人教版八年级下册18.2.3 正方形优秀课件ppt

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1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF于点M.求证AM⊥DF.
利用正方形的性质证明垂直关系
证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC.∵DE＝CF，∴OE＝OF.在△AOE与△DOF中，∴△AOE≌△DOF(SAS)．
∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.
2．(中考·杭州)如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；
利用正方形的性质求线段间的数量关系
(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
解：(1)AG2＝GE2＋GF2.理由如下：如图，连接GC，由正方形的性质知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG.在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG(SAS)．∴AG＝CG.
由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°，∴四边形GFCE为矩形，CG2＝CF2＋GF2.∴GE＝FC.又∵AG＝CG，∴AG2＝GE2＋GF2.(2)如图，作AH⊥BD于点H，由题意易知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，
∴∠BAH＝45°＝∠ABG，∠GAH＝30°.∴AH＝BH，AG＝2HG.∵AB＝1，∴在Rt△ABH中，由勾股定理可得AH＝BH＝ .在Rt△AGH中，由勾股定理可得HG＝ .∴BG＝ .
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；
利用正方形的性质解决相关问题
④AG∥CF；⑤S△FGC＝3.6.其中正确结论的个数是(　　)A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个
4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？
正方形性质与判定的综合运用
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.
∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形．(2)解：当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形ABCD的面积．