高考数学一轮细讲精练【第六篇】不等式

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第六篇　不等式A

第1讲　不等关系与不等式
[最新考纲]
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用.


知 识 梳 理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
辨 析 感 悟
1．对两个实数大小的比较的认识
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(√)
(2)若＞1.则a＞b.(×)
2．对不等式性质的理解
(3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立．(×)
(4)同向不等式具有可加性和可乘性．(×)
(5)(2014·丽水模拟改编)设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”成立的既不充分也不必要条件．(√)
(6)(2013·北京卷改编)若a＞b，则＜.(×)
若a＞b，则a2＞b2.(×)
若a＞b，则a3＞b3.(√)
[感悟·提升]
两个防范　一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性中的”c的符号等都需注意，如(2)、(3)、(4)．
二是利用特值法判断两个式子大小时，错误的关系式，只需取特值举反例即可，而正确的关系式，则需推理论证．如(6)中当a＝1，b＝－2时，＜不成立；当a＝－1，b＝－2时，a2＞b2不成立.
学生用书第94页


考点一　用不等式(组)表示不等关系
【例1】 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
解　若提价后商品的单价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
规律方法 对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后用不等式表示．而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决．
【训练1】 某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋产品需用4 h；生产每袋产品需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t．试根据这些数据预测明年的产量．
解　设明年的产量为x袋，则
解得80 000≤x≤90 000.
预计明年的产量在80 000袋到90 000袋之间．
考点二　比较大小
【例2】 (1)若a＝，b＝，c＝，则 (　　)．
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
(2)已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小．
(1)解析　易知a，b，c都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a；＝＝log2532＞1，所以a＞c.即c＜a＜b.故选C.
答案　C
(2)解　∵－(1＋a)＝，
当a＝0时，＝0，∴＝1＋a；
当a＜1，且a≠0时，＞0，
∴＞1＋a；
当a＞1时，＜0，∴＜1＋a.
规律方法 (1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．
(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．
【训练2】 (2012·四川卷)设a，b为正实数．现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b＜1；②若－＝1，则a－b＜1；③若|－|＝1，则|a－b|＜1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1.
其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．
解析　①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b＞1，又a－b＝，不合题意，故①正确．
②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝＞1，故②错．
③中，a，b为正实数，所以＋＞|－|＝1，
且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|＞1，故③错．
④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.
若|a－b|≥1，不妨取a＞b＞1，则必有a2＋ab＋b2＞1，不合题意，故④正确．
答案　①④
考点三　不等式的性质及其应用
【例3】 (1)(2014·泉州模拟)若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤＞这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
(2)(2012·湖南卷)设a>b>1，c；②acloga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是 (　　)．
A.① B．①②
C．②③ D．①②③
审题路线　

解析　(1)令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
(2)由不等式性质及a>b>1知b，则下列不等式成立的是(　　)．
A．a2－b2≥0 B．ac>bc
C．|a|>|b| D．2a>2b
解析　A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立；当0>a>b时，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故选D.
答案　D
3．(2014·河南三市三模)已知0＜a＜1，x＝loga＋loga ，y＝loga5，z＝loga －loga ，则(　　)．
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．z＞x＞y D．y＞x＞z
解析　由题意得x＝loga，y＝loga，z＝loga，而0＜a＜1，∴函数y＝loga x在(0，＋∞)上单调递减，∴y＞x＞z.
答案　D
4．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是(　　)．
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
解析　由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1，又a＜0，
∴ab＞ab2＞a.
答案　D
5．(2014·晋城模拟)已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出b，ab>0可得0，b>0且a≠b时，aabb与abba.
解　(1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
(2)＝aa－bbb－a＝aa－ba－b＝a－b.
当a>b，即a－b>0，>1时，a－b>1，∴aabb>abba.
当a0且a≠b时，aabb>abba.
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？
解　设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为v1，跑步速度为v2，且v1＜v2.
甲所用的时间t甲＝＋＝，
乙所用的时间t乙＝，
∴＝×＝
＝＞＝1.
∵t甲＞0，t乙＞0，∴t甲＞t乙，即乙先到教室．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)．
A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
解析　由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1.
答案　A
2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)．
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
解析　c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b，将已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，
∵1＋a2－a＝2＋＞0，∴1＋a2＞a，
∴b＝1＋a2＞a，∴c≥b＞a.
答案　A
二、填空题
3．(2014·三门峡二模)给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中，能推出logb＜loga＜logab成立的条件的序号是________．
解析　若1＜a＜b，则＜＜1＜b，∴loga＜loga＝－1＝logb，故条件①不成立；
若0＜a＜b＜1，则b＜1＜＜，
∴logab＞loga＞loga＝－1＝logb，故条件②成立；
若0＜a＜1＜b，则0＜＜1，∴loga＞0，logab＜0，故条件③不成立．
答案　②
三、解答题
4．设01时，由0