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苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形优秀同步测试题
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这是一份苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.4 矩形、菱形、正方形优秀同步测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
9.4矩形、菱形、正方形(4)-苏科版八年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形
的是 ( )
A.AD=CD B.AB=AD C.AC=BD D.∠BAC=∠BCA
（1题） （5题） （6题） （7题）
2、下列条件中,能够判定一个四边形是菱形的是 ( )
A.对角线互相垂直平分 B.对角线互相平分且相等 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直
3、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线互相垂直且相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角
4、如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（ ）
A．AD平分∠BAC B． AB＝AC且BD＝CD C．AD为中线 D．EF⊥AD
6、如图,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7、如图，将ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：
①MN∥BC；②MN=AM；③MN=AN；④四边形ADNM是菱形，其中正确的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8、用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,如图所示的作法中错误的是 ( )
9、四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；
⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10、如图．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①；②四边形BFDE是菱形；③菱形ABCD的面积为EF·BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形，
其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
（10题） （11题）
二、填空题
11、如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 ,使平行四边形ABCD是菱形.
12、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 ．（写四个条件的不给分，只填序号）
13、一组邻边相等且对角线_______ 的四边形是菱形．
14、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 ______（只需填一个）.
（14题） （15题） （16题）
15、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是____ (写出一个即可)．
16、如图所示,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB.分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C.连结AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 cm.
17、如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果AC⊥BD,
那么∠ACB= °时,四边形BECD是菱形.
（17题） （18题）
18、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中正确的有_______ （只填写序号）.
三、解答题
19、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
20、如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.
(1)若OE=,求EF的长;
(2)判新四边形AECF的形状,并说明理由.
21、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
23、如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连结AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
24、如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',展开,如图①;
第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,
如图②.
求证:(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB'E为菱形.
25、已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，
得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
26、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
9.4矩形、菱形、正方形(4)-苏科版八年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形
的是 ( .C )
A.AD=CD B.AB=AD C.AC=BD D.∠BAC=∠BCA
2、下列条件中,能够判定一个四边形是菱形的是 ( A )
A.对角线互相垂直平分 B.对角线互相平分且相等 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直
3、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ D ）
A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线互相垂直且相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角
4、如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为（ A ）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（ ）
A．AD平分∠BAC B． AB＝AC且BD＝CD C．AD为中线 D．EF⊥AD
答案：C
解析：由DE∥AC、DF∥AB可知这个四边形是平行四边形，只要能保证对角线互相垂直的条件就可
以判定四边形DEAF为菱形．
6、如图,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( B )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7、如图，将ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：
①MN∥BC；②MN=AM；③MN=AN；④四边形ADNM是菱形，其中正确的个数是（ C ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8、用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,如图所示的作法中错误的是 ( C )
9、四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；
⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ D ）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10、如图．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①；②四边形BFDE是菱形；③菱形ABCD的面积为EF·BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形，
其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
答案B ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD.
∵E为OA的中点，∴AE=OE， ∵S△ADE=AE•OD,S△EOD=OE•OD, ∴S△ADE=S△EOD，故①正确，
∵E、F分别是OA、OC的中点，∵OE=OA,OF=OC,
∵OA=OC,∴ OE=OF,又OB=OD,EF⊥BD, ∴四边形BFDE是菱形，故②正确．
S菱形ABCD=AC•BD，易知EF=AC, ∴S菱形ABCD=EF•BD，故③正确．
由已知条件推不出∠ADE=∠EDO.
由题意得OE=OF,BD⊥EF，∴∠DOE=∠DOF=90º, 又OD=OD，∴△DOE≌△DOF,
∴DE=DF，∴△DEF为等腰三角形， ∴△DEF是轴对称图形，故⑤正确．
二、填空题
11、如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 AB=BC或AC⊥BD等 ,使平行四边形ABCD是菱形.
12、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 ．（写四个条件的不给分，只填序号）
答案：①③④或②③④
13、一组邻边相等且对角线__互相平分______ 的四边形是菱形．
14、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _AB=BC等_____（只需填一个）.
15、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__CB＝BF或BE⊥CF__(写出一个即可)．
16、如图所示,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB.分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C.连结AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 4 cm.
17、如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果AC⊥BD,
那么∠ACB= 30 °时,四边形BECD是菱形.
18、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中正确的有___①②③④_____（只填写序号）.
三、解答题
19、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD. 又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
∴∠ACE=∠CAE,∴AE=CE, ∴四边形AECD是菱形.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵E是AB的中点,∴AE=BE. 又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE.
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,∴2∠BCE+2∠ACE=180°,
∴∠BCE+∠ACE=90°,即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.
20、如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.
(1)若OE=,求EF的长;
(2)判新四边形AECF的形状,并说明理由.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AB∥DC,∴∠OAE=∠OCF.
