专题08 基本不等式（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题08 基本不等式（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题08 基本不等式（客观题）
一、单选题
1．已知，且，则的最小值是
A．2 B．6
C．3 D．9
【试题来源】湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（理）
【答案】D
【解析】，
当且仅当，时取等号，故选D．
2．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则
A．3 B．
C． D．
【试题来源】广东省深圳外国语学校2021届高三上学期第二次月考
【答案】D
【解析】因为正实数，满足(其中为正常数)，
所以，则，所以，所以，故选D．
3．已知，则的最小值是
A． B．
C． D．12
【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】C
【解析】，
，
当且仅当 ，又　故时取等号．故选C．
4．已知a>0，b>0，4a+b+2=2ab，则下列不等式一定成立的是
A．a+b≥7 B．a+b≤5
C．2a+b≥7 D．2a+b≤6
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】C
【解析】因为4a+b+2=2ab，所以，因为a>0，b>0，所以，
所以，当且仅当，时，等号成立，故不正确；
，
当且仅当时，等号成立，故正确，不正确．故选C．
5．点、、为直线上互异的三点，点，若（），则的最小值
A．16 B．17
C．18 D．19
【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考
【答案】A
【解析】因为点、、为直线上互异的三点，所以存在实数，使得，
又点，所以，则，
因此，又，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．故选A．
6．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】河南省八市全国百强名校“领军考试”联考2020-2021年第一学期高三（理）
【答案】B
【解析】当时，得，充分性不成立；
当时，由均值不等式可得，当且仅当时取等号，
必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选B．
7．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B．
C．5 D．6
【试题来源】2020届新疆库车县乌尊镇中学高三上学期月考（理）
【答案】C
【解析】由已知可得，
则，
所以的最小值，故选C．
8．五一期间小红父母决定自驾汽车匀速到北京自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，为全程运输成本最小，则汽车的行驶速度为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市2020届高三数学高考考前冲刺模拟试题
【答案】B
【解析】由题可得汽车全程运输成本
，
当且仅当即时，最小．故选B．
9．已知，则的最小值等于
A．3+ B．
C．3 D．
【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研
【答案】B
【解析】因为，所以，则，
所以

，当且仅当，即时，
等号成立；故选B．
10．已知，则的最小值是
A． B．4
C． D．3
【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，
当且仅当，即，时取等号．故选D．
11．设a，，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市海淀区2021届高三上学期期中考
【答案】D
【解析】，，故A错；
，，即，
可得，，故B错；
，，而，则，故C错；
，，，等号取不到，故D正确；故选D．
12．已知，则的最小值为
A．36 B．16
C．8 D．4
【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考
【答案】C
【解析】，，当且仅当时即时等号成立，故的最小值为8．故选C．
13．函数的最大值是
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测（理）
【答案】A
【解析】令，则，
求函数的最大值可化为，时，
，有，当且仅当时“”成立，
综上，，的最大值为，故选．
14．已知实数，满足，则的最小值为
A．2 B．4
C．2 D．6
【试题来源】“皖赣联考”2021届高三第一学期第三次考试 （理）
【答案】D
【解析】依题意
由已知得，即，
，
当且仅当，即时取等号．故选D．
15．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为

A． B．
C． D．
【试题来源】2021届高考数学复习（理）一轮讲练测
【答案】D
【解析】由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，
又OC＝OB－BC＝－b＝，
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D．
16．已知都是正数，且，的最小值
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省杭州高级中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】B
【解析】
，当且仅当时等号成立．故选B．
17．若，，则的最小值为
A．2 B．6
C．9 D．3
【试题来源】河北省沧州市七校联盟2021届高三上学期期中
【答案】D
