2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 解答题专项训练2 word版含答案

解答题专项训练二

1.已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)的单调递增区间．

解　(1)因为f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝，

依题意，＝π，解得ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝sin.

函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－，2kπ＋(k∈Z)．

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列．

(1)求B；

(2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积．

解　(1)∵ccosA，bcosB，acosC成等差数列，

∴2bcosB＝ccosA＋acosC，

由正弦定理a＝2RsinA，c＝2RsinC，b＝2RsinB，R为△ABC外接圆的半径，代入上式，得2sinBcosB＝sinCcosA＋sinAcosC，

即2sinBcosB＝sin(A＋C)，

又A＋C＝π－B，∴2sinBcosB＝sin(π－B)，

即2sinBcosB＝sinB.

而sinB≠0，∴cosB＝，由0<B<π，得B＝.

(2)∵cosB＝＝，

∴＝，又a＋c＝，b＝，

∴－2ac－3＝ac，即ac＝，

∴S△ABC＝acsinB＝××＝.

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝bsinA.

(1)求B；

(2)若cosA＝，求sinC的值．

解　(1)在△ABC中，由＝，

可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝bsinA，

得2asinBcosB＝bsinA＝asinB，而sinB≠0，

所以cosB＝，由0<B<π，得B＝.

(2)由cosA＝，可得sinA＝，

则sinC＝sin＝sin(A＋B)＝

sinA＋＝sinA＋cosA＝.

4．在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且cosA＝.

(1)求cos2＋cos2A的值；

(2)若a＝，求△ABC面积的最大值．

解　(1)cos2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝－＋2cos2A－1＝－×＋2×2－1＝－.

(2)由余弦定理，可得()2＝b2＋c2－2bc·cosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，∴bc≤，

当且仅当b＝c＝时，bc有最大值，

又cosA＝，A∈(0，π)，

∴sinA＝＝＝，

∴(S△ABC)max＝bcsinA＝××＝.

5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，(2b－c)cosA－acosC＝0.

(1)求角A的大小；

(2)求函数y＝sinB＋ sin的最大值．

解　(1)在△ABC中，由正弦定理，得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，

即2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，

∴2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.

又sinB≠0，∴cosA＝，

又0<A<π，∴A＝.

(2)由(1)知A＝，

∴在△ABC中，B＋C＝，且B∈.

y＝sinB＋sin＝sinB＋sin－B＝sinB＋cosB＝2sin.

又B∈，∴B＋∈，

∴sin∈，

∴2sin∈(1,2]．

故函数y＝sinB＋sin的最大值为2.

6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.

(1)求∠C的大小；

(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．

解　(1)∵m＝(cos∠B，cos∠C)，n＝(c，b－2a)，

m·n＝0，

∴ccos∠B＋(b－2a)cos∠C＝0，在△ABC中，由正弦定理得，

sin∠Ccos∠B＋(sin∠B－2sin∠A)cos∠C＝0，

sin∠A＝2sin∠Acos∠C，又∵sin∠A≠0，

∴cos∠C＝，而∠C∈(0，π)，∴∠C＝.

(2)由＝知，－＝－，

所以2＝＋，

两边平方，得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①

又∵c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，∴a2＋b2－ab＝12.②

由①②得ab＝8，∴S△ABC＝absin∠ACB＝2.

7. 如图，在△ABC中，B＝，AC＝2，cosC＝.

(1)求sin∠BAC的值；

(2)设BC的中点为D，求中线AD的长．

解　(1)因为cosC＝，且C是三角形的内角，

所以sinC＝＝.

所以sin∠BAC＝sin＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.

(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，

所以BC＝×sin∠BAC＝×＝6，

于是CD＝BC＝3.

在△ACD中，AC＝2，cosC＝，所以由余弦定理，

得AD＝

＝ ＝，

即中线AD的长为.

8．已知函数f(x)＝sinωx＋mcosωx(ω>0，m>0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和m的值；

(2)若f＝，θ∈，求f的值．

解　(1)易知f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ为辅助角)，

∴f(x)min＝－＝－2，∴m＝.

由题意知函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋，

∴f＝2sin＝，

∴sin＝.

∵θ∈，∴θ＋∈，

∴cos＝－＝－，

∴sinθ＝sin＝sincos－cosθ＋sin＝，

∴f＝2sin＝2sin＝2cos2θ＝2(1－2sin2θ)＝2＝－.