2021年中考数学考前小题抢分王：35二次函数（含解析）

这是一份2021年中考数学考前小题抢分王：35二次函数（含解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2
2．已知二次函数y＝－eq \f(1,2)x2－7x＋eq \f(15,2)，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3
4．已知抛物线y＝k(x＋1)(x－eq \f(3,k))与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(－1，1)，(2，－1)两点．下列关于这个二次函数的叙述正确的是( )
A．当x＝0时，y的值大于1 B．当x＝3时，y的值小于0
C．当x＝1时，y的值大于1 D．y的最大值小于0
6．如图，抛物线y1＝a(x＋2)2－3与y2＝eq \f(1,2)(x－3)2＋1交于点A(1，3)，
过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，y2－y1＝4；④2AB＝3AC.
其中正确结论是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题(本大题共2小题，每小题4分，共8分)
7．将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式______．
8．如果抛物线y＝(4＋k)x2＋k的开口向下，那么k的取值范围是______．
三、解答题(本大题共2小题，共28分)
9．(12分)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，k)．
(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围．
10．(16分)如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
(1)求点B的坐标；
(2)求经过点A、O、B抛物线的解析式．
参考答案
1. B 解析：直接运用“左加右减，上加下减”的平移规律，抛物线向右平移2个单位后，抛物线的解析式为y＝(x－2)2－4，再向上平移2个单位后，抛物线的解析式为y＝(x－2)2－2，故选B.
2. A 解析：∵a＝－eq \f(1,2)＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x的增大而减小．∵－eq \f(b,2a)＝－eq \f(－7,2×（－\f(1,2)）)＝－7，∴抛物线的对称轴为直线x＝－7，∵－7＜0＜x1＜x2＜x3，∴y1＞y2＞y3.
3. D 解析：函数y＝|ax2＋bx＋c|的图象如图所示，当0＜k＜3时，|ax2＋bx＋c|＝k有4个不相等的实数根；当k＞3时，|ax2＋bx＋c|＝k有2个不相等的实数根，故选D.
4. C 解析：令y＝0，则k(x＋1)(x－eq \f(3,k))＝0，解得x1＝－1，x2＝eq \f(3,k)，设A点坐标 为(－1，0)，则B点的坐标为(eq \f(3,k)，0)．
当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)，AC＝eq \r(OA2＋OC2)＝eq \r(10).
(1)k＞0时，有以下3种情况：①当AC＝BC时，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，且AO＝BO，即1＝eq \f(3,k)，解得k＝3；②当AB＝BC时，AB2＝BC2＝BO2＋CO2，即(eq \f(3,k)＋1)2＝(eq \f(3,k))2＋32，解得k＝eq \f(3,4)；③当AB＝AC时，AB2＝AC2，即(eq \f(3,k)＋1)2＝10，解得k＝eq \f(1＋\r(10),3)(k＞0，舍去k＝eq \f(1－\r(10),3))．
(2)k＜0时，点B只能在点A的左侧．只有当AB＝AC时，△ABC可构成等腰三角形，∴－eq \f(3,k)－1＝eq \r(10)，解得k＝eq \f(1－\r(10),3)，综上可知，当k1＝3，k2＝eq \f(3,4)，k3＝eq \f(1＋\r(10),3)，k4＝eq \f(1－\r(10),3)时，△ABC为等腰三角形，故能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是4.
5. B 解析：本题考查二次函数的图象性质，难度中等．由图象可知抛物线开口向下，点(－1，1)在对称轴的右侧，而在对称轴右侧图象呈下降趋势，y随x增大而减小，故当x＝0，1时对应的函数值都小于1，排除A，C；由图象知函数的最大值应大于1，排除D；因为(2，－1)在函数图上且在对称轴右侧，故当x＝3时，函数值y小于－1，即y小于0，故选B.
6. D
7. y＝x2＋x－2 解析：直接运用图象的平移规律“左加右减，上加下减”，抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位长度后所得新抛物线的表达式是y＝x2＋x－2.
8. k＜－4 解析：因为y＝(4＋k)x2＋k的图象为抛物线，且开口向下，所以4＋k＜0，即k＜－4.
9. (1)当k＝－2时，点A(1，－2)，(2分)
设反比例函数的解析式为y＝eq \f(m,x)，∵点A在反比例函数的图象上，
∴将A点坐标代入上式，可得m＝－2，∴y＝－eq \f(2,x).(6分)
(2)要使反比例函数满足y随着x的增大而增大，只需k＜0.(8分)而对于二次函数y＝kx2＋kx－k，其对称轴为x＝－eq \f(1,2)，要使二次函数满足y随着x的增大而增大，在k＜0的情况下，即当x＜－eq \f(1,2)时，才能使得y随着x的增大而增大．
综上所述，需满足的条件是k＜0，且x＜－eq \f(1,2).(12分)
10. (1)如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝60°，∠CBO＝30°
又∵OA＝OB＝4，
∴OC＝eq \f(1,2)OB＝eq \f(1,2)×4＝2，
BC＝OB·sin 60°＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，
∴点B的坐标是(－2，－2eq \r(3))．(8分)
(2)∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，
将A(4，0)，B(－2，－2eq \r(3))代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋4b＝0，,4a－2b＝－2\r(3))) .(12分)
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(\r(3),6)，,b＝\f(2\r(3),3).))∴此抛物线的解析式为y＝－eq \f(\r(3),6)x2＋eq \f(2\r(3),3)x.(16分)