【解析】因为，，
所以．
当且仅当，即，时取等号．故选D．
18．已知函数，则的值域是
A． B．
C． D．
【试题来源】新疆呼图壁县第一中学2021届高三上学期第二次月考（理）
【答案】B
【分析】考虑和两种情况，根据二次函数性质结合均值不等式计算得到答案．
【解析】当时，；
当时，，当时等号成立．
故函数值域为．故选B．
19．在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，若，则边的最小值为
A． B．
C．2 D．
【试题来源】江西省南昌市新建县第一中学2021届高三第一次月考（文）
【答案】D
【解析】根据由正弦定理可得，
即，，，，
由余弦定理可得．
． 即，
故边的最小值为．故选D．
20．若，设函数 的零点为的零点为，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省射洪中学校2020-2021学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】B
【解析】函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，
函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线对称，
直线与直线垂直，故直线与直线的交点即是，的中点，，，
当等号成立，而，故，
故所求的取值范围是，．故选B．
21．已知正数、满足，则的最小值是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省湖州中学2020-2021学年高三上学期第二次质检
【答案】B
【解析】，，，
由于、为正数，则且，可得．
，
令，可得，
所以，．
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为．故选B．
22．已知，，，则的最小值是．
A．3 B．
C． D．9
【试题来源】江苏省淮安市五校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】A
【解析】，，，所以，即，
则，
当且仅当且即，时取等号，
则的最小值是3．故选A．
23．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为
A．300吨 B．400吨
C．500吨 D．600吨
【试题来源】湖北省宜昌市2019-2020学年高三上学期元月调研考试（文）
【答案】B
【解析】由题意，月处理成本（元）与月处理量（吨）的函数关系为，
所以平均处理成本为，其中，
又由，
当且仅当时，即时，每吨的平均处理成本最低．故选B．
24．已知，，若，则
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
【试题来源】上海市交通大学附属中学2021届高三上学期10月月考
【答案】A
【解析】由题意，可知，，且，
因为，则，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，取得最小值，故选A．
25．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为

A． B．2
C．8 D．
【试题来源】广西南宁市第二中学2021届高三上学期数学（文）10月份考试
【答案】D
【解析】由于甲班成绩的中位数是，乙班成绩的平均数是，结合茎叶图可知，，，解得．由于正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，所以，即．所以．故选D．
26．已知，为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省东阳中学2021届高三暑期第三次检测
【答案】D
【解析】由双曲线定义知，又，故
由双曲线定义知，得，
在中，，
由余弦定理得，即，
，，
当且仅当即时取等号．故选D．

27．已知函数，在R上单调递增，则mn的最大值为
A．2 B．1
C． D．
【试题来源】江苏省无锡市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】D
【解析】由题意可知，函数在R上单调递增，则，解得，
则由基本不等式可得，当且仅当m=n=时取等号．故选D．
28．若向量，相互垂直，则的最小值为
A．6 B．
C． D．12
【试题来源】陕西省咸阳市高新一中2020-2021学年高三上学期第三次质量检测（理）
【答案】A
【解析】因为，所以，即，所以．
则，
当且仅当，取等号，所以最小值为6，故选A．
29．已知函数，且恒成立，那么m的最大值等于
A．8 B．
C． D．2
【试题来源】北京师范大学第二附属中学2021届高三10月月考
【答案】D
【解析】的定义域为，所以，
由得，得或，
因为，所以，所以，即，则，，即，所以，当且仅当时，等号成立，
而当时，，与矛盾，所以基本不等式中的等号取不到，
所以，所以由恒成立，可得，则m的最大值等于．故选D．
30．已知，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过
【答案】D
【解析】令，则且，
所以．
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值．故选D．
【名师点睛】解答本题的关键是换元和化简得到．对于高次或比较复杂的式子，首先要注意观察，尝试换元，化复杂为简单，提高解题效率．
31．已知，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期10月第一次适应性检测
【答案】C
【解析】由题意，，所以函数均为单调递减函数．
而函数在上均为增函数．
对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由，，，
所以，，故C正确；
对于D，取，可得，故D错误．故选C．
32．若函数存在垂直于轴的切线，又，且有，则的最小值为
A．1 B．
