专题19 椭圆（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题19 椭圆（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共46页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题19 椭 圆（客观题）
一、单选题
1．如图，椭圆的右焦点为分别为椭圆的上､下顶点，是椭圆上一点，，记椭圆的离心率为，则

A． B．
C． D．
【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】B
【解析】，则，所以直线，与椭圆方程联立，所以点的横坐标是，，
即，，
整理为，两边同时除以得，
，，所以，得，
或（舍）．故选B．
2．已知椭圆，点在椭圆上，以为圆心的圆与轴相切与椭圆的焦点，与轴相交于，，若为正三角形，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】D
【解析】不妨设在第一象限，以为圆心的圆与轴相切于椭圆右焦点，
则，又在椭圆上，则，圆的半径，
为正三角形，，
，即，解得．故选D．
【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，求解离心率的关键是能够通过图形中的长度关系构造出关于的齐次方程，利用齐次方程配凑出离心率，解方程求得结果．
3．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期期中（理）
【答案】B
【解析】设椭圆的左焦点为，
因为，所以四边形为为矩形，所以
因为，所以
由椭圆的定义得，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，故选B.
【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
4．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】C
【解析】连接A，B与左右焦点F，的连线，由，
由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，，在三角形中，，
所以，即
即，可得，所以椭圆的离心率，故选C．
【名师点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；
（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果．
5．已知是椭圆（）上一点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】A
【解析】由题可设，，，
则，，，两式相减可得，即，，，，故选A.
【名师点睛】（1）该题来自椭圆的一个小结论：若椭圆方程为，是该椭圆上关于原点对称的两点，为椭圆上异于的任意一点，则为定值，为．（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为
A．12 B．
C．11 D．18
【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二
【答案】A
【解析】由题意得，根据椭圆的定义可得，
所以，又圆，变形可得，即圆心，半径，所求的最大值，即求的最大值，
，如图所示：

当共线时，有最大值，且为，
所以的最大值为，
所以的最大值，即的最大值为11+1=12，故选A
7．已知､分别为椭圆：的左､右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】A
【解析】由已知得、，设椭圆上动点，
则利用两点连线的斜率公式可知，，

设直线方程为，则直线方程为，根据对称性设，
令得，，即，，则
设与的外接圆的半径分别为，，
由正弦定理得，，
又，
，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为故选A
8．若点到两定点，的距离之和为2，则点的轨迹是
A．椭圆 B．直线
C．线段 D．线段的中垂线．
【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文）
【答案】C
【分析】根据到的距离之和正好等于，可得的轨迹．
【解析】，，，因为点到两定点，的距离之和为2，的轨迹是线段，故选C．
9．已知椭圆经过点，则椭圆的标准方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（理）
【答案】B
【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程．
【解析】因为椭圆经过点，所以，且焦点在x轴上，
所以椭圆的方程为，故选B.
10．关于，的方程表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为
A． B．
C．且 D．或
【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III理数试题
【答案】B
【分析】根据椭圆的方程可得，求出的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解．
【解析】若方程表示的曲线为椭圆，
则有，所以且，故选项A和D非充分条件，选项C为充要条件，选项B为充分不必要条件，故选B．
11．已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为
A． B．2
C．或2 D．或
【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理）
【答案】A
【分析】由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．
【解析】因为1，m，9构成一个等比数列，所以m2=1×9，则m=±3．
当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；
当m=﹣3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故舍去，则离心率为．故选A．
12．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
【答案】C
【解析】在椭圆中，，，，
如下图所示：

因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，
，为等边三角形，则，即，
因此，．故选C．
13．已知椭圆：的左､右焦点分别为､，是椭圆的上顶点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】A
【解析】由题设知，，，所以直线的方程为，联立得，，设直线与轴交于点，则，，
因为，所以，即，
所以，即，所以，故选A.
14．已知为正六边形，若A、D为椭圆W的焦点，且B、C、E、F都在椭圆W上，则椭圆W的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测
【答案】A
【分析】设正六边形的边长为1，则，由，可得，从而可得椭圆的离心率．
【解析】设正六边形的边长为1，如图
由A、D为椭圆W的焦点，则在椭圆中，，由B、C、E、F都在椭圆W上，则在直角三角形中，，
由椭圆的定义可得，则，
所以，故选A.

