初中数学北师大版九年级下册3 垂径定理优秀教案

第三章  圆

3  垂径定理

1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．

2．运用垂径定理及其逆定理解决问题.

探索并证明垂径定理，会运用垂径定理及其逆定理解决问题.

垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.

1.等腰三角形是轴对称图形吗？

2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？

3．如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？

(通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．)

1．垂径定理

问题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.

(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

  [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．

(2)你能得出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

条件：① CD是直径；② CD⊥AB.

结论(等量关系)：③AM＝BM；④＝；⑤＝.

证明：连接OA，OB，则OA＝OB.

在Rt△OAM和Rt△OBM中，

∵OA＝OB，OM＝OM，

∴Rt△OAM≌Rt△OBM.

∴AM＝BM.

∴点A和点B关于CD对称．

∵⊙O关于直径CD对称，

∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，和重合， 和重合.

∴ ＝，＝.

证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2.垂径定理逆定理的探索

想一想：如图，AB是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.

(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

条件：① CD是直径；② AM＝BM.

结论(等量关系)：③CD⊥AB；④＝；⑤＝.

让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

[生]如图，连接OA，OB，则OA＝OB.[

在等腰△OAB中，∵AM＝MB，

∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．

∵⊙O关于直径CD对称．

∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，和重合， 和重合.

∴＝，＝.

[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？

[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．

下面，我们通过求解例题，来熟悉垂径定理．

例1(教材示例)　如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m．求这段弯路的半径．

师生共析：要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 m，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，哪位同学能口述一下如何求解？

[生]连接OC，设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90) m，

∵OE⊥CD，

∴CF＝CD＝×600＝300(m)．

在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，

即R2＝3002＋(R－90)2.

解这个方程，得R＝545.

∴这段弯路的半径为545 m.

例2　如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.

(1)求证：点E是OB的中点；

(2)若AB＝8，求CD的长．

分析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根据勾股定理可以解得CE的长，进而求出CD的长．

解：(1)证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴＝，∴AC＝AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°.在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；

(2)在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝＝＝2 ，∴CD＝2CE＝4 .

例3　如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10 cm，点P是⊙O上的动点(与A，B不重合)，连接AP，BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．

分析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．

解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝AB＝×10＝5(cm)．

本节课应掌握：

1.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．

2.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．

 教材P76“随堂练习”．