C． D．
【试题来源】四川省遂宁市2021届高三零诊考试（理）
【答案】D
【解析】由题意，函数的定义域为，且，
因为函数存在垂直于轴的切线，所以存在，使得成立，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，
则．故选D．
33．已知二次不等式的解集为，则的最小值为．
A． B．
C． D．
【试题来源】中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2021届高三诊断性测试 （文）（一）
【答案】C
【解析】因为二次不等式的解集为，
所以，即，，
所以，当且时，等号成立，
所以，
所以当时，最小，最小值为，故选C．
34．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满程度降低，设住第层楼时，环境不满意程度为，则此人应选
A．1楼 B．2楼
C．3楼 D．4楼
【试题来源】贵阳市2021届高三调研考试
【答案】C
【解析】由题意，可得总的不满意度为，
当且仅当，即时等号成立，所以选三楼．故选C．
35．如图，某市一个圆形公园的中心为喷泉广场，为入口，为公园内紧贴围墙修建的一个凉亭，为公园内紧贴围墙修建的公厕，已知，，，计划在公园内处紧贴围墙再修建一座凉亭，若要使得四条直线小路，，和的总长度最大，则的长度应为（凉亭和公厕的大小忽略不计）

A． B．
C． D．
【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III理数试题
【答案】B
【分析】连接，由余弦定理，在中，求出；在中，求出和的关系，利用基本不等式求出的最值即可．
【解析】连接，则由余弦定理可得
，所以．因为四边形是该圆的内接四边形，所以．
在中，，
即，所以，
所以，所以，
当且仅当时等号成立，此时取得最大值，故选B．
36．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是
A．4 B．9
C．8 D．13
【试题来源】河南省部分重点高中2020-2021学年高三阶段性考试（四）（理）
【答案】B
【解析】因为点是线段上任意一点（不包含端点），所以，
则，
因为，所以，，所以．因为，
所以，，则，当且仅当，时，等号成立．故选B．
【名师点睛】注意当A，B，C三点共线时，若，则必有成立．
37．已知实数，满足，则的最小值为
A． B．4
C． D．6
【试题来源】【南昌新东方】江西师大附中2020年-2021学年高三上学期11月期中数学（理）
【答案】D
【解析】由已知得，，即，
给两边同除以，得，
整理得，，当时，右边=0左边=4，所以，同理，
则，所以，因为，所以，同理，
所以，
当且仅当时取等号．故选D．
38．在内角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年度上学期高三二调考试（理）
【答案】D
【解析】在内角，，的对边分别是，，，
若，
整理得，
利用正弦定理：，由于，整理得，
所以解得．因为，所以，
整理可得，（当且仅当时等号成立），
所以．
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．则的面积的最大值为．故选D．
39．已知正数x，y满足，则的最小值为
A．4 B．5
C．6 D．8
【试题来源】河南省九师联盟2020-2021学年高三第一学期11月质量检测（理）
【答案】B
【解析】由题意，得，．
法一：，
当且仅当，即，时，的最小值为5．
法二：由，得，
则，
当且仅当，即，时，的最小值为5．故选B．
40．已知，，若，使得，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省眉山市仁寿一中南校区2020-2021学年高三上学期第二次调考（理）
【答案】D
【解析】
，
取等号时且，即，，
，若，则为增函数，当时，，
，使得，，解得，
故实数a的取值范围为，故选D．
【名师点睛】一般地，已知函数，，则有：
若，，有，则的值域是值域的子集．
41．已知，，直线：，：，且，则的最小值为
A．2 B．4
C． D．
【试题来源】江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】D
【解析】因为，所以，即，
因为，所以，
所以
，当且仅当时，等号成立．故选D ．
42．l是经过双曲线焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使，则双曲线离心率的最大值为
A． B．
C．2 D．3
【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（三）
【答案】A
【解析】设点(不妨设)，则有
，
所以有解．即有解，又，所以．
故．故选A．
43．已知，，且，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试（理）
【答案】B
【解析】由可得出，再由，可得出，
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为．故选B．
44．四面体中，，且异面直线与所成的角为．若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】A
【分析】构建直三棱柱，利用正弦定理得到的外接圆半径，从而得到AE，再利用等体积法将转化为，结合基本不等式及余弦定理得到面积的最大值即可得到答案．
【解析】构建直三棱柱，设分别为的外心，连接，
取其中点，则为直三棱柱的外接球的球心，也为四面体的外接球的球心，因为异面直线与所成的角为，所以．

设三棱柱底面的外接圆半径为，则，，再由余弦定理，，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
故四面体的体积的最大值为．故选A．
45．设，则取得最小值时，的值为
A． B．2
C．4 D．
【试题来源】河南省南阳市2020-2021学年高三期中质量评估 （理）