15．椭圆的上、下焦点分别为、，过椭圆上的点作向量使得，且为正三角形，则该椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文）
【答案】D
【分析】根据为正三角形得到点必在轴上，即可求出，再根据，即可求出点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率．
【解析】为正三角形，点必在轴上，且，
，又，，
又点在椭圆上，，化简得，
解得，又，．故选D．
16．已知曲线：，则以下判断错误的是
A．或时，曲线一定表示双曲线
B．时，曲线一定表示椭圆
C．当时，曲线表示等轴双曲线
D．曲线不能表示抛物线
【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理）
【答案】B
【解析】对：，当，即或时，曲线表示双曲线，
当时，：表示等轴双曲线，因为无论取何值，曲线方程均只含，项与常数项，因此A，C，D正确；当时，：表示圆，B错误．选B．
17．已知点是椭圆：上一点，，分别是圆和圆上的点，那么的最小值为
A．15 B．16
C．17 D．18
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（理）
【答案】D
【解析】如图，椭圆：的，所以，

故圆和圆的圆心为椭圆的两个焦点，
则当，为如图所示位置时，最小，
值为，故选D．
18．椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则
A．椭圆的短轴长为 B．椭圆的长轴长为4
C．椭圆的焦距为4 D．
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考
【答案】B
【分析】由离心率可求出，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．
【解析】由椭圆的性质可知，椭圆的短轴长为，圆的离心率，则，即，，所以椭圆的长轴长，椭圆的焦距，故选B．
19．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为
A．1 B．2
C．4 D．5
【试题来源】河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试（文）
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得是的中位线， ，可得Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项．
【解析】因为P是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点M，所以，
，
所以由题意得是的中位线，所以，
所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，
Q与短轴端点取最近距离故选A．

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理）
【答案】A
【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，，
由，代入椭圆方程得，设，，由，
可得，即，即，，
所以，，代入椭圆得，，由得，
解得，由，所以．故选A．
21．已知抛物线的准线与椭圆相交的弦长为，则
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七）
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，设其与椭圆相交于，两点，，
不妨设，根据对称知，代入椭圆方程解得或（舍去），
，故选C．
22．椭圆的左、右焦点为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考
【答案】D
【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可．
【解析】椭圆的左、右焦点为，，
过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，
可得，所以：，即，
因为，解得，故选D．
23．椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，，则离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研
【答案】C
【分析】根据，可得四边形为矩形，设，根据椭圆的定义以及勾股定理可得，再分析的取值范围，
进而求得，再求离心率的范围即可
【解析】设，由，知，
因为，在椭圆上，，
所以，四边形为矩形，；由，可得，
由椭圆定义可得①；平方相减可得②；
由①②得；
令，令，所以，，
即，所以，，
所以，，所以，，
解得，故选C.
24．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A是椭圆短轴的一个顶点，且，则椭圆的离心率
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考
【答案】D
【分析】依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得，再根据离心率公式计算即可．
【解析】设椭圆的焦距为，
则椭圆的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为，
依题意，不妨设点A的坐标为，在中，由余弦定理得
，
，，，
解得．故选D．
25．已知A､B为椭圆的左、右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交于M点，与y轴交于E点，若直线BM经过OE中点，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校2020-2021学年高三上学期期末
【答案】C
【分析】根据已知条件求出三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出可得答案．
【解析】由题意可设，设直线的方程（由题知斜率存在）为，令，可得，令，可得，设的中点为，可得，由三点共线，可得，即，即为，可得，故选C．

26．已知命题：表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，命题：表示椭圆，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是
A． B．
C．且 D．且
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）
【答案】C
【解析】对于命题表示焦点在轴的正半轴上的抛物线，所以，
对于命题表示椭圆，所以，解得且，
因为命题“”为真命题，所以命题和命题均为真命题，
所以实数的取值范围是且．故选C．
27．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则
A． B．
C． D．与大小不确定
【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】B
【分析】作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系．
【解析】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：因为是的内心，设内切圆的半径为，

所以，所以，
所以，因为是的重心，所以，
所以，所以，故选B．
28．已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD-LP367】【数学】
【答案】C
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为， 椭圆和双曲线的离心率分别为和，，，
由椭圆和双曲线的定义可知，，，
因为，由余弦定理得，
所以，且，
所以，即，则，
由柯西不等式得，
所以，当且仅当，时，等号成立．故选C
29．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为

A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】A
【解析】如下图，连接，设，则，

因为，，所以，，
在△中，，所以，
即，整理得，
所以，
所以直线的斜率为．故选A．
30．已知是椭圆上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试
【答案】A
【解析】如图所示，设是中点，则，，
因为，所以，所以，

