程，得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，∴点A的坐标为，代入双曲线方程，得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e＞1，∴e＝.∴双曲线的离心率为.
第7讲 抛物线
[最新考纲]
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
2．理解数形结合的思想．
3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
知 识 梳 理
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2p
x(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
续表
性质
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
辨 析 感 悟
1．对抛物线定义的认识
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)
(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)
2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解
(3)(2013·北京卷改编)若抛物线y＝ax2的焦点坐标为(0,1)，则a＝，准线方程为y＝－1. (√)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)
[感悟·提升]
1．一点提醒 抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．如(2)．
2．两个防范 一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；
二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3).
考点一 抛物线的定义及其应用
【例1】 (2014·深圳一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )．
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，
所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.
由△MHN∽△FOA，
则＝＝，
则|MH|∶|MN|＝1∶，
即|MF|∶|MN|＝1∶.
答案 C
规律方法 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．
【训练1】 (2014·山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．
解析 将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，如图，
由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|
＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时
|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝－1.
答案 －1
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
【例2】 (2014·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )．
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析 如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，
由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，
∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.
答案 C
规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【训练2】 (2014·兰州一模)已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m＝ ( )．
A．±2 B. C. D．±
解析 抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的标准方程为2＋y2＝，所以圆心为，半径为.所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得m＝±.
答案 D
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】 (2013·湖南卷)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1＞0，k2＞0，证明：·＜2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．
审题路线 (1)写出直线l1的方程⇒与抛物线联立⇒用根与系数的关系求M，N的坐标⇒写出，的坐标⇒求·⇒用基本不等式求得结论．
(2)由抛物线定义求|AB|，|CD|⇒得到圆M与圆N的半径⇒求出圆M与圆N的方程⇒得出圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程⇒点M到直线l的距离求出其关于k1的函数式求其最小值⇒求得p.
解 (1)由题意知，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y＝k1x＋.
由得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1＋x2＝2pk1，
y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.
所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)．
同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)，
于是·＝p2(k1k2＋kk)．
因为k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，
所以0＜k1k2＜2＝1.
故·＜p2(1＋12)＝2p2.
(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋，|FB|＝y2＋，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p.
故圆M的方程为(x－pk1)2＋2
＝(pk＋p)2，
化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.
同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.
于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.
又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.
因为p＞0，所以点M到直线l的距离
d＝＝
＝.
故当k1＝－时，d取最小值.
由题设，＝，解得p＝8.
故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.
规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
【训练3】 设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
解 (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.
因为△ABD的面积为4 ，所以|BD|·d＝4 ，
即·2p· p＝4 ，
解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，
解得b＝－.
因为m的纵截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值也为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
1．认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要的作用，注意运用．
教你审题9——灵活运用抛物线焦点弦巧解题
【典例】 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点❶，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.❷
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，❸若＝＋λ，求λ的值．
[审题] 一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解．
二审：由点C为抛物线上一点，可设出C点坐标，利用＝＋λ 表示出点C坐标，将点C坐标代入抛物线方程求解．
解 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)；
设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
[反思感悟] (1)解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到x1x2＝，y1y2＝－p2，|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)，＋＝这些结论，就会带来意想不到的效果．
(2)解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平时善于总结、归纳同类题的解题方法，并注意探究和发掘变换事物中所蕴涵的一般规律，就一定会有更多发现．
【自主体验】
1．(2012·安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
解析 法一 由＋＝.得|BF|＝.
法二 设∠BFO＝θ，则
由|AF|＝3，p＝2，得cos θ＝，∴|BF|＝.
答案
2．(2012·重庆卷)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
解析 由＋＝＝2及|AB|＝|AF|＋|BF|＝，得|AF|·|BF|＝，再由
解得|AF|＝，|BF|＝.
答案
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )．
A. B. C．1 D.
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0，故所求距离为＝.选B.
答案 B
2．(2014·济宁模拟)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为( )．
A．1 B．2 C. D．4
解析 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.
答案 B
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )．
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
答案 D
4．(2014·潍坊一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为( )．
A．2 B．3 C．2 D．4
解析 抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.
