高考数学一轮细讲精练【第二篇】函数、导数及其应用

这是一份高考数学一轮细讲精练【第二篇】函数、导数及其应用，共200页。
第二篇　函数、导数及其应用A

第1讲　函数的概念及其表示
[最新考纲]
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.

知 识 梳 理
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．
(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
2．函数定义域的求法



类型
x满足的条件
，n∈N*
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)
f(x)＞0
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义

3．函数值域的求法

方法
示例
示例答案
配方法
y＝x2＋x－2
y∈
性质法
y＝ex
y∈(0，＋∞)
单调性法
y＝x＋
y∈[2，＋∞)
换元法
y＝sin2 x＋sin x＋1
y∈
分离常数法
y＝
y∈(－∞，1)∪
(1，＋∞)
辨 析 感 悟
1．对函数概念的理解．
(1)(教材习题改编)如图：

以x为自变量的函数的图象为②④.(√)
(2)函数y＝1与y＝x0是同一函数．(×)
2．函数的定义域、值域的求法
(3)(2013·江西卷改编)函数y＝ln(1－x)的定义域为(0,1)．(×)
(4)(2014·杭州月考改编)函数f(x)＝的值域为(0,1]．(√)
3．分段函数求值
(5)(2013·济南模拟改编)设函数f(x)＝则f(f(3))＝.(√)

学生用书第10页
(6)(2014·浙江部分重点中学调研改编)函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a的值为或－2.(√)
4．函数解析式的求法
(7)已知f(x)＝2x2＋x－1，则f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.(√)
(8)已知f(－1)＝x，则f(x)＝(x＋1)2.(×)
[感悟·提升]
1．一个方法　判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)．
2．三个防范　一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；
二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；
三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).

考点一　求函数的定义域与值域

【例1】 (1)(2013·山东卷)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)．
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数y＝的值域为________．
解析　(1)由题意解得－3＜x≤0.
(2)y＝＝＝1－，因为≠0，
所以1－≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．
答案　(1)A　(2){y|y≠1}
规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．
【训练1】 (1)函数y＝ln＋的定义域为________．
(2)函数f(x)＝的值域为________．
解析　(1)根据题意可知，⇒⇒0＜x≤1，故定义域为(0,1]．
(2)当x≥1时，logx≤0；当x＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．
答案　(1)(0,1]　(2)(－∞，2)
考点二　分段函数及其应用
【例2】 (1)(2014·东北三校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(3)的值为(　　)．
A．－1 B．－2 C．1 D．2
(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析　(1)依题意，3＞0，得f(3)＝f(3－1)－f(3－2)＝f(2)－f(1)，又2＞0，所以f(2)＝f(2－1)－f(2－2)＝f(1)－f(0)；所以f(3)＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0)，又f(0)＝log2(4－0)＝2，所以f(3)＝－f(0)＝－2.
(2)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.
此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－.
不合题意，舍去．当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，
此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
答案　(1)B　(2)－
规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
【训练2】 (2014·烟台诊断)已知函数f(x)＝则f[f(2 013)]＝(　　)．
A. B．－ C．1 D．－1
解析　f(2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以f[f(2 013)]＝f(32)＝2cos ＝2cos ＝－1.
答案　D
学生用书第11页
考点三　求函数的解析式
【例3】 (1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试求出f(x)的解析式．
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
解　(1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，
∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x＞1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.
∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴∴
∴f(x)＝x2－x＋3.
(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得，
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
规律方法 求函数解析式常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【训练3】 (1)若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________.
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析　(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，
所以f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3.
所以f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.
答案　(1)2x2－4x＋3　(2)－


1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教你审题1——分段函数中求参数范围问题
【典例】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝❶若|f(x)|≥ax❷，则a的取值范围是(　　)．
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]

(1)

[审题]一审条件❶：f(x)＝转化为一元二次函数与对数函数的图象问题．如图(1)．
二审条件❷：|f(x)|≥ax，由f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)．

(2)
三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
即x2≥(a＋2)x，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2.
综上－2≤a≤0.
答案　D
[反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；
(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
【自主体验】
(2014·德州模拟)已知函数f(x)＝则f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)．
A．－3 B．－1或3
C．1 D．－3或1
解析　因为f(1)＝lg 1＝0，所以由f(a)＋f(1)＝0得f(a)＝0.当a＞0时，f(a)＝lg a＝0，所以a＝1.
当a≤0时，f(a)＝a＋3＝0，解得a＝－3.所以实数a的值为a＝1或a＝－3，选D.
答案　D
对应学生用书P227
基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．下列各组函数表示相同函数的是(　　)．
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝1，g(x)＝x2
C．f(x)＝g(t)＝|t|
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
解析　A选项中的两个函数的定义域分别是R和[0，＋∞)，不相同；
B选项中的两个函数的对应法则不一致；
D选项中的两个函数的定义域分别是R和{x|x≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；
C选项中的两个函数的定义域都是R，对应法则都是g(x)＝|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．
答案　C
2．(2013·临沂一模)函数f(x)＝ln＋的定义域为(　　)．
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析　要使函数有意义，则有
即解得x＞1.
答案　B
3．(2013·昆明调研)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是(　　)．