【答案】A
【解析】


，
当且仅当，即，，时，等号成立．故选A．
二、多选题
1．下列函数中，最小值是4的函数有
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】ACD
【解析】对A，，可得 ，当时取等，故A正确，
对B，，，故B错误，
对C，， ，
当取等，故C正确，
对D，，，当时取等，故D正确．故选ACD．
2．设正实数，满足，则
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市区）一中2021届高三上学期期中联考
【答案】BD
【解析】因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号．A：因为，所以本选项不正确；
B：设，函数在时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为，因此有，即，所以本选项正确；
C：因为正实数，满足，
所以，当且仅当时，取等号，即时，取等号，所以本选项不正确；
D：因为正实数，满足，所以，因此本选项正确．故选BD．
3．已知，，则下列关系中正确的是
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
【试题来源】湖南省永州市2020-2021学年高三上学期第一次模拟
【答案】CD
【解析】选项A中，，，，不能满足同号，即根式可能无意义，错误；选项B中，，，，即，当且仅当时等号成立，故错误；
选项C中，构造函数，根据幂函数性质知在上是增函数，由知，正确；
选项D中，，，则，当且仅当时等号成立，故正确．故选CD．
4．已知，，且，则下列不等式中一定成立的是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省连云港市2020-2021学年高三上学期期中调研适应性考试
【答案】ACD
【解析】对于选项A：，所以，当且仅当时等号成立，故选项A正确；对于选项B：，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故选项B不正确；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：因为，所以，，当且仅当时等号成立，故选项D正确；故选ACD．
5．设，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，
当且仅当，即时取等号，所以A正确；
对于B，令，则，，
此时，所以B错误；对于C，因为，，
所以
，所以，所以C正确；
对于D，，
当且仅当时取等号，所以 ，所以D正确；故选ACD．
6．已知，，则下列关系中正确的是
A． B．
C．若，则的最小值为 D．若，则
【试题来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺（7）
【答案】ACD
【解析】因为，，所以，所以，所以，故A正确；
因为和不一定是正实数，故不可用基本不等式，从而不一定正确，故B错误；若，则，故C正确；
因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D正确．故选ACD．
【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
7．已知，，且，则下列结论正确的是
A． B．的最小值为16
C．的最小值为9 D．的最小值为2
【试题来源】2021届全国著名重点中学新高考冲刺（3）
【答案】ABD
【解析】A选项，由已知得，因为，所以．解得或，又，所以，故A正确．
B选项，由已知得．故(当且仅当，时等号成立)．所以，得，故B正确．
C选项，
，当且仅当，时等号成立，故C不正确．
D选项，由已知得，因为，所以，即，又，所以．又，所以，所以(当且仅当时等号成立)，故D正确．
8．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【试题来源】江苏省淮安市五校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】ABD
【解析】因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，
当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，
当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确．故选ABD．
9．设正实数，满足，则
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
【试题来源】江苏省淮安市高中校协作体2020-2021学年高三上学期期中
【答案】ACD
【解析】A．，取等号时，故正确；B．，取等号时，所以有最大值，故错误；
C．，所以，取等号时，故正确；D．，取等号时，故正确，故选ACD．
10．若，，则下列选项正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】常州市华罗庚中学2020-2021学年高三上学期10月一轮复习阶段性检测
【答案】ABCD
【解析】由题意，，
，A正确；，B正确，
，C正确，因为，所以中等号取不到，
即，D正确．故选ABCD．
【名师点睛】本题考查对数的概念，利用对数的性质、运算法则判断A，B后，再利用基本不等式判断C，D．解题时要注意基本不等式只有在求最值时，才需要条件“相等”，保证最值能取到，如果最值取不到，不等关系“”仍然成立．
11．已知，则下列结论正确的是
A．有最大值2 B．有最小值2
C．有最大值为4 D．有最小值为4
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】BD
【分析】由题意可得，，且，然后由重要不等式可得答案．
【解析】由题，，且，
由，则，所以，
故，当且仅当，即时，取等号．选项B正确；
又，故选项D正确，故选BD．
