北师大版九年级下册3 三角函数的计算优秀教案

第一章  直角三角形的边角关系

3  三角函数的计算

1.    经历用计算器求已知锐角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．

2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力．

3.能够用计算器进行有关三角函数值的计算．

4.积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐，形成实事求是、严谨的学习态度．发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力.

1.用计算器求已知锐角的三角函数值；

2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．

能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

如图1－3－5，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？

图1－3－5

学生：

解：在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200 m，需求出BC.

根据正弦的定义，sin16°＝＝，

∴BC＝AB·sin16°＝200sin16°(米).

200sin16°米中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.

对于特殊角30°，45°，60°，可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.

怎样用科学计算器求三角函数值呢？

2.随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40 m长的斜道(如图1－3－6所示，用多媒体演示)．

这条斜道的倾斜角是多少？

在Rt△ABC中，BC＝10 m，AC＝40 m，    

sinA＝＝.可是如何求∠A呢？         

图1－3－6

给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值唯一确定．给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗？为什么？

要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成．这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.

【探究1】 用科学计算器求一般锐角的三角函数值

用科学计算器求三角函数值，要用到和键.

例如，求sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示.

同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同.

【探究2】 在活动一[课堂引入]的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？

(小组讨论后，学生讲解设计方案)

方案一：可以计算缆车从点B到点D垂直上升的高度.

方案二：可以计算缆车从点A到点D一共垂直上升的高度、水平移动的距离.

下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果．其余同学可在小组内交流、讨论完成.

【探究3】 (1)如图1－3－7，为了方便行人推自行车过天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道．这条斜道的倾斜角是多少？

图1－3－7

如图1－3－7，在Rt△ABC中，sinA＝＝，那么∠A等于多少度呢？要解决这个问题，我们可以借助科学计算器．请与同伴交流你是怎么做的.

(2)   已知三角函数值求角度，要用到键的第二功能和键．例如，已知sinA，cosB，tanC, 求∠A，∠B，∠C的度数的按键顺序如下表所示.

例1　如图1－3－8，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20 mm，深19.2 mm，求V形角(∠ACB)的大小．(结果精确到1°)

图1－3－8

[解析] 根据题意，可知AB＝20 mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD＝19.2 mm，要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可.

解：tan∠ACD＝＝≈0.5208，

∴∠ACD≈27.5°，

∴∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.

例2　如图1－3－9，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8 cm的B处进入身体，求射线的入射角度.

图1－3－9

解：如图1－3－9，在Rt△ABC中，

AC＝6.3 cm，BC＝9.8 cm，

∴tan∠ABC＝＝≈0.6429，

∴∠ABC≈32°44′13″.

因此，射线的入射角度约为32°44′13″.

例3　一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高．(结果精确到0.1 m)

解：如图1－3－10，根据题意，可知BC＝300 m，BA＝100 m，∠C＝40°，∠ABF＝30°.

在Rt△CBD中，BD＝BC·sin40°

≈300×0.6428≈192.8(m).

在Rt△ABF中，AF＝AB·sin30°

＝100×＝50(m).

所以山高AE＝BD＋AF≈192.8＋50＝242.8(m).

图1－3－10                图1－3－11

例4　如图1－3－11，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，房屋朝南的窗户高AB＝1.8 m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度．(结果精确到0.01 m)

[解析] 根据题意，将实际问题转化为数学问题．在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，即光线应沿CB射入，所以在Rt△ABC中，AB＝1.8 m，∠ACB＝80°，求AC的长度.

解：tan80°＝，AC＝≈≈0.32(m).

所以水平挡板AC的宽度约为0.32 m.

学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容，通过本节的学习，可以使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用．

1.课本P14随堂练习

2.课本P15习题1.4中T1、T4、T5