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数学八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形精品课后练习题
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这是一份数学八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形精品课后练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
9.4矩形、菱形、正方形(5)-苏科版八年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
4、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
(4题) (5题) (6题) (7题)
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
6、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7、如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
8、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是( )
A．AB B．DE C．BD D．AF
(8题) (9题) (10题)
9、如图，在正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝( )
A．6 B．4 C．3 D．2
10、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
11、▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，
使得▱ABCD为正方形．
12、下列叙述:①既是矩形又是菱形的四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。正确的是_______
13、在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②OA＝OB＝OC＝OD；③OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD；④OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD。不能判定四边形ABCD是正方形的是____
14、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件 时，四边形BEDF是正方形．
(14题) (15题) (16题)
15、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是_______．
16、如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是_______．
17、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，
则四边形EFGH的面积是_____
(17题) (18题) (19题)
18、如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，
则点F的坐标为___________．
19、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
三、解答题
20、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
21、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F，求证：AM＝EF.
22、如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
23、已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
24、如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
25、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
26、以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，
试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
9.4矩形、菱形、正方形(5)-苏科版八年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、下列说法不正确的是( D )
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( C )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C )
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
4、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
6、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( B )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7、如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( D )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
8、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是( )
A．AB B．DE C．BD D．AF
9、如图，在正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝( A )
A．6 B．4 C．3 D．2
10、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，∵∠ABE＝∠DCE, ∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，故②正确；
∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：B．
二、填空题
11、▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，
使得▱ABCD为正方形．
解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，
当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形． 故答案为：∠BAD＝90°．
12、下列叙述:①既是矩形又是菱形的四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。正确的是__ ①②③_____
13、在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②OA＝OB＝OC＝OD；③OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD；④OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD。不能判定四边形ABCD是正方形的是_①②④ ___
14、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件 ∠ABC＝90° 时，四边形BEDF是正方形．
15、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是___45°______．
16、如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是__3 cm______．
17、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，
则四边形EFGH的面积是__34 ___
18、如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，
则点F的坐标为____ (－1，5) ________．
19、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．
三、解答题
20、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∵△ADE为正三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°.
在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE(SAS)，∴BE＝CE
(2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°.
同理：∠CED＝15°，∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°
21、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F，求证：AM＝EF.
证明：连接MC，在正方形ABCD中，∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，
又DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，∴AM＝CM.
∵ME∥CD，MF∥BC，∴四边形CEMF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴▱CEMF是矩形，∴EF＝MC.
又∵AM＝CM，∴AM＝EF
22、如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.
∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.
又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形
23、已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，∴四边形FECD为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴四边形FECD是菱形，
又∵∠C＝90°，∴平行四边形FECD是正方形；
（2）∵四边形FECD是正方形，∴∠CDE＝45°，
∵，∴CE＝CD＝ED•sin45°＝2×＝2，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，∴BD＝．
24、如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
解：（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠COD+2∠COF＝180°，∴∠COD+∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°,∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；
理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
25、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝∠AEC＝×60°＝30°.
又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.
∵四边形ABCD是菱形∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
26、以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，
试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中， ，∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．
则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；
（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．
9.4矩形、菱形、正方形(5)-苏科版八年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
4、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
(4题) (5题) (6题) (7题)
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
6、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7、如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
8、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是( )
A．AB B．DE C．BD D．AF
(8题) (9题) (10题)
9、如图，在正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝( )
A．6 B．4 C．3 D．2
10、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
二、填空题
11、▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，
使得▱ABCD为正方形．
12、下列叙述:①既是矩形又是菱形的四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。正确的是_______
13、在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②OA＝OB＝OC＝OD；③OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD；④OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD。不能判定四边形ABCD是正方形的是____
14、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件 时，四边形BEDF是正方形．
(14题) (15题) (16题)
15、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是_______．
16、如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是_______．
17、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，
则四边形EFGH的面积是_____
(17题) (18题) (19题)
18、如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，
则点F的坐标为___________．
19、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
三、解答题
20、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
21、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F，求证：AM＝EF.
22、如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
23、已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
24、如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
25、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
26、以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，
试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
9.4矩形、菱形、正方形(5)-苏科版八年级数学下册 培优训练（答案）
一、选择题
1、下列说法不正确的是( D )
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( C )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C )
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
4、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )
A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
6、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( B )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7、如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( D )
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
8、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是( )
A．AB B．DE C．BD D．AF
9、如图，在正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G.过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH＝3，则S△ADF＝( A )
A．6 B．4 C．3 D．2
10、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，∵∠ABE＝∠DCE, ∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，故②正确；
∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：B．
二、填空题
11、▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，
使得▱ABCD为正方形．
解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，
当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形． 故答案为：∠BAD＝90°．
12、下列叙述:①既是矩形又是菱形的四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。正确的是__ ①②③_____
13、在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，有下列条件：①OA＝OC，OB＝OD；②OA＝OB＝OC＝OD；③OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD；④OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD。不能判定四边形ABCD是正方形的是_①②④ ___
14、如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件 ∠ABC＝90° 时，四边形BEDF是正方形．
15、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是___45°______．
16、如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是__3 cm______．
17、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，
则四边形EFGH的面积是__34 ___
18、如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，
则点F的坐标为____ (－1，5) ________．
19、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．
解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．
三、解答题
20、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∵△ADE为正三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°.
在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE(SAS)，∴BE＝CE
(2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°.
同理：∠CED＝15°，∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°
21、如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F，求证：AM＝EF.
证明：连接MC，在正方形ABCD中，∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，
又DM＝DM，∴△ADM≌△CDM，∴AM＝CM.
∵ME∥CD，MF∥BC，∴四边形CEMF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴▱CEMF是矩形，∴EF＝MC.
又∵AM＝CM，∴AM＝EF
22、如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.
∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.
又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形
23、已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．
（1）求证：四边形EFCD是正方形；
（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，
∵EF∥DC，∴四边形FECD为平行四边形，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴四边形FECD是菱形，
又∵∠C＝90°，∴平行四边形FECD是正方形；
（2）∵四边形FECD是正方形，∴∠CDE＝45°，
∵，∴CE＝CD＝ED•sin45°＝2×＝2，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，
∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，∴BD＝．
24、如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
解：（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴2∠COD+2∠COF＝180°，∴∠COD+∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°,∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；
理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
25、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.
又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝∠AEC＝×60°＝30°.
又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，
∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.
∵四边形ABCD是菱形∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
26、以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，
试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中， ，∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．
则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；
（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．
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