∵EF⊥AC,∴∠AOE=∠COF=90°.
在△AEO和△CFO中,,∴△AEO≌△CFO,∴OE=OF.
又OE=,∴OE=OF=,∴EF=OE+OF=3.
(2)四边形AECF是菱形.
理由如下:由(1)知OE=OF.
又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
21、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，∴DE=AB=BE．
由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
22、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.
∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC.∴∠DAC＝∠DCA.∴DA＝DC.
又∵AB＝AD，∴AB＝DC. 又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD＝DB＝1，AC⊥BD.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA＝＝＝2.
∴AC＝2OA＝4. ∵CE⊥AB，OA＝OC， ∴OE＝AC＝2.
23、如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连结AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠EAG=∠FBG，∵EF是AB的垂直平分线，∴AG=BG，在△AGE和△BGF中，∵∴△AGE≌△BGF（ASA）.
（2）四边形AFBE是菱形．
理由：由（1）得：△AGE≌△BGF，∴AE=BF，又∵AE∥BF，∴四边形AFBE是平行四边形，
∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴平行四边形AFBE是菱形．
24、如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',展开,如图①;
第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,
如图②.
求证:(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB'E为菱形.
证明:(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE, ∴∠AEB=∠A'EB.
∵第三步折叠点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,∴∠A'EB=∠FEB'.
∵∠AEB+∠A'EB+∠FEB'=180°,∴∠AEB=∠A'EB=∠FEB'=60°,∴∠ABE=30°.
(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F.
∵AD∥BC,∴∠BFE=∠FEB'=60°, ∴△BEF是等边三角形,∴BE=BF,
∴BE=B'E=B'F=BF, ∴四边形BFB'E为菱形.
25、已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，
得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．∴∠AEB＝∠CGD＝90°．
∵AE＝CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG．∴BE＝DG．
（2）当时，四边形是菱形．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵中，，∴，∴．
∵，∴．
∴．∴四边形是菱形．
26、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE．∴△AOF≌△COE．∴AF＝EC
（3）四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，
∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，，∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
9.4矩形、菱形、正方形(4)-苏科版八年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形
的是 ( )
A.AD=CD B.AB=AD C.AC=BD D.∠BAC=∠BCA
（1题） （5题） （6题） （7题）
2、下列条件中,能够判定一个四边形是菱形的是 ( )
A.对角线互相垂直平分 B.对角线互相平分且相等 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直
3、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线互相垂直且相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角
4、如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（ ）
A．AD平分∠BAC B． AB＝AC且BD＝CD C．AD为中线 D．EF⊥AD
6、如图,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7、如图，将ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：
①MN∥BC；②MN=AM；③MN=AN；④四边形ADNM是菱形，其中正确的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8、用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,如图所示的作法中错误的是 ( )
9、四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；
⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10、如图．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①；②四边形BFDE是菱形；③菱形ABCD的面积为EF·BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形，
其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
（10题） （11题）
二、填空题
11、如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 ,使平行四边形ABCD是菱形.
12、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 ．（写四个条件的不给分，只填序号）
13、一组邻边相等且对角线_______ 的四边形是菱形．
14、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 ______（只需填一个）.
（14题） （15题） （16题）
15、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是____ (写出一个即可)．
16、如图所示,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB.分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C.连结AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 cm.
17、如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果AC⊥BD,
那么∠ACB= °时,四边形BECD是菱形.
（17题） （18题）
18、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中正确的有_______ （只填写序号）.
三、解答题
19、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
20、如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.
(1)若OE=,求EF的长;
(2)判新四边形AECF的形状,并说明理由.
21、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
23、如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连结AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
24、如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',展开,如图①;
第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,
如图②.
求证:(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB'E为菱形.
25、已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，
得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
26、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
9.4矩形、菱形、正方形(4)-苏科版八年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形
的是 ( .C )
A.AD=CD B.AB=AD C.AC=BD D.∠BAC=∠BCA
2、下列条件中,能够判定一个四边形是菱形的是 ( A )
A.对角线互相垂直平分 B.对角线互相平分且相等 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直
3、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ D ）
A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线互相垂直且相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角
4、如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为（ A ）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
5、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（ ）
A．AD平分∠BAC B． AB＝AC且BD＝CD C．AD为中线 D．EF⊥AD
答案：C
解析：由DE∥AC、DF∥AB可知这个四边形是平行四边形，只要能保证对角线互相垂直的条件就可
以判定四边形DEAF为菱形．
6、如图,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( B )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
7、如图，将ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：
①MN∥BC；②MN=AM；③MN=AN；④四边形ADNM是菱形，其中正确的个数是（ C ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8、用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,如图所示的作法中错误的是 ( C )
9、四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；
⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ D ）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10、如图．菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①；②四边形BFDE是菱形；③菱形ABCD的面积为EF·BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形，
其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
答案B ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC,OA=OC,OB=OD.
