专题29 空间向量与立体几何（解答题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题29 空间向量与立体几何（解答题）（新高考地区专用）（解析版），共58页。试卷主要包含了如图，在四棱锥中，，， ，，等内容，欢迎下载使用。
专题29 空间向量与立体几何（解答题）
1．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）设点是的中点，求二面角的余弦值．
【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）平面平面，平面平面=AC，平面，，所以平面，因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）因为平面平面，平面平面=AC，平面，，所以平面，因为平面，所以，
以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，，
则，，，
由（1）知是平面的一个法向量，设是平面的法向量，
则有，即，令，则，，所以，
设二面角所成角为，由图可得为锐角，
则．
【名师点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案．
2．在四棱锥中，为直角三角形，且，四边形为直角梯形，且为直角，E为的中点，F为的四等分点且，M为中点且．

（1）证明：平面；
（2）设二面角的大小为，求的取值范围．
【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）取的中点，连接，，，如图所示：

因为，，所以，．
因为四边形为直角梯形，且，，
所以四边形为正方形，即为的中点．
因为，为的中点，所以为的中点．所以．
因为，所以．所以平面．
因为平面，所以．所以平面．
（2）以为原点，，分别为，轴，垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，，，则，，，．
，，，．
设平面的法向量，
则，令，解得，，故．
设平面的法向量，
则，令，解得，，故．
由图知，二面角的平面角为锐角，
所以．故．
3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，E为的中点，F是棱的中点，，底面．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段（不含端点）上是否存在一点M，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．
【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．
【解析】（1）由题意得，，，所以四边形为矩形，
又面，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
设平面的法向量为，，

则，则，则，不妨设，则，
可得，又，可得，
因为直线平面，所以平面．
（2）设平面的法向量为，，，
则，即，不妨设，可得，
设平面的法向量为，，
则，即，不妨设，可得，
因此有，（注：结果正负取决于法向量方向）
于是，所以二面角的正弦值为．
（3）设，
，
由（2）可知平面的法向量为，
，
有，解得（舍）或，
可得，所以．
4．在四棱锥中，平面，，，，，，M是棱的中点．

（1）求异面直线与所成的角的余弦值；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）在棱上是否存在点Q，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】如图，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，

（1），，
所以，即异面直线与所成的角的余弦值为
（2），，
设平面的法向量，则，，
所以可取，设与平面所成的角为，
则，所以与平面所成的角为；
（3）平面的法向量可取，
设，则，
所以，，
设平面的法向量为，则，，
可取，
因为平面与平面所成的锐二面角的大小为60°.
所以，所以，解得或（舍）
所以，所以
5．如图，在正四面体中，点E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，．

（1）求证：直线必相交于一点，且这个交点在直线上；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为，，所以且，故E，F，G，H四点共面，且直线必相交于一点，设，
因为平面，所以平面，
同理：平面，而平面平面，
故平面，即直线必相交于一点，且这个交点在直线上；
（2）取的中点O，则，所以平面，
不妨设，则，，
所以，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，，，设平面的法向量为，由可得，
令，则，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
6．如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，平面，

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为四边形为菱形，所以，
平面，平面，平面，
因为平面平面直线平面，所以；
（2）因为四边形为菱形，所以，
因为平面，所以以O为坐标原点、OA，OB，OF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取CD中点M，连EM，OM，

，，
为正三角形，，
，
，
从而，
设平面一个法向量为，则，即，
令，设平面一个法向量为，
则，即，令，
，因此二面角的余弦值为．
7．如图，在四棱锥中，，， ，，．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）解法1． 因为，平面 ，平面 ，
所以平面 ，
解法2．因为，，，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
平面的法向量为 ， ，
因为 ，平面 ，所以平面；
（2）因为，，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则

所以平面的法向量为 ， 设平面的法向量为，
， ，
所以 ，
令 ，，
设平面与平面所成角为为锐角， 所以．
8．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在；．
【解析】（1）因为四边形为菱形，所以．

因为，为的中点，所以．
因为平面平面，平面平面，所以平面．
因为平面，所以．
（2）连结．因为，为的中点，所以．

由（1）可知平面，所以，．
设，则．如图，建立空间直角坐标系．
所以．
所以，．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则，即，所以
令，则，．于是．
所以．
由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为．
（3）当点是线段的中点时，平面．理由如下：
因为点平面，所以在线段上存在点使得平面等价于．
假设线段上存在点使得平面．设，则．
所以．
由，得．
所以当点是线段的中点时，平面，且．
9．如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为2的正方形，E，F分别为，的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为平面，所以．
因为底面是正方形，所以．
因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）因为底面，所以，．
因为底面是正方形，所以．如图建立空间直角坐标系．