答案 B
5．(2013·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )．
A．1 B. C．2 D．3
解析 由已知得双曲线离心率e＝＝2，得c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2，即b＝a.又双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，抛物线的准线方程为x＝－，所以不妨令A，B，于是|AB|＝p.由△AOB的面积为可得·p·＝，所以p2＝4，解得p＝2或p＝－2(舍去)．
答案 C
二、填空题
6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析 由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
答案 x2＝12y
7．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.
根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.
答案 3
8．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析 如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，
∴B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.
答案 6
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
解 法一 根据已知条件，抛物线方程可设为
y2＝－2px(p＞0)，则焦点F.
∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得 或
∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
法二 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，∴p＝4.
∴所求抛物线方程为y2＝－8x，
又∵点M(－3，m)在抛物线上，
故m2＝(－8)×(－3)，
∴m＝±2.
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
(1)解 ∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.
(2)证明 设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·是一个定值．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )．
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析 ∵－＝1的离心率为2，
∴＝2，即＝＝4，∴＝.
x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，
∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.
答案 D
2．(2014·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )．
A. B. C．2 D.－1
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
答案 D
二、填空题
3．(2014·郑州二模)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
解析 抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以tan 120°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
答案 4
三、解答题
4．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，
过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解 (1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，
故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，
于是y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，
由N为线段AB中点知x＝.③
y＝.④
切线MA，MB的方程为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
第8讲 曲线与方程
[最新考纲]
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质．
3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.
知 识 梳 理
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简．
(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．
若此方程组无解，则两曲线无交点．
辨 析 感 悟
1．曲线与方程的概念
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)
(2)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件． (×)
(3)(教材习题改编)方程y＝与x＝y2表示同一曲线． (×)
(4)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线． (×)
2．求曲线的轨迹方程
(5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (×)
(6)两条动直线y＝x＋b，y＝2x－b(b∈R)交点的轨迹方程是3x－2y＝0. (√)
(7)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是抛物线． (√)
(8)(2014·济南质检)过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是＋＝1. (√)
[感悟·提升]
1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．如(2)错误理解了曲线方程的含义．
2．求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
学生用书第154页
考点一 直接法求轨迹方程
【例1】 如图所示，A(m，m)和B(n，－n)两点分别在射线OS，OT上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.
(1)求mn的值；
(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
解 (1)由·＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn.
得－2mn＝－，∴mn＝.
(2)设P(x，y)(x>0)，由＝＋，
得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)．
∴整理得x2－＝4mn，
又mn＝，∴P点的轨迹方程为x2－＝1(x>0)．
它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．
规律方法 (1)一是解本题第(2)时，根据
利用第(1)问的结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键；二是求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
(2)如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．
【训练1】 (2013·陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．
解 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，
化简得y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)
也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
考点二 定义法(待定系数法)求轨迹方程
【例2】 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，
求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
解 如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1，O2，将圆的方程分别配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100，
当动圆与圆O1相外切时，
有|O1M|＝R＋2.①
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R.②
将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|，
∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)，O2(3,0)，
长轴长等于12的椭圆．
∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27，
∴圆心轨迹方程为＋＝1，轨迹为椭圆．
规律方法 求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
【训练2】 如图所示，已知C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，
点Q在直线CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
解 圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2，
∵·＝0，＝2，
∴MQ⊥AP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，
∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2，
又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.
学生用书第155页
考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程
【例3】 (2012·辽宁卷)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1
(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
审题路线 (1)设出点A的坐标⇒利用对称性表示S矩形ABCD，并确定矩形ABCD面积取得最大值的条件⇒进而求出t值．(2)点M受点A的变化制约⇒根据点A满足的方程求出点M的轨迹方程．
解 (1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD＝4|x0y0|，
由＋y＝1得y＝1－，
从而xy＝x＝－2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6.
