初中第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数精品教学设计

第一章  直角三角形的边角关系

1  锐角三角形

课时1 正切

1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．

2．能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．

从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．

难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．

用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：

问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？

问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？

通过本章的学习，相信大家一定能够解决．

用多媒体演示如下内容：

[师]梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)．

    (1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？

[生]梯子AB比梯子EF更陡．

[师]你是如何判断的？

[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡．

[生]我觉得是因为AC＝ED，所以只要比较BC，FD的长度即可知哪个梯子陡．BC<FD，所以梯子AB比梯子EF陡．

[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)

(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？

[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平宽度BC和FD不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．

[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB和EF的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB和EF哪一个更陡呢？

[生]＝＝，＝＝.∵<，

∴梯子EF比梯子AB更陡．

想一想：

如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？

(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？

(2)和有什么关系？

 (3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？

[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．

[生]在上图中，我们可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的．因为∠B2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根据相似的条件，得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.

[生]由图还可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得  B2C2∥B1C1，Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.

[生]相似三角形的对应边成比例，得

＝，即＝.

如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B2C2A∽Rt△B1C1A，仍能得到＝.因此，无论B2在梯子的什么位置(除A外), ＝总成立．

[师]也就是说无论B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的对边与邻边的比值是不会改变的．

现在如果改变∠A的大小，∠A的对边与邻边的比值会改变吗？

[生]∠A的大小改变，∠A的对边与邻边的比值会改变．

[师]你又能得出什么结论呢？

[生]∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．

[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？

[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B1，B2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．

[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B1C1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．

[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学．

由于直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)

如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA＝.

注意：

(1)tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．

 (2)tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比．

(3)tanA不表示“tan”乘以“A”．

(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切．

思考：

(1)∠B的正切如何表示？它的数学意义是什么？

(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？

[生](1)∠B的正切记作tanB，表示∠B的对边与邻边的比值，即tanB＝.

(2)我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图1—3中，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡．

例1(教材示例)　如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，越大，扶梯就越陡．

解：甲梯中， tanα＝ ＝＝.

乙梯中，tanβ＝＝＝.

因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡．

[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度．

如图，有一山坡在水平方向上每前进100 m，就升高60 m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tanα)就是tanα＝＝.

这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面就越陡．

例2　已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．

分析：先证明△ACD≌△BCE，再根据tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．

解：根据题意可得AC＝BC＝＝，CD＝CE＝＝，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝.

例3　已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14 m，斜坡AB的坡度为3∶，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为4  m，求它的上底的长(精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)．

分析：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据已知条件求出AE＝DF的值，再根据坡度求出BE，最后根据EF＝BC－BE－FC求出AD.

解：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E，F.∵CD与BC的夹角为45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝4  m，∴DF＝CF＝＝4 (m)，∴AE＝DF＝4  m．∵斜坡AB的坡度为3∶，∴tan∠ABE＝＝＝，∴BE＝4 m．∵BC＝14 m，∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－4 ＝10－4 (m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－4 ≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1 m.

本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了tanA＝.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的很重要的概念．

教材P4“随堂练习”．