因为，底面为边长为2的正方形，
所以，，，，，，．
则，，．
设平面的法向量，由，可得．
令，则，．所以．
设直线与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【名师点睛】本题考查了面面垂直的判定，核心是要求面面垂直，先考虑线面垂直；同时也考查了线面角的计算方法，核心是要求正弦值，先求余弦值．
10．如图，已知是圆柱的轴截面，、分别是两底面的圆心，是弧上的一点，，圆柱的体积和侧面积均为．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】（1）证明见解析 ；（2） ．
【解析】（1）因为是圆柱的母线，所以平面，
因为平面， 所以，
又是弧上的一点，且是圆的直径，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的体积和侧面积均为，所以，解得，，，
即，，因为，所以，，
设圆柱过点的母线为，以为原点，，，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示；
则，，，；

所以，，，
设平面的法向量为，由，
取，则，，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，由，
取，则，，所以平面的一个法向量为，
所以，
由图中可看出二面角是锐角，故二面角的值为．
【名师点睛】证明面面垂直的方法：（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；
（2）利用性质：（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；
（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于．
11．如图1，正方形，边长为，分别为中点，现将正方形沿对角线折起，折起过程中D点位置记为，如图2．

（1）求证：；
（2）当时，求平面与平面所成二面角的余弦值．
【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取中点O，连，

因为为正方形，所以，
又，所以平面，而平面，所以．
又分别为中点，所以，所以；
（2）因为，所以为等边三角形，，
又，所以，即．
如图建立空间直角坐标系，则，

，平面法向量
设平面法向量，由，，，
，
记平面与平面所成二面角为，则为锐角，所以，
即平面与平面所成二面角的余弦值为．
12．如图所示，四棱柱的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点，分别在棱，上，且满足，，平面与平面的交线为．

（1）证明：直线平面；
（2）已知，，设与平面所成的角为，求的取值范围．
【试题来源】海南省2021届高三年级第二次模拟考试
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图，连接，与交于点．

由条件可知，且，所以，
因为平面，所以平面．因为平面平面，所以．
因为四棱柱的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，
所以，，
又，所以平面，所以平面．
（2）如图所示，以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系．设，因为，所以．
则，．
所以，，．
由（1）可知是平面的一个法向量，而，
所以，
当时，，即．

【名师点睛】求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果．
13．在三棱柱中，，，，平面，是的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【试题来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由平面，平面，得，
又，，故平面，
平面，故平面平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，又，，
故，，，，
，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则， ，
设直线与平面所成的角为，故，
即直线与平面所成角的正弦值为．

14．如图，在平面四边形中，，，，，现把沿折起，使在平面上的射影为，连接、，且．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）平面，平面，，
又，，所以平面，
，所以平面；
（2）在中，，，则，，
在中，，所以，，
中，，，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，
所以，，

由（1）可知为平面的一个法向量，
设平面平的法向量为，则有，
取，得，，
由图可知，二面角为钝角，所以，二面角的余弦值为．
15．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，为线段的中点，过的平面与线段分别交于点．

（1）求证：平面；
（2）若，点G为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】证明：（1）因为，且E为线段的中点，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，所以平面，
又平面平面，所以，
又，且平面平面，平面平面，
所以平面，所以平面；
（2）因为为线段的中点，所以，‘’因为平面平面，所以平面，以E为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系；

则，
则，
设平面的法向量为，则，即
不妨令，可得为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即不妨令，可得为平面的一个法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，
于是有；
所以平面与平面所成角的余弦值为．
16．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，点在棱上．

（1）若平面，求的值；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）连结，因为平面，平面，平面平面，所以．因为底面是正方形，为中点，
所以是的中位线，则．
（2）取的中点为，的中点为，连结，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又，所以为坐标原点．
以为正交基底建立空间直角坐标系．

则，，，，，
从而，，，．
设平面的法向量为，
则，即取，则，，
所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，
则，即取，则，．
所以平面的一个法向量为．所以．
因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
【名师点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
（2）设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
17．在三棱锥中，底面为正三角形，平面平面为上一点，为三角形的中心．

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接并延长交于点，则为中点，连接．如图所示：

因为为正三角形的中心，所以
又，所以因为，为中点，所以
又平面平面，平面平面，所以平面
所以平面平面，所以
又，所以平面．
（2）由平面知，所以 ，所以所以
所以，由（1）知，两两互相垂直，
所以分别以的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
所以， 设平面的法向量为，
则，令可得，则．
由（1）知平面故为平面的法向量，
所以，
由图可知二面角的为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
18．如图，在几何体中，四边形为等腰梯形，且，，四边形为矩形，且，M，N分别为，的中点．

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【试题来源】山西省运城市2021届高三上学期期末（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点Q，连接，，

则，且，
又，且 ，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）由四边形为等腰梯形，且，，
可得，，所以，所以．
因为四边形为矩形，所以，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，即，所以．
因为，所以，所以．
则可建立如图所示的空间直角坐标系，