∵E为OA的中点，∴AE=OE， ∵S△ADE=AE•OD,S△EOD=OE•OD, ∴S△ADE=S△EOD，故①正确，
∵E、F分别是OA、OC的中点，∵OE=OA,OF=OC,
∵OA=OC,∴ OE=OF,又OB=OD,EF⊥BD, ∴四边形BFDE是菱形，故②正确．
S菱形ABCD=AC•BD，易知EF=AC, ∴S菱形ABCD=EF•BD，故③正确．
由已知条件推不出∠ADE=∠EDO.
由题意得OE=OF,BD⊥EF，∴∠DOE=∠DOF=90º, 又OD=OD，∴△DOE≌△DOF,
∴DE=DF，∴△DEF为等腰三角形， ∴△DEF是轴对称图形，故⑤正确．
二、填空题
11、如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 AB=BC或AC⊥BD等 ,使平行四边形ABCD是菱形.
12、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是 ．（写四个条件的不给分，只填序号）
答案：①③④或②③④
13、一组邻边相等且对角线__互相平分______ 的四边形是菱形．
14、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _AB=BC等_____（只需填一个）.
15、如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__CB＝BF或BE⊥CF__(写出一个即可)．
16、如图所示,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB.分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C.连结AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为 4 cm.
17、如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.如果AC⊥BD,
那么∠ACB= 30 °时,四边形BECD是菱形.
18、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA. 下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形； ②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中正确的有___①②③④_____（只填写序号）.
三、解答题
19、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,∴∠CAE=∠CAD. 又∵AD∥CE,∴∠ACE=∠CAD,
∴∠ACE=∠CAE,∴AE=CE, ∴四边形AECD是菱形.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵E是AB的中点,∴AE=BE. 又∵AE=CE,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE.
∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°,∴2∠BCE+2∠ACE=180°,
∴∠BCE+∠ACE=90°,即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形.
20、如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB,DC于点E,F,连接AF,CE.
(1)若OE=,求EF的长;
(2)判新四边形AECF的形状,并说明理由.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,AB∥DC,∴∠OAE=∠OCF.
∵EF⊥AC,∴∠AOE=∠COF=90°.
在△AEO和△CFO中,,∴△AEO≌△CFO,∴OE=OF.
又OE=,∴OE=OF=,∴EF=OE+OF=3.
(2)四边形AECF是菱形.
理由如下:由(1)知OE=OF.
又∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
21、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF．
在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（SAS）；
（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，∴DE=AB=BE．
由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
22、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.
∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC.∴∠DAC＝∠DCA.∴DA＝DC.
又∵AB＝AD，∴AB＝DC. 又∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD＝DB＝1，AC⊥BD.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA＝＝＝2.
∴AC＝2OA＝4. ∵CE⊥AB，OA＝OC， ∴OE＝AC＝2.
23、如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连结AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠EAG=∠FBG，∵EF是AB的垂直平分线，∴AG=BG，在△AGE和△BGF中，∵∴△AGE≌△BGF（ASA）.
（2）四边形AFBE是菱形．
理由：由（1）得：△AGE≌△BGF，∴AE=BF，又∵AE∥BF，∴四边形AFBE是平行四边形，
∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴平行四边形AFBE是菱形．
24、如图,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA',EA',展开,如图①;
第三步:再沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,展开,
如图②.
求证:(1)∠ABE=30°;
(2)四边形BFB'E为菱形.
证明:(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A'处,并使折痕经过点B,得到折痕BE, ∴∠AEB=∠A'EB.
∵第三步折叠点B落在AD上的点B'处,得到折痕EF,同时得到线段B'F,∴∠A'EB=∠FEB'.
∵∠AEB+∠A'EB+∠FEB'=180°,∴∠AEB=∠A'EB=∠FEB'=60°,∴∠ABE=30°.
(2)∵沿EA'所在的直线折叠,点B落在AD上的点B'处,∴BE=B'E,BF=B'F.
∵AD∥BC,∴∠BFE=∠FEB'=60°, ∴△BEF是等边三角形,∴BE=BF,
∴BE=B'E=B'F=BF, ∴四边形BFB'E为菱形.
25、已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，
得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．∴∠AEB＝∠CGD＝90°．
∵AE＝CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG．∴BE＝DG．
（2）当时，四边形是菱形．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵中，，∴，∴．
∵，∴．
∴．∴四边形是菱形．
26、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE．∴△AOF≌△COE．∴AF＝EC
（3）四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，
∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，，∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
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