解析　A项定义域为[－2,0]，D项值域不是[0,2]，C项对定义域中除2以外的任一x都有两个y与之对应，都不符合条件，故选B.
答案　B
4．(2014·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数f(x)＝则f(log27)＝(　　)．
A. B. C. D.
解析　因为log27＞1，log2＞1,0＜log2＜1，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f(log2)＝f(log2－1)＝f(log2)＝2log2＝.
答案　C
5．函数f(x)＝(x≠－)满足f(f(x))＝x，则常数c等于(　　)．
A．3 B．－3 C．3或－3 D．5或－3
解析　f(f(x))＝＝＝x，即x[(2c＋6)x＋9－c2]＝0，
所以解得c＝－3.
答案　B
二、填空题
6．(2014·杭州质检)函数f(x)＝ln的定义域是________．
解析　由题意知＞0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＞2或x＜－1.
答案　{x|x＞2，或x＜－1}
7．(2014·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
解析　f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.
答案　2
8．已知f＝，则f(x)的解析式为________．
解析　令t＝，由此得x＝(t≠－1)，
所以f(t)＝＝，
从而f(x)的解析式为f(x)＝(x≠－1)．
答案　f(x)＝(x≠－1)
三、解答题
9．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
解　∵f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．
于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，
则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，
∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.
∵ax2－4ax＋3＝0的两实根的平方和为10，
∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，
∴a＝1.∴f(x)＝x2－4x＋3.
10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地．在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离s(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象．
解　由题意知：s＝
其图象如图所示．

能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．设f(x)＝lg，则f＋f的定义域为(　　)．
A．(－4,0)∪(0,4) B．(－4，－1)∪(1,4)
C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－4，－2)∪(2,4)
解析　∵＞0，∴－2＜x＜2，∴－2＜＜2且－2＜＜2，取x＝1，则＝2不合题意(舍去)，故排除A，取x＝2，满足题意，排除C、D，故选B.
答案　B
2．已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且当x∈(0，＋∞)时，有f(x)＝，则当x∈(－∞，－2)时，f(x)
的解析式为(　　)．
A．f(x)＝－ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
解析　当x∈(－∞，－2)时，则－2－x∈(0，＋∞)，
∴f(x)＝－.
答案　D
二、填空题
3．(2013·潍坊模拟)设函数f(x)＝则满足f(x)＝的x值为________．
解析　当x∈(－∞，1]时，2－x＝＝2－2，∴x＝2(舍去)；
当x∈(1，＋∞)时，log81x＝，即x＝＝＝3.
答案　3
三、解答题
4．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，求a，b的值．
解　∵f(x)＝(x－1)2＋a－，
∴其对称轴为x＝1，即函数f(x)在[1，b]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，①
f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b，②
又b>1，由①②解得∴a，b的值分别为，3.
学生用书第12页



第2讲　函数的单调性与最值
[最新考纲]
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.

知 识 梳 理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
续表
图象


描述

自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值

前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论
M为最大值
M为最小值
辨 析 感 悟
1．函数单调性定义的理解
(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)
(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)
(3)(教材改编)函数f(x)＝在其定义域上是减函数．(×)
(4)已知f(x)＝，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√)
2．函数的单调区间与最值
(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)
(6)(教材改编)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)
(7)(2013·汕头模拟)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(×)
(8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×)
[感悟·提升]
1．一个区别　“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．
2．两个防范　一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；
二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).
学生用书第13页

考点一　确定函数的单调性或单调区间

【例1】 (1)判断函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．
(2)(2013·沙市中学月考)求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．
解　(1)法一　任意取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
当≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0,1－＜0，
有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；
当x1＞x2≥时，x1－x2＞0,1－＞0，
有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
此时，函数f(x)＝x＋(k＞0)在[，＋∞)上为增函数；
综上可知，函数f(x)＝x＋(k＞0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．
法二　f′(x)＝1－，令f′(x)＞0，则1－＞0，
解得x＞或x＜－(舍)．令f′(x)＜0，则1－＜0，
解得－＜x＜.∵x＞0，∴0＜x＜.
∴f(x)在(0，)上为减函数；在(，＋∞)上为增函数，
也称为f(x)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．
(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．
令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1或x＞3.
∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．
(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
【训练1】 试讨论函数f(x)＝，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．
解　法一　(定义法)
任取－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，
x－1＜0，x－1＜0，|x1x2|＜1，
即－1＜x1x2＜1，
∴x1x2＋1＞0，
∴＞0，
因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)为减函数；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1,1)为增函数．
法二　(导数法)
f′(x)＝＝
当a＞0时，f′(x)＜0；
当a＜0时，f′(x)＞0.
∴当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为减函数；
当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
考点二　利用单调性求参数
【例2】 已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．
(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．
(1)证明　任设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝－.
∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减．
(2)解　法一　f(x)＝＝a－，设x1