因为，所以．由椭圆的定义得，
所以．故选A
二、多选题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆与坐标轴分别交于，，，四点，且从，，，，，这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆的离心率的可能取值为
A． B．
C． D．
【试题来源】湘鄂部分重点学校2020-2021学年高三上学期11月联考（理）
【答案】BC
【分析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以、，作为三角形的三个顶点；以、、作为三角形的三个顶点或以、、作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以、、的齐次式，化简求离心率．
【解析】①如图，若以、，作为三角形的三个顶点，则，
由勾股定理可得，，由，可得，
即，因为，解得；

②如图，若以、、作为三角形的三个顶点，
则，故，则；

③如图，若以、、作为三角形的三个顶点，
则，，则；故选BC．

2．已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，，，，…组成公差为的等差数列，则
A．的面积最大时，
B．的最大值为8
C．的值可以为
D．椭圆上存在点，使
【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】ABC
【解析】由椭圆，当点为短轴顶点时，最大，的面积最大，此时，此时角为锐角，故A正确、D错误；
椭圆上的动点，，即有，又椭圆上至少有21个不同的点，，，，…组成公差为的等差数列，所以最大值8，B正确；
设，，，…组成的等差数列为，公差，则，，又，所以，所以，所以的最大值是，故C正确．故选ABC
【名师点睛】由椭圆性质知在椭圆上的点中，与焦点构成的三角形面积、以该点为顶点的角最大时，点在短轴端点上；且，进而可得的范围．
3．椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测（理）
【答案】AC
【解析】设，，，则，，
，．
因为
恒成立，所以离心率．故选AC
【名师点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由转化为坐标的关系，进而可得到的关系，考查计算能力，属于中档题
4．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是
A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为
【试题来源】海南省2020届高三高考数学五模试题
【答案】AD
【解析】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，所以的范围是，
所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，
因为，所以，
所以不是直角三角形，C不正确；
将与椭圆方程联立，解得，，
所以，D正确．故选AD.
5．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，直线与交于A，B两点，轴，垂足为，直线BE与的另一个交点为，则下列结论正确的是
A．四边形为平行四边形 B．
C．直线BE的斜率为 D．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二）
【答案】ABC
【解析】

A选项：根据对称性，如上图有，所以，即，则，，所以四边形为平行四边形；A正确．

B选项：由余弦定理，，，由直线中存在故，
所以，令，则，所以，， ，即；B正确．

C选项：若，则，，所以直线BE的斜率为；C正确．

D选项：由上可设，联立椭圆方程，整理得，若，则，即，，所以直线的斜率为，故，即，故D错误．故选ABC．
三、填空题
1．点P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1．当点P在第一象限时，它的纵坐标为__________．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理）
【答案】
【分析】椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出，建立关于的关系式求解．
【解析】因为，，所以；因为，所以．故答案为
【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a等．
2．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为__________．
【试题来源】上海市奉贤区2021届高三上学期一模
【答案】
【解析】利用椭圆定义，，可知，即.
3．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为__________．
【试题来源】广西北海市北海中学2021届高三12月考试（理）
【答案】
【解析】设，则，，由，
得，，在中，，
又在中，，得
故离心率．故答案为
4．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）
【答案】
【解析】由题意知，，所以直线的斜率为，
设，，则①，②，
①-②得，即，
因为是的中点，所以，，
所以，所以，
因为，所以，即，所以，
所以，所以，所以，故答案为
【名师点睛】本题的关键点是利用点差法设设，，则，，两式相减得，是的中点，所以
，，可得，再计算，
利用结合即可求离心率．
5．已知椭圆的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为__________．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题
【答案】
【解析】如下图所示，设椭圆的左、右焦点分别为、，
设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为，则，，
由勾股定理可得，

由椭圆的定义可得，即，
所以，该椭圆的离心率为．故答案为．
6．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）
【答案】
【解析】由可得，，即，
则，解得或（舍），故答案为
7．已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，轴，为垂足，若(为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为__________．
【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】
【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据，得到P的横坐标为，设，分别利用椭圆和双曲线的定义求得，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解．
【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，所以，即P的横坐标为，
设，由椭圆的定义得，由双曲线的定义得，
联立解得，设椭圆和双曲线的离心率分别为，
由椭圆的第二定义得，解得，
由双曲线的第二定义得，解得，
又，则，，所以，故答案为
8．已知F为椭圆的左焦点，定点，点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为__________．
【试题来源】湖南省长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试
【答案】9
【分析】设椭圆的右焦点为，再利用数形结合分析求解．
【解析】设椭圆的右焦点为，
．