从而t2＝x＋y＝5，t＝，
∴当t＝时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
(2)由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，
又曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．②
由①②得y2＝(x2－9)．③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
规律方法 (1)一是本题的轨迹方程中，要求x<－3，y<0，所以求解时要结合几何性质和几何图形直观细心发掘．二是求解中充分运用椭圆与圆的对称性，以及方程④的整体代入，避免繁琐运算，优化解题过程．
(2)相关点法求轨迹方程：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′，y′表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，求出动点P的轨迹方程．
【训练3】 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被C所截线段的长度．
解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
因为点D是P在x轴上投影M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，所以xP＝x，且yP＝y，
∵P在圆x2＋y2＝25上，
∴x2＋2＝25，整理得＋＝1，
即C的方程是＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y＝(x－3)，
设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得：
＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，
∴x1＝，x2＝，
所以线段AB的长度是|AB|＝ ＝ ＝，即所截线段的长度是.
1．通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何的核心问题．
2．求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
教你审题10——设而不求、整体代换
【典例】 (2013·山东卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，❶连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．❷设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，❸并求出这个定值．
[审题] 一审条件❶：可设P点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程
二审条件❷：联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则Δ＝0
三审结论❸：变为，把k与＋均用x0，y0表示后可消去．
解 (1)椭圆C的方程为＋y2＝1(过程略)．
(2)m的取值范围是(过程略)．
(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立整理得
(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.
由题意，得Δ＝0，即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.
又＋y＝1，所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，
即(4y0k＋x0)2＝0.故k＝－.
由椭圆C可得F1(－，0)，F2(，0)，又P(x0，y0)，所以＋＝＋＝，
所以＋＝＝·＝－8.
因此＋为定值，这个定值为－8.
[反思感悟] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．
【自主体验】
(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＋＝0，
又因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
所以kAB＝＝－＝.
又kAB＝＝，所以＝.
又9＝c2＝a2－b2，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＋＝1.故选D.
答案 D
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是( )．
A．一条直线和一条双曲线 B．两条直线
C．两个点 D．4条直线
解析 由(x－y)2＋(xy－1)2＝0得
∴或
即方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．
答案 C
2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是( )．
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解析 ∵·＝0，∴PM⊥PN.∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
答案 A
3．(2014·珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为( )．
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析 设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，
∴即
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案 B
4．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点( )．
A．(2,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0，－1)
解析 直线x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，由抛物线定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．
答案 B
5．(2014·广州调研)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，
把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )．
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析 由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
答案 A
二、填空题
6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是________________．
解析 ＝－(－2，y)＝，
＝(x，y)－＝，
∵⊥，∴·＝0，
∴·＝0，即y2＝8x.
∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.
答案 y2＝8x
7．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得
(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，
∴圆的面积S＝π×22＝4π.
答案 4π
8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程______________．
解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
答案 －＝1(x>3)
三、解答题
9．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋1与(1)中的轨迹C交于A，B两点，求弦长|AB|的值．
解 (1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．
由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)，且＝，
得(x0－x，－y)＝(0，－y0)．
于是x0＝x且y0＝y，
又x＋y＝4，∴x2＋y2＝4.
∴点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立得7x2＋8x－8＝0，
∴x1＋x2＝－，且x1x2＝－.
则|AB|＝＝|x2－x1|
＝·＝·＝.
10．已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为－.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点作直线l，与轨迹C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．
解 (1)设P点的坐标为(x，y)，
依题意得·＝－(x≠±2)，
化简并整理得＋＝1(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程是＋＝1(x≠±2)．
(2)依题意得，直线l过点，且斜率不为零，
故可设其方程为x＝my＋.
由，消去x得
4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，
∴y1＋y2＝－，∴y0＝＝－，
∴x0＝my0＋＝，∴k＝＝，
①当m＝0时，k＝0，
②当m≠0时，k＝，又|4m＋|＝4|m|＋≥8，
∴0<|k|≤，∴－≤k≤，且k≠0，
综合①②，直线AM的斜率k的取值范围是.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )．
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析 M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 D
2．有一动圆P恒过定点F(1,0)，且与y轴相交于点A，B，若△ABP为等边三角形，则圆心P的轨迹方程是( )．
A.－＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.－＝1
解 设圆心P(x，y)，半径为R，由圆的几何性质，|x|＝R，又R＝|PF|＝，所以2|x|＝·，即(x＋3)2－3y2＝12，∴点P的轨迹方程为－＝1.