，所以，
设为平面的法向量，则，即，
取，则为平面的一个法向量，
又为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19．如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上（不含端点）的动点，．

（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，．
因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，
所以截面是平行四边形，则．
因为，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．

（2）解：如图，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，
则，令，得．
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【名师点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过严密推理证明线线平行从而得线面平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解．
20．如图，已知四边形和均为直角梯形，，，且，．．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在平面中，过作于，交于，连，
由题意知，，且，
因为，，故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，故平面．
（2）由题意知平面，在平面内过点作交于，
以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

不妨设，则．
且，，，，
设平面的法向量，则由得
取，得，易知平面的一个法向量为，
，所以二面角的余弦值为．
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．
【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接交于，连接，则为中点，
所以为的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）在中，因为，所以，
取中点，中点，连接，，则，，
因为，，、平面，，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，、平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以，，两两垂直，
如图所示，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，
可得，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，
设平面的法向量为，则，即，取，所以，
所以二面角的余弦值为．

22．如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直， ，90°，，．

（1）求证：平面
（2）当的长为何值时，二面角的大小为60°．
【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见解析；（2）60°．
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，平面，从而．
因为，，平面，所以平面．
（2）如图所示，以点为坐标原点，以、和所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系．过点作于点．
在中，，，所以．
因为，则，
所以，，所以，
所以，所以．设，则，，，．，，，
设平面的法向量．则，即，
令，得．因为平面，，
所以，解得，
所以当时，二面角的大小为60°．

【名师点睛】本题考查空间向量法求二面角．求空间角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出平面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
23．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上．

（1）证明：当时，直线平面；
（2）当平面时，求二面角的余弦值．
【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连结与交于点，连结，，，
，，
，，，
又面，面，平面．

（2）平面，，是的中点，取的中点为，
平面，以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
，
二面角的余弦值为．
24．已知正方体，棱长为2，为棱的中点，为面对角线的中点，如图．

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点分别为，连接，，

因为，分别为，的中点，是正方体，
易得平面，所以；
因为，，，
所以，所以，
所以，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）以为原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系：

连接，，在正方体中，
易知，且为中点，所以．又，所以．
因为，平面，平面，所以平面，
故为平面的一个法向量；由是正方体，得平面，
故为平面的一个法向量，因为，，，
所以，，
所以，
则平面与平面所成锐二角面的余弦值为．
25．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，点在线段上．

（1）当点为中点时，求证：∥平面；
（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求点M在线段EC上的位置．
【试题来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）点为中点．
【解析】（1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，所以．所以，
又是平面的一个法向量．因为即，
平面，所以∥平面；
（2）设，则，又，
设，则，即．
设是平面的一个法向量，则，
取得，此时显然时不符合，则，即，
又由题设，是平面的一个法向量，
所以，解得，即点为中点．
【名师点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．
26．如图所示，在多面体中，，，，四边形为矩形，平面平面，．

（1）证明：平面；
（2）若二面角正弦值为，求的值．
【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点为，连接，
因为且，
四边形为平行四边形，所以且，
因为四边形为矩形，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
且平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，所以平面平面，
因为平面，所以平面．

（2）由面面，知，平面，
故，，两两垂直，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，
设平面的法向量为，，则，
设平面的法向量为，，则．
，
27．如图，在直角梯形中，，，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面．

（1）求二面角的正弦值；
（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由．
【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考
【答案】（1）；（2）不存在点，证明见解析．
【解析】（1）取的中点，由题意可得四边形是正方形，则，，
因为平面平面，平面平面，
平面，平面，所以平面，平面，
所以，可得两两垂直，以为原点，、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，
则，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，设平面的一个法向量为，
，，则，
令可得，，所以，记二面角的平面角为，
则，所以，
所以二面角的正弦值为．
（2）假设直线上存在点，使得平面，
不妨设，所以，
因为，由得，无解，
故不存在点，使平面．
28．如图所示，已知直棱柱的底面四边形是菱形，点，，，分别在棱，，，上运动，且满足：，．

（1）求证：平面；
（2）是否存在点使得二面角的正弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【试题来源】湖北省（B4联考新高考调研）部分省级示范性重点中学2020-2021学年高三上学期统一质量检测
【答案】（1）见解析；（2）存在，．
【解析】设，则，，故，
因为底面四边形是菱形，故，设，则为的中点，
设的中点为，连接，则，
由直棱柱可得平面，故平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
（1），，
故为共线向量， 不共线，故，
而平面，平面，故平面．
（2）设平面的法向量为，平面的法向量为，
，，
则，取，则，故，
又，取，则，故，
二面角的正弦值为，故二面角的余弦值的绝对值为，
故，解得或(舍)，
故存在使得二面角的正弦值为．且．
29．如图，平面，，，，，点为的中点．

