2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-3 word版含答案

(时间：40分钟)

1．设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　D

解析　当|a|＝|b|＝0时，|a|＝|b|⇔|a＋b|＝|a－b|.

当|a|＝|b|≠0时，|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，推不出|a|＝|b|.同样，由|a|＝|b|也不能推出a⊥b.故选D.

2．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝(　　)

A．－ B．

C．－2 D．2

答案　A

解析　因为(3a＋λb)⊥a，所以(3a＋λb)·a＝3a2＋λa·b＝3＋2λ＝0，解得λ＝－.

3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)

A．5 B．4

C．3 D．2

答案　A

解析　＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.

4．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·＝(　　)

A．18 B．3

C．15 D．12

答案　A

解析　由题意可得△ABC是等腰直角三角形，AB＝3，＝，故·＝(＋)·＝2＋·＝9＋(－)·＝9＋2－·＝9＋9－0＝18，故选A.

5．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

答案　D

解析　a＝(1,2)，b＝(4,2)，则c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴＝，

∴＝，解得m＝2.

6．已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．

答案　－5

解析　根据已知，a2＝2，a·b＝10.由a⊥(ta＋b)，得a·(ta＋b)＝ta2＋a·b＝2t＋10＝0，解得t＝－5.

7.已知a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝______.

答案　4

解析　因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|·cos120°＝13，所以9＋|b|2－3|b|＝13，解得|b|＝4.

8．如下图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________.

答案　－

解析　利用向量的加减法法则可知

·＝(＋)·(－＋)＝(－2＋2)＝－.

9．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.

(1)求a，b夹角的大小；

(2)求|3a＋b|的值．

解　(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，

即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，

而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，

∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝，

又θ∈，∴a，b的夹角为.

(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，

∴|3a＋b|＝.

10．如图所示，A＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．

(1)若∥，求x与y之间的关系式；

(2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．

解　(1)因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)，

又∥，且＝(x，y)，

所以x(y－2)－y(x＋4)＝0，即x＋2y＝0.①

(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，

又⊥，

所以·＝(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②

联立①②化简，得y2－2y－3＝0，

所以y＝3或y＝－1.

故当y＝3时，x＝－6，

此时＝(0,4)，＝(－8,0)，

所以S四边形ABCD＝||·||＝16；

当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)，

所以S四边形ABCD＝||·||＝16.

(时间：20分钟)

11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　)

A． B．

C． D．

答案　D

解析　由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，设向量a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－＝－，所以θ＝.

12．在Rt△ABC中，C＝，B＝，CA＝2，则|2－|＝(　　)

A．5 B．4

C．3 D．2

答案　B

解析　解法一：由已知可得AB＝＝4，A＝，

则|2－AB|＝ ＝

 ＝＝4，故选B.

解法二：如图，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，依题意C(0,0)，A(2,0)，B(0，2)，∴2－＝(－4,0)－(－2，2)＝(－2，－2)，

∴|2－|＝＝4，故选B.

13．已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于________．

答案　13

解析　∵⊥，故以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．

不妨设B，C(t,0)，则＝＋＝(4,1)，故点P的坐标为(4,1)．

·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13.

当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.

14．已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．

(1)当a∥b时，求tan2x的值；

(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．

解　(1)∵a∥b，∴sinx·(－1)－·cosx＝0，

即sinx＋cosx＝0，tanx＝－，

∴tan2x＝＝.

(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2

＝sinxcosx－＋cos2x＋1

＝sin2x－＋cos2x＋＋1＝sin.

∵－≤x≤0，

∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，

∴－≤sin≤，

∴f(x)在上的值域为.