答案 A
二、填空题
3．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
解析 由椭圆的对称性，＋＝2，∴＝2，即＝－2，设点Q(x，y)，则P，由点P在椭圆上，得＋＝1.
答案 ＋＝1
三、解答题
4．(2013·四川卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
解 (1)由椭圆定义知
2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝2.
所以a＝.
又由已知得，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.
(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.
设点Q的坐标为(x，y)．
(i)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.
(ii)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则
|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由＝＋，得
＝＋，
即＝＋＝.①
将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.
由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，
代入①中并化简，得
x2＝.③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2＞，可知0＜x2＜，
即x∈∪.
又满足10(y－2)2－3x2＝18，
故x∈.
由题意知点Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1，
又由10(y－2)2＝18＋3x2有
(y－2)2∈，且－1≤y≤1，则y∈.
所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.
学生用书第156页
第9讲 圆锥曲线的热点问题
[最新考纲]
1．理解数形结合的思想．
2．了解圆锥曲线的简单应用.
知 识 梳 理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.
学生用书第157页
辨 析 感 悟
1．对直线与圆锥曲线交点个数的理解
(1)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(√)
(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(×)
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(√)
2．对圆锥曲线中有关弦的问题的理解
(4)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为＋＝1. (√)
(5)已知点(2,1)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段的中点，则l的方程为x＋4y－6＝0. (×) (6)(2014·潍坊一模改编)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于. (√)
[感悟·提升]
两个防范 一是在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况，如(2)；
二是中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部，如(5).
考点一 直线与圆锥曲线位置关系
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
解 (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.
把点P(0,1)代入椭圆＋＝1，得＝1，即b＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m.
联立消去y并整理得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，
整理得2k2－m2＋1＝0.①
联立
消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.
整理得km＝1.②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中
Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围是∪.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
由方程①得，x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝＋2.
∵(＋)⊥，∴(x1＋x2)·(－)＋y1＋y2＝0，
即：－·(－)－＋2＝0.
解得k＝－，由(1)知k2＞，与此相矛盾，
所以不存在常数k使＋与垂直.
学生用书第158页
考点二 圆锥曲线中的弦长问题
【例2】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解 (1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.
规律方法 直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
【训练2】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值．
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P0(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为P为AB的中点，且OP的斜率为，
所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝.
所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．
所以a2＝2b2，
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
所以a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)将x＋y－＝0代入＋＝1，
解得或所以可得|AB|＝；
由题意可设直线CD方程为y＝x＋m，
所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
将y＝x＋m代入＋＝1得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，则|CD|＝＝，
又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3
所以四边形ACBD面积的最大值为
|AB|·|CD|＝.
考点三 圆锥曲线中的定点、定值问题
【例3】 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．
审题路线 (2)写出直线BP的方程⇒与椭圆方程联立解得P点坐标⇒写出直线AD的方程⇒由直线BP与直线AD的方程联立解得M点坐标⇒由D，P，N三点共线解得N点坐标⇒求直线MN的斜率m⇒作差：2m－k为定值．
(1)解 因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c.
代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)(k≠0，k≠±)，①
①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.②
①与②联立解得M.
由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知
＝，解得N.
所以MN的斜率为m＝
＝＝，
则2m－k＝－k＝(定值)．
规律方法 求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【训练3】 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
(1)解 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由e＝＝，得a＝2c，
∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2，
则椭圆方程变为＋＝1.
又椭圆过点P，将其代入求得c2＝1，
故a2＝4，b2＝3，
即得椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
①
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
∴＋＋＋4＝0，
∴7m2＋16mk＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
由①，得3＋4k2－m2＞0，
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，
直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，
直线过定点，
∴直线l过定点，定点坐标为.