【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法．要根据已知条件，灵活选择方法求解．
9．椭圆：，以原点为圆心，半径为椭圆的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于，，的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率．
【解析】如图所示，过点作，则，

由题意可得，，即，又由可得，
，整理可得，
因为，所以，解得，
因为，所以．故答案为．
10．如图，过原点O的直线AB交椭圆C：（a＞b＞0）于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP，AQ分别交椭圆C于点P，Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是__________．

【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】
【分析】设，，根据已知条件得、、的坐标，、B，M，Q三点共线，以及，由，在椭圆上有，联立所得方程即可求离心率．
【解析】设，，则，，，
由，则①，
由B，M，Q三点共线，则，即②．
因为，，即，③，
将①②代入③得．
11．已知椭圆的左焦点为，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】四川省眉山市仁寿第二中学2020-2021学年高三上学期第四次诊断（理）
【答案】
【解析】取椭圆的右焦点，连接，，

由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，则，，
，而，所以，所以，
在中，，
解得，故答案为．
【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中，由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，所以，然后在中，根据余弦定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
12．椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则__________．
【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试
【答案】1
【分析】先根据数量积运算得，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得．
【解析】因为且，所以，
由椭圆的定义得，故
所以在中，由余弦定理得，
代入数据得，解得．故答案为．
【名师点睛】解题的关键在于应用定义与余弦定理列方程求解得．
13．已知椭圆的方程为，焦点在轴上，的取值范围是__________．
【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期第二次月考数学（三校生）试题
【答案】
【分析】由椭圆的焦点在轴上，可得，求解即可．
【解析】由椭圆的方程为，焦点在轴上，
可得，所以或，故答案为.
14．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，直线与直线相交于点，且它们的斜率之积为，则的面积的取值范围是__________．
【试题来源】浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】
【分析】首先根据题意得到点在椭圆上，从而得到当点无限靠近，时，的面积趋向，当直线与直线平行，且与椭圆相切于点，此时的面积最大，从而得到答案．
【解析】由题知点与点关于原点对称，所以．
设，因为直线与直线斜率之积为，所以，即．所以点在椭圆上，
将代入，解得，所以，在椭圆上．如图所示：

当点无限靠近，时，的面积趋向，
当直线与直线平行，且与椭圆相切于点，此时的面积最大．
因为，设，
联立①，
，解得，即．
因为，，
直线与直线的距离，，
当直线与椭圆相切时，①式为，解得，
此时直线的斜率不存在，所以的面积的取值范围为．
15．过椭圆上一点P及坐标原点O作直线l与圆交于A，B两点．若存在一点P满足，则实数a的取值范围是__________．
【试题来源】河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）理数试题
【答案】
【分析】将整理化简得结合，
得，即可得，解不等式即可．
【解析】如图所示：
．
因为，所以．
若存在一点P，使得，即，解得．故答案为.

四、双空题
1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，动点与连线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为__________，面积的取值范围是__________．
【试题来源】浙江省杭州高级中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】
【分析】求得N点坐标，根据题意，列出方程，即可求得动点的轨迹方程；根据P在曲线上运动，设平行与MN的椭圆切线方程为，与椭圆联立，根据相切，求得，代入面积公式，即可求得面积最大值，即可得答案．
【解析】因为的坐标为，且，可得，设，
所以，（），由题意得，
整理可得动点的轨迹方程为；
直线MN的斜率，设平行与MN的椭圆切线方程为，
与椭圆联立可得（），即，
，解得，
所以该切线与直线MN的距离，，
所以面积的最大值，
所以随着P在椭圆上运动，的面积取值范围为．
故答案为；．
【名师点睛】解题的关键是根据斜率乘积为列出表达式，进行求解，易错点为斜率必定存在，故，在求面积取值范围时，可联立直线与曲线方程，先求得最大值，再得范围，属中档题．
2．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，则的周长是__________，内切圆面积的最大值是__________．
【试题来源】浙江省温州中学2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】
【分析】根据椭圆的定义求得的周长．将内切圆半径的最大转化为面积最大来求解，结合弦长公式求得面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值，由此求得内切圆半径的最大值，进而求得内切圆面积的最大值．
【解析】根据椭圆定义可知的周长；
在内，，只要求面积最大值即可，
设，，，
则，
于是
，则，等号在时取到．
故答案为；．
3．设椭圆的右焦点为，则的坐标是__________；若为椭圆的右顶点，为椭圆上的动点．则当最小时，点的横坐标是__________．
【试题来源】2020年浙江省新高考名校交流模拟卷（四）
【答案】
【分析】由椭圆标准方程即可得右焦点为的坐标，由， 利用两点距离公式，结合椭圆方程即有，应用导数研究函数的单调性，即可求得其最小值，进而得到横坐标x的值
【解析】由椭圆方程知右焦点的坐标为(1，0)
由题意，知，，令，
则
令，则
当有，即单调递减；
当有，即单调递增，而有
所以当时，有最小值，即最小
故答案为；.
【名师点睛】本题考查了椭圆，根据标准方程求焦点坐标，利用两点距离公式并结合椭圆方程可得关于关于动点横坐标的函数式，应用导数研究其单调性求最值并确定横坐标值
4．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|＝__________，P点的坐标为__________．
【试题来源】【新东方】杭州新东方高三数学试卷259
【答案】2
【分析】求得椭圆的，，，，设椭圆的右焦点为，连接，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径公式，求得的坐标，利用椭圆的定义求解．
【解析】由题意，该椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率，
设椭圆的右焦点为，连接，

