2021年中考数学考前小题抢分王：13直角三角形的边角关系（含解析）

这是一份2021年中考数学考前小题抢分王：13直角三角形的边角关系（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题等内容，欢迎下载使用。
1．sin60°的相反数是( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1

3. 如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),3) D．3
4. 如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1，若OC∥BA，∠AOC＝36°，则( )
A. 点B到AO的距离为sin54° B. 点B到AO的距离为tan36°
C. 点A到OC的距离为sin36°sin54° D. 点A到OC的距离为cs36°sin54°

5. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100 m，点A、D、B在同一直线上，则A、B两点的距离是( )
A. 200 m B. 200eq \r(3) m C. 200eq \r(3) m D. 100(eq \r(3)＋1) m
6. 轮船从B处以每小时50海里速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是________海里．( )
A．25eq \r(3) B. 25eq \r(2) C．50 D. 25

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
7. 计算：tan45°＋eq \r(2)cs45°＝________．
8. tan60°＝________．
9. 如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为______cm(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
10. 如图所示，某河堤的横断面梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13 m且tan∠BAE＝eq \f(12,5)，则河堤的高BE为____m.

11. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡起点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是________cm.
三、计算题(本大题共3小题，共16分)
12. (4分)计算：(π－3)0＋eq \r(18)－2sin45°－(eq \f(1,8))－1. 13．(4分)计算：(eq \f(1,2))－1＋2sin30°－eq \r(9).
14. (8分)如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向(点A、B、C在同一水平面上)，请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离(结果精确到1米)．
(参考数据：sin25 ≈0.422 6，cs25°≈0.906 3，tan25°≈0.466 3，sin65°≈0.906 3，cs65°≈0.422 6，tan65°≈2.144 5)
参考答案
1. C 解析：因为sin 60°＝eq \f(\r(3),2)，所以sin 60°的相反数是－eq \f(\r(3),2)，故选C.
2. C 解析：在Rt△ABC中，sin A＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(1,2)，∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°，∴sin B＝eq \f(\r(3),2).
3. A 解析：∠ACB是网格中两条直角边长分别为2和6的直角三角形的一个内角，根据正切的定义，可得tan∠ACB＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选A.
4. C 解析：在Rt△ABO中，OC∥BA，∠AOC＝36°，∴∠BAO＝36°，∠OBA＝54°，
如图，作BE⊥OC，BO＝sin∠BAO·AB＝sin36°·AB，而BE＝sin ∠BOE·OB，∵AB＝1，∴BE＝sin 36°sin54°，即点A到OC的距离为sin36°sin54°，故选C.
5. D 解析：由题意可知，∠A＝30°，∠B＝45°，在Rt△ACD中，tanA＝eq \f(CD,AD)，可得AD＝100eq \r(3)，在Rt△CDB中，tanB＝eq \f(CD,BD)，可得BD＝100 m，所以AB＝AD＋DB＝100(eq \r(3)＋1) m.
6. D 解析：由题意知∠ACB＝30°＋60°＝90°，∠CBA＝75°－30°＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵BC＝50×0.5＝25，∴AC＝BC＝25(海里)．
7. 2 解析：tan 45°＋eq \r(2)cs 45°＝1＋eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
8. eq \r(3) 解析：tan 60°＝eq \r(3)
9. 2.7 解析：记刻度尺上“0”刻度相应的点为点D，
∵BC∥OA，∴∠DBO＝∠AOB＝45°，∠DCO＝∠AOC＝37°.
又∵∠BDO＝90°，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝BD＝2.
在Rt△OCD中，tan ∠DCO＝eq \f(OD,CD)，∴tan 37°＝eq \f(OD,CD)≈0.75，
∴CD≈2÷0.75≈2.7.
10. 12 解析：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，设AE＝5a(a＞0)，则BE＝12a，又(5a)2＋(12a)2＝132，所以a＝1，所以BE＝12 m.
11. 240 解析：根据题意构造三角形，
如图所示，在Rt△BDC中，AD＝60 cm，BD＝60 cm，∠D＝90°，设计斜坡的坡度i＝1∶5，
即BC∶CD＝1∶5，所以CD＝300 cm，AC＝CD－AD＝240 cm.
12. 解：原式＝1＋3eq \r(2)－2×eq \f(\r(2),2)－8(3分)＝1＋3eq \r(2)－eq \r(2)－8(2分)＝2eq \r(2)－7.(4分)
13. 解：原式＝2＋2×eq \f(1,2)－3(5分)＝0.(4分)
14. 解：过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°.(2分)
在Rt△ACD和Rt△BCD中，
设AC＝x，则AD＝xsin 65°，BD＝CD＝xcs 65°.(2分)
∴100＋xcs65°＝xsin65°.(10分)∴x＝eq \f(100,sin65°－cs65°)≈207(m)．
∴湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离为207 m．(8分)