学生用书第159页
考点四 圆锥曲线中的范围与最值问题
【例4】 已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
审题路线 (2)设直线AB的方程⇒与抛物线方程联立消去y得关于x的一元二次方程⇒解得|x1－x2|⇒由直线AM的方程与直线l联立解得点M的横坐标⇒由直线ON的方程与直线l联立解得点N的横坐标⇒|MN|＝|xM－xN|⇒换元、分类求|MN|的最小值．
解 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.
又y＝x，且y＝x－2，
解得点M的横坐标xM＝＝＝.
同理点N的横坐标xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|＝
＝8＝，
令4k－3＝t，t≠0，则k＝.
当t>0时，|MN|＝2>2.
当t<0时，|MN|＝2≥ .
综上所述，当t＝－，即k＝－时，
|MN|的最小值是 .
规律方法 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
【训练4】 (2013·浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最
大值时直线l1的方程．
解 (1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，
故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|
＝，
所以S＝
≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
1．涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与
系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
2．关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等．
3．圆锥曲线综合问题要四重视：
(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．
答题模板12——圆锥曲线中的探索性问题
【典例】 (14分)(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
[规范解答] (1)因为e＝ ＝＝，
所以a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1. (2分)
设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，
则d＝＝
＝(－b≤y≤b)． (3分)
当－b≤－1，即b≥1，dmax＝＝3得b＝1；
当－b>－1，即b<1，dmax＝＝3得b＝1(舍)．
∴b＝1，a＝， (5分)
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1. (6分)
(2)存在点M满足要求，使△OAB的面积最大． (7分)
假设存在满足条件的点M，因为直线l：mx＋ny＝1与
圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，
则圆心O到l的距离d＝<1. (8分)
因为点M(m，n)在椭圆C上，所以＋n2＝1
所以S△OAB＝·|AB|·d＝
＝≤ ＝，
当且仅当1＝m2时等号成立，所以m2＝∈(0,3]．
因此当m＝±，n＝±时等号成立． (12分)
所以满足要求的点M的坐标为，，
或，
此时对应的三角形的面积均达到最大值. (14分)
[反思感悟] (1)本题是圆锥曲线中的探索性问题，也是最值问题，求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性或基本不等式求最值．
(2)本题的第一个易错点是表达不出椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值；第二个易错点是没有掌握探索性问题的解题步骤；第三个易错点是没有正确使用基本不等式．
答题模板 探索性问题答题模板：
第一步：假设结论存在．
第二步：结合已知条件进行推理求解．
第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．如本题中易忽略直线l与圆O相交这一隐含条件．
【自主体验】
(2013·江西卷)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由P在椭圆上，得＋＝1①
依题设知a＝2c，则b2＝3c2，②
②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一 由题意可设AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12，并整理，得
(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝，x1x2＝，④
在方程③中令x＝4，得M的坐标为(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，
即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋
＝＋－
＝2k－·，⑤
④代入⑤，
得k1＋k2＝2k－·＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.
故存在常数λ＝2符合题意．
法二 设B(x0，y0)(x0≠1)，
则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，
从而直线PM的斜率为k3＝，
联立得A，
则直线PA的斜率为k1＝，
直线PB的斜率为k2＝，
所以k1＋k2＝＋
＝＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( )．
A．1 B．1或3 C．0 D．1或0
解析 由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或1.
答案 D
2．(2014·济南模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是( )．
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1，) D．(1，]
解析 因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1
3．(2014·烟台期末考试)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )．
A．2 B. C．4 D．2
解析 由题意可设直线l的方程为y＝m，代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝＝2，x2＝－2，所以|AB|＝|x1－x2|＝4，所以|AB|＝4≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4.
答案 C
4．(2014·西安模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )．
A．－2 B．－ C．1 D．0
解析 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A.
答案 A
5．(2014·宁波十校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝( )．
A．1＋2 B．4－2
C．5－2 D．3＋2
解析
如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，
∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.
答案 C
二、填空题
6．(2014·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．
解析 由题意，得
解得∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
7．已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．
解析 设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
答案 4x－y－7＝0
8．(2014·青岛调研)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是________．
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y＝x－p，代入抛物线方程y2＝2px，可得3x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.