（1）求证：平面；
（2）若二面角大小为，求直线与平面所成的角的正弦值．
【试题来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取中点，连接交于点，可知点 为的中点，

在三角形中，又因 ，可得，平面，
平面，所以平面；
（2）如图建立坐标系，设，则，，，，，，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为
可得，所以可取
可得，所以可取
，计算得
因为，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
30．在三棱锥中，平面平面ABC，．

（1）证明：平面ABC；
（2）已知Q，M，N分别为线段PA、PB、BC的中点，求直线MN与平面QAC所成角的正弦值．
【试题来源】浙江省金华十校2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取AB中点D，连接PD，DC
因为，，则，，
而，所以平面PDC，
因为平面，故．
在中，，故，所以．
因为平面平面，且交线为AC，平面，
所以平面，因为平面，故．
因为，所以平面．

（2）如图建立空间直角坐标系，

设，则，，，，
，，．设平面QAC的一个法向量为，
因为，，由，故，
取，可得，又，
所以，
所以直线MN与平面QC所成角的正弦值为．
31．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，E为BC的中点，设Q为PC上一点．
（1）求证：；
（2）若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．

【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由题意得四边形是正方形，，
又平面ABCD，所以．
又，所以平面PAC，所以．
（2）设，连接OQ，由（1）得平面PAC，
所以为EQ与平面PAC所成的角，
所以，因为，所以，所以Q为PC的中点，
以A为原点，AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

所以，，，，，，
设平面AEQ的一个法向量为，所以，所以，
令，所以，，所以
易得平面ACQ的一个法向量为，
所以，所以二面角的余弦值为．
32．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为上一点，过作与平行的平面，分别交，于点，．

（1）证明：平面；
（2）若为的中点，，直线与平面所成角为60°．求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【试题来源】山东省泰安市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接，交于点，连接．
因为平面，平面平面，平面，所以．
因为底面是菱形，所以，且为，中点，
又，所以，又，平面，
所以平面，所以平面．

（2）因为，所以，
由（1）知，，平面，
所以平面，所以．
因为，所以，，
又，，所以．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

所以，，，，，设平面的一个法向量为，则，
所以．令，解得，所以．
设平面的一个法向量为，则，所以．
令，解得，所以，所以，，．
所以．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
33．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为正三角形，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）若点在棱上，且平面，求平面与平面所成的锐角的余弦值．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）为正三角形，为的中点，．
为的中点．
所以，所以四边形为平行四边形，．
又，即．又平面．

（2）连接，交于点，连接．
平面平面，平面平面．
，为的中点．所以四边形为平行四边形，
为的中点，为的中点，
平面平面，平面平面，
平面，平面．
设，则．分别以直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
．设为平面的一个法向量，
由得，取，则．
又，设为平面的一个法向量，
由得，取，则．
设平面与平面所成的锐角为，则
．
故平面与平面所成的锐角的余弦值为．
34．在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角正弦值为，求直线与平面所成角的余弦．

【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】（1）连接，因为平面，平面，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以平面平面；

（2）因为，，所以，即，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
因为二面角正弦值为，所以二面角的余弦值为，
因为平面，平面，故，
因为，所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成角，
所以，所以直线与平面所成角的余弦为.
35．在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面．

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图示：分别取，的中点，，连结，，，
因为，△均为全等的等边三角形，故，且，
因为平面平面且交于，平面平面且交于，
故面，面，从而有，
又，进而得四边形为平行四边形，得，
又，即.

（2）连结，由为等边三角形，故，结合面，故分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系

又，所以，，
则，，，，
所以，，
令平面的一个法向量为，
所以取，，，
所以平面的一个法向量为
同理可求平面的一个法向量为
令二面角为，由题意可知为锐角，
则
所以二面角的余弦值为.
36．如图，矩形中，，将矩形折起，使点与点重合，折痕为，连接、，以和为折痕，将四边形折起，使点落在线段上，将向上折起，使平面⊥平面，如图2．

（1）证明：平面⊥平面；
（2）连接、，求锐二面角的正弦值．
【试题来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟（二）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在平面ABCD中，AF=FC，BF+FC=AB，
设，则，设BF=x，
在中，，解得，则，
因为点B落在线段FC上，所以，所以，
又即，，平面ABE，
所以平面ABE，由平面EFC可得平面ABE⊥平面EFC；
（2）以为原点，为x轴，过点F平行BE的方向作为作y轴，过点F垂直于平面EFC的方向作为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，
易得平面ABE的一个法向量为，
作于， 因为平面DEC⊥平面FEC，所以平面，
则，，，
设平面DBE的一个法向量为，
则，令则，
因为，
所以锐二面角A-BE-D的正弦值为．