2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练 第8章 平面解析几何 8-5 word版含答案
展开这是一份2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练 第8章 平面解析几何 8-5 word版含答案,共7页。试卷主要包含了设F1,F2是椭圆E,已知F1,F2是椭圆C,已知椭圆C等内容,欢迎下载使用。
(时间:40分钟)
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 D
解析 依题意,所求椭圆的焦点位于x轴上,且c=1,e==⇒a=2,b2=a2-c2=3,因此椭圆C的方程是+=1.
2.已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7
C.6 D.5
答案 A
解析 ∵椭圆+=1的长轴在x轴上,
∴解得6<m<10.∵焦距为4,∴c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
3.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2 B.4
C.8 D.
答案 B
解析 如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,
∴|MF2|=10-|MF1|=8.由题意知|ON|=|MF2|=4.故选B.
4.设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,所以a-c=×2c,e==,故选C.
5.椭圆+y2=1的右焦点为F,直线x=t与椭圆相交于点A、B,若△FAB的周长等于8,则△FAB的面积为( )
A.1 B.
C. D.2
答案 C
解析 ∵a=2,△FAB的周长为8=4a,∴由椭圆的定义得直线x=t经过椭圆的左焦点,把x=-代入椭圆方程,得+y2=1,|y|=,∴△FAB的面积为·2|y|·2c=.
6.M是椭圆+=1上的任意一点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,则|MF1|·|MF2|的最大值是________.
答案 9
解析 |MF1|+|MF2|=2a.
|MF1|·|MF2|≤2=a2=9.
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.
7.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
答案 3
解析 由题意知|PF1|+|PF2|=2a,⊥,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,
所以(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,
所以2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2,
所以|PF1||PF2|=2b2,
所以S△PF1F2=|PF1||PF2|=×2b2=b2=9.
所以b=3.
8.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.
答案
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,
+=1②.
①、②两式相减并整理,得=-·.
把已知条件代入上式,得-=-×,
即=,故椭圆的离心率e==.
9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4且过点(,-2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C分别交于点E,F,求· 的取值范围.
解 (1)椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距是4,所以焦点坐标是(0,-2),(0,2),2a=+=4,所以a=2,b=2,即椭圆C的方程是+=1.
(2)若直线l垂直于x轴,则点E(0,2),F(0,-2),·=-8.
若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+2,点E(x1,y1),F(x2,y2),
将直线l的方程代入椭圆C的方程得到:(2+k2)x2+4kx-4=0,则x1+x2=,x1x2=,
所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=++4=-8,
因为0<≤10,所以-8<·≤2,
综上,·的取值范围是.
10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解 (1)由题意得解得b=,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
x1+x2=,x1x2=,
所以|MN|=
=
=.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,所以△AMN的面积为S=|MN|·d=,由=,解得k=±1.
(时间:20分钟)
11.设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意知a=3,b=.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|==,所以|PF1|=6-|PF2|=,所以=,故选B.
12.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )
A.2 B.3
C.6 D.8
答案 C
解析 由椭圆+=1,可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y),-2≤x≤2,则·=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,当且仅当x=2时,·取得最大值6.
13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,则椭圆C的离心率e=______.
答案
解析 设椭圆C的焦距为2c(c<a),由于直线AB的方程为bx+ay-ab=0,所以=c,又b2=a2-c2,所以3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍),所以e=.
14.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(2)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
解 (1)由已知,a=b,
则椭圆E的方程为+=1.
由方程组
得3x2-12x+(18-2b2)=0.①
方程①的判别式为Δ=24(b2-3),
由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,
所以椭圆E的方程为+=1.
点T的坐标为(2,1).
(2)由已知可设直线l′的方程为y=x+m(m≠0),由方程组可得
所以P点的坐标为,
|PT|2=m2.
设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②
方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),
由Δ>0,解得-<m<.
由②得x1+x2=-,x1x2=.
所以|PA|=
=,
同理|PB|=.
所以|PA|·|PB|
=
=
=
=m2.
故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
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