线段的中点在以原点为圆心，2为半径的圆，连接，可得，
设的坐标为，由焦半径公式可得，可得，
代入到椭圆方程得，由得，
故答案为2；．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．
5．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过､的直线与圆相切，则直线的斜率__________；椭圆的离心率__________．

【试题来源】浙江省“山水联盟”2020-2021学年高三上学期开学考试
【答案】
【分析】根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率．
【解析】连接，由于是圆的切线，所以．
在中，，
所以，所以，所以直线的斜率．
，
根据椭圆的定义可知．
故答案为；

6．以椭圆的焦点为顶点、长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是__________，离心率为__________．
【试题来源】浙江省湖州中学2020届高三下学期高考模拟测试（四）
【答案】
【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程，进而写出渐近线方程与离心率．
【解析】椭圆的焦点为，长轴顶点为；
则双曲线的顶点为，焦点为，所以，
所以，所以双曲线的方程为，
所以渐近线方程为，离心率为．
故答案为（1）；（2）
【名师点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．
7．经过原点的直线交椭圆于两点（点在第一象限），若点关于轴的对称点称为，且，直线与椭圆交于点，且满足，则直线和的斜率之积为__________，椭圆的离心率为__________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨三中2020届高考数学（理）四模试题
【答案】
【分析】设的坐标，由题意可得的坐标，再由向量的关系求出的坐标，求出，，的斜率表达式；又在椭圆上，将的坐标代入椭圆的方程，化简可得，又在直线上，可得，进而求出的斜率，再由可求出直线和的斜率之积，进而求出离心率．
【解析】设，，则，，
因为，所以，
所以斜率为，斜率为，斜率为
又，在椭圆上，
所以；
所以，
所以，
又，所以，
所以，所以，所以，所以椭圆的离心率为．
8．已知是椭圆上任意一点，是圆的任意一条直径（，为直径两个端点），则的最小值为__________，最大值为__________．
【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020届高三下学期第二次适应性考试
【答案】0
【分析】由题意，所给圆的圆心，半径，得，设，则，且，由平面向量的线性运算得，代入数据后根据二次函数的性质即可求出答案．
【解析】由题意，圆的圆心，半径，
因为是圆的任意一条直径，所以，
设，则，因为点在椭圆上，
所以，则，且，
所以，
因为，所以当时，有最小值，
当时，有最大值，故答案为；．
9．已知椭圆的焦点是，是上（不在长轴上）的两点，且．为与的交点，则的轨迹所在的曲线是__________；离心率为___________．
【试题来源】福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷（三）（理）
【答案】椭圆
【分析】设，则，设表示出，
联立直线与椭圆方程，消元列出根与系数关系，代入消去即可得解；
【解析】设，则，的斜率不为0，可设，
则①，②，
所以，
联立得，得，，
所以，由①②得，所以，
所以整理得，所以的轨迹所在的曲线是椭圆，，故答案为椭圆；．
10．如图所示，已知椭圆E经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在x轴上，离心率e．直线l是的平分线，则椭圆E的方程是__________，l所在的直线方程是__________．

【试题来源】宁夏银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校2020届高三下学期联考（理）
【答案】 ．
【解析】第一空：设椭圆方程为，（a＞b＞0）
因为椭圆E经过点，离心率e，所以e，1，
所以a2＝16，b2＝12，所以椭圆方程E为；
第二空：由椭圆方程可得，，因为，，
所以AF1方程为，AF2方程为x＝2，
设角平分线上任意一点为P（x，y），则．
得或，因为斜率为正，所以直线方程为；
故答案为；．