2021年高考数学二轮复习大题专项练七《极坐标与参数方程》文数(含答案)

2021年高考数学二轮复习大题专项练七

《极坐标与参数方程》文数

A组

1.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ,直线l的参数方程为(t为参数),两曲线相交于M,N   两点.

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;

(2)若P(-2,-4),求|PM|+|PN|的值.

2.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为(,),设直线l与圆C交于点P,Q两点.

(1)写出圆C的直角坐标方程;

(2)求|AP|·|AQ|的值.

3.已知直线l过点P(1,0),且倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.

(1)求圆C的直角坐标方程及直线l的参数方程;

(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求+的最大值和最小值.

4.在极坐标系中,已知圆C的圆心C(,),半径r=.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)若α∈[0,),直线l的参数方程为(t为参数),直线l交圆C于A,B两点,求弦长|AB|的取值范围.

B组

1.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲  线C2.

(1)求C2的极坐标方程;

(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.

2.在平面直角坐标系中,以O为极点,x轴为正半轴建立极坐标系,取相同的长度单位,若曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ-)=3,曲线C2的参数方程为(θ为参数).

(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程,C2的参数方程化为普通方程;

(2)设P是曲线C1上任一点,Q是曲线C2上任一点,求|PQ|的最小值.

3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R),以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos 2θ+4cos θ-ρ=0.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

(2)若已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a   的值.

4.在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为ρ=2,正三角形ABC的顶点都在C1上,且A,B,C依逆时针次序排列,点A的坐标为(2,0).

(1)求点B,C的直角坐标;

(2)设P是圆C2:x2+(y+)2=1上的任意一点,求|PB|2+|PC|2的取值范围.

参考答案

A组

1.解:(1)根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x,

用代入法消去参数求得直线l的普通方程x-y-2=0.

(2)直线l的参数方程为(t为参数),

代入y2=4x,得到t2-12t+48=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,

则t1+t2=12,t1·t2=48,所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=12.

2.解:(1)圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ即ρ2=2ρcos θ,

即(x-1)2+y2=1,表示以C(1,0)为圆心、半径等于1的圆.

(2)因为点A的直角坐标为(,),

所以点A在直线(t为参数)上.

把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t-=0.

由韦达定理可得t1·t2=-<0,

根据参数的几何意义可得|AP|·|AQ|=|t1·t2|=.

因此|AP|·|AQ|的值为.

3.解:(1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ,即x2+y2=4x,

所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,

直线l过点P(1,0),且倾斜角为α,

所以直线l的参数方程为(t为参数).

(2)将代入(x-2)2+y2=4,

得t2-2tcos α-3=0,Δ=(2cos α)2+12>0,

设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,

则+====,

因为cos α∈[-1,1],

所以+的最大值为,最小值为.

4.解:(1)因为C(,)的直角坐标为(1,1),

所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=3.

化为极坐标方程是ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)-1=0.

(2)将

代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+(y-1)2=3,

得(1+tcos α)2+(1+tsin α)2=3,

即t2+2t(cos α+sin α)-1=0.

所以t1+t2=-2(cos α+sin α),t1·t2=-1.

所以|AB|=|t1-t2|==2.

因为α∈[0,),所以2α∈[0,),所以2≤|AB|<2.

即弦长|AB|的取值范围是[2,2).

B组

1.解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),

转化为直角坐标方程为x2+y2=1,

曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.

即+y′2=1,故C2的直角坐标方程为+y2=1.

转化为极坐标方程为+ρ2sin2θ=1.

(2)曲线C1的参数方程为(α为参数),转化为极坐标方程为ρ1=1,

由题意得到A(1,),

将B(ρ2,)代入坐标方程+ρ2sin2θ=1.

得到ρ2=,则|AB|=|ρ1-ρ2|=-1.

2.解:(1)因为曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ-)=3,

所以ρsin θ-ρcos θ=3,

所以曲线C1的直角坐标方程为x-y+6=0.

因为曲线C2的参数方程为(θ为参数),

所以曲线C2的普通方程为x2+(y+2)2=4.

(2)因为曲线C2:x2+(y+2)2=4是以(0,-2)为圆心,以2为半径的圆,

圆心(0,-2)到曲线C1:x-y+6=0的距离d==4,

P是曲线C1上任一点,Q是曲线C2上任一点,

所以|PQ|的最小值为d-r=4-2=2.

3.解:(1)C1的参数方程(t为参数,a∈R)

消参得普通方程为x-y-a+1=0,

C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0两边同乘ρ得

ρ2cos2θ+4ρcos θ-ρ2=0即y2=4x.

(2)将曲线C1的参数方程(t为参数,a∈R)代入曲线C2:y2=4x

得t2-t+1-4a=0,由Δ=(-)2-4××(1-4a)>0,得a>0,

设A,B对应的参数分别为t1,t2,由题意得|t1|=2|t2|,

即t1=2t2或t1=-2t2,

当t1=2t2时,解得a=,

当t1=-2t2时,解得a=,

综上,a=或.

4.解:(1)因为曲线C1的极坐标方程为ρ=2,所以曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4,

因为正三角形ABC的顶点都在C1上,且A,B,C依逆时针次序排列,点A的坐标为(2,0),

所以B点的坐标为(2cos 120°,2sin 120°),即B(-1,),

C点的坐标为(2cos 240°,2sin 240°),即C(-1,-).

(2)因为圆C2:x2+(y+)2=1,

所以圆C2的参数方程0≤α<2π,

设点P(cos α,-+sin α),0≤α<2π,

所以|PB|2+|PC|2=(cos α+1)2+(sin α-2)2+(cos α+1)2+sin2α

=16+4cos α-4sin α=16+8cos(α+),

所以|PB|2+|PC|2的取值范围是[8,24].