答案 3
三、解答题
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
(1)证明 由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，①
∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，
即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0，
∵a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1 、x2是方程①的两实根．
∴x1＋x2＝，x1x2＝.②
由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝1－x1，y2＝1－x2，
得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③
式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.④
∴＋＝2.
(2)解 利用(1)的结论，将a表示为e的函数
由e＝⇒b2＝a2－a2e2，
代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.
∴a2＝＝＋.
∵≤e≤，∴≤a2≤.
∵a＞0，∴≤a≤.
∴长轴长的取值范围是[，]．
10．(2014·佛山模拟)已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.
(1)求椭圆方程；
(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：·为定值．
解 (1)化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，
则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.
又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.
可求得A，B.
此时，·＝·＝－.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为·＝·＝＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋2＋k(x1＋1)·k(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋
＝(1＋k2)·＋＋k2＋
＝＋＝－2＋＝－.
所以，·为定值，且定值为－.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·石家庄模拟)若AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝( )．
A．－ B．－ C．－ D．－
解析 法一 (直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
法二 (特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.
答案 B
2．(2014·兰州诊断)若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )．
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析 ∵直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
∴>2，∴m2＋n2<4，∴＋<＋<1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B.
答案 B
二、填空题
3．(2014·上海普陀一模)若C(－，0)，D(，0)，M是椭圆＋y2＝1上的动点，则＋的最小值为________．
解析 由椭圆＋y2＝1知c2＝4－1＝3，∴c＝，
∴C、D是该椭圆的两焦点，
令|MC|＝r1，|MD|＝r2，
则r1＋r2＝2a＝4，
∴＋＝＋＝＝，
又∵r1r2≤2＝＝4，
∴＋＝≥1.
当且仅当r1＝r2时，上式等号成立．
故＋的最小值为1.
答案 1
三、解答题
4．(2014·合肥一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，由四个点M(－a，b)、N(a，b)、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F1的直线和椭圆交于两点A，B，求△F2AB面积的最大值．
解 (1)由条件，得b＝，且×＝3，
所以a＋c＝3.又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1.
所以椭圆的方程＋＝1.
(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x＝my－1，直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程消去x，
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交．
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2|
＝＝12
＝4＝4，
令t＝m2＋1≥1，设y＝t＋，易知t∈时，函数单调递减，t∈函数单调递增，所以当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，ymin＝.
S△F2AB取最大值3.
能力提升练——解析几何 (对应学生用书P345)
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．(2014·山东省实验中学诊断)已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a等于( )．
A．1或－3 B．－1或3 C．1或3 D．－1或3
解析 因为直线y＝ax－2的斜率存在且为a，所以－(a＋2)≠0，所以3x－(a＋2)y＋1＝0的斜截式方程为y＝x＋，由两直线平行，得＝a且≠－2，解得a＝1或a＝－3.
答案 A
2．(2014·洛阳模拟)椭圆＋＝1的焦距为( )．
A．10 B．5 C. D．2
解析 由题意知a2＝16，b2＝9，所以c2＝a2－b2＝16－9＝7，所以c＝，即焦距为2c＝2.
答案 D
3．(2014·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )．
A．3 B．2 C. D．1
解析 圆心到直线的距离d＝＝1，弦AB的长l＝2＝2＝2.
答案 B
4．(2014·武汉一模)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )．
A．(x－2)2＋y2＝13 B．(x＋2)2＋y2＝17
C．(x＋1)2＋y2＝40 D．(x－1)2＋y2＝20
解析 设圆心坐标为C(a,0)，则|AC|＝|BC|，即＝，解得a＝1，所以半径r＝＝＝2，所以圆C的方程是(x－1)2＋y2＝20.
答案 D
5．(2014·湖州模拟)设双曲线－＝1(a＞0)的焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率等于( )．
A. B. C. D.
解析 因为双曲线的焦点为(5,0)，所以c＝5，又a2＋9＝c2＝25，所以a2＝16，a＝4，所以离心率为e＝＝.
答案 C
6．(2014·济南一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点在直线x－2y－2＝0上，则该抛物线的准线方程为( )．
A．x＝－2 B．x＝4
C．x＝－8 D．y＝－4
解析 抛物线的焦点坐标为，代入直线x－2y－2＝0方程，得－2＝0，即p＝4，所以抛物线的准线方程为x＝－＝－＝－2.
答案 A
7．(2014·郑州模拟)以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )．
A．(x－)2＋y2＝ B．(x－)2＋y2＝3
C．(x－3)2＋y2＝ D．(x－3)2＋y2＝3
解析 双曲线的右焦点为(3,0)，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取渐近线y＝x，即x－2y＝0，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即r＝＝＝＝.所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝3.
答案 D
8．(2014·汕头一模)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )．
A．－2 B．2 C．－4 D．4
解析 抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点为(2,0)，所以由＝2，得p＝4.
答案 D
9．(2014·杭州模拟)已知两点M(－5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|－|PN|＝6，则称该直线为“R型直线”．给出下列直线：①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1，其中为“R型直线”的是( )．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
解析 由题意可知，点P的轨迹是在双曲线的右支上，其中2a＝6，a＝3，c＝5，所以b2＝c2－a2＝16.所以双曲线方程为－＝1(x＞0)．显然当直线y＝x＋1与y＝2和双曲线的右支有交点，所以为“R型直线”的是①②.
答案 A
10．(2014·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )．
A. B.＋1 C.＋1 D.
解析 依题意，得F(p,0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y>0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p,2p)．又点A在双曲线上，所以－＝1.又因为c＝p，所以－＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即4－62＋1＝0.所以e2＝3＋2，e＝＋1.
答案 B
二、填空题
11．(2014·兰州一模)已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．
解析 由抛物线定义知，yP＋1＝5，即yP＝4，所以有x＝16，解得xP＝±4.
答案 ±4
12．(2013·上海卷)设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为________．
解析 设D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝45°，所以有CD＝1，DB＝1，AD＝3，所以有C(1,1)，把C(1,1)代入椭圆的标准方程得＋＝1，a2＝b2＋c2且2a＝4，解得，b2＝，c2＝，则2c＝ .
答案
13．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且·＝0，则M到x轴的距离为________．
解析 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
则可得mn＝4.
由△MF1F2的面积可得M到x轴的距离为＝.
答案
14．(2014·淄博二模)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________．
解析 抛物线的焦点坐标为，由题意知
＝，c＝2b，所以c2＝4b2＝4(c2－a2)，即4a2＝3c2，所以2a＝c，所以e＝＝＝.
答案
三、解答题
15．(2013·广东卷改编)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程．
解 (1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy，
则＝，c>0，解得c＝1.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，
即y＝x2，
求导得y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－＋y1，
即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，
又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，
所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0 的两组解，
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
16．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
解 (1)设圆P的半径为r，则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，∴|PM|＋|PN|＝4>|MN|，∴P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
∴P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)由(1)知2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，
∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．
圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.
①当l的倾斜角为90°，方程为x＝0时，|AB|＝2，
②当l的倾斜角不为90°，
设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，
解得或
∴l的方程为y＝x＋，y＝－x－.
联立方程化简得7x2＋8x－8＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝.
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或.
17．(2014·东北三校联考)如图，已知点E(m,0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．
(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；
(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
解 (1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，
∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD.
设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝－4.
∵M，∴M，
同理，点N(2k＋1，－2k1)，
∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取得最小值4.
(2)设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1m＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝－4m，
∵M，
∴M，
同理，点N，
∴kMN＝＝k1k2.
∴直线MN的方程为
y－＝k1k2，即y＝k1k2(x－m)＋2，
∴直线MN恒过定点(m,2)．
18．(2013·重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，
过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．
解 (1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝，得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．
又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4,4])．
设P(x1，y1)，由题意知，P是椭圆上到Q的距离最小的点，
因此，上式当x＝x1时取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，
即(x1－x0)2－y＝0.
由椭圆方程及x1＝2x0，
得x－8＝0，
解得x1＝±，x0＝＝±.
从而|QP|2＝8－x＝.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
2＋y2＝，2＋y2＝.
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