12．已知，，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省镇江市四校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】ABD
【解析】因为，，且，所以
所以，故A正确；
对于B：，所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：，当且仅当时取等号；故错误．对于D：已知，，且，所以，则，当且仅当时取等号；故D正确．故选ABD．
13．若，则下列不等式恒成立的有
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省惠州市2021届高三上学期第二次调研
【答案】ACD
【解析】对于A，由基本不等式得，则，故A正确；
对于B，令时，，故不成立，故B错误；
对于C，由A选项得，所以，故C正确；
对于D，根据基本不等式的“1”的用法得，故D正确；故选ACD．
14．设，，且，则下列结论正确的是
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．
【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】BCD
【解析】因为，，且，
A，当且仅当，即时，取等号，故错误；
B． ，当且仅当，即时，取等号，故正确；
C． ，
当且仅当，即时，取等号，故正确；
D． ，
，
，故正确；故选BCD．
【名师点睛】（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
15．已知，为正实数，且，则
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最大值为
【试题来源】2021届全国著名重点中学新高考冲刺（4）
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，令，则，，得，所以，当且仅当时等号成立，此时满足，即，故选项A正确；
对于B，由，得．令，则，可得，解得(舍去)或，即，当且仅当时等号成立，故选项B正确；
对于C，，即．，当且仅当，时等号成立，选项C不正确；
对于D，，当且仅当，时等号成立，选项D正确．故选ABD．
三、填空题
1．函数的最小值为_________．
【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期中练习
【答案】
【解析】，，，
当时，等号成立．所以函数的最小值为．故答案为．
2．已知正数满足，则的最小值为_________．
【试题来源】陕西省渭南市大荔中学2020-2021学年高三上学期第二次质量检测（文）
【答案】25
【解析】正数满足，
，
当且仅当，即时等号成立，的最小值为25．故答案为25．
3．已知，且，求的最小值为_________．
【试题来源】广东省佛山一中、珠海一中、金山中学三校2021届高三上学期11月联考
【答案】
【解析】，且，
（当且仅当，即时取等号），．故答案为．
【名师点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式．
4．在三角形中，，，，在边，上分别取点，满足线段将三角形分为面积相等的两个部分，则这样的的长度的最小值为_________．
【试题来源】江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试（理）
【答案】
【解析】因为三角形为直角三角形，过作于，设
则 即，
，
，
，
的最小值是12， 的最小值是．故答案为．
5．设等比数列的前项和为，若，，则的取值范围为_________．
【试题来源】浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
则，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，所以．故答案为．
6．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为_________．
【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】由题意因为，所以，
，当且仅当，即时等号成立，故答案为．
7．已知x>0，y>0，且x+3y=xy，若t2﹣t≤x+3y恒成立，则实数t的取值范围是_________．
【试题来源】江苏省淮安市高中校协作体2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，因为恒成立，
即，解得．所以实数t的取值范围是．故答案为．
8．已知正实数满足，则的最小值为_________．
【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考
【答案】
【解析】因为，则，
所以
，
当且仅当，即取等号．故答案为18
9．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为_________．
【试题来源】福建省平和县第一中学2021届高三上学期期中考试
【答案】8
【解析】因为，且点F在线段BC上，
则，且，
则，当且仅当时等号成立．
故答案为8．
10．若点在直线上，且，．则的取值范围为_________．
【试题来源】山东省德州市2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】
【解析】因为点在直线上，所以．
因为，，
所以．
当且仅当，即，时取等号．
故的取值范围为．故答案为．
11．已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_________．
【试题来源】备战2021年高考数学（文）一轮复习易错题
【答案】
【解析】因为A、B、P是直线上三个相异的点，，即，
所以，，
当且仅当，即，时取等号，故答案为．
12．定义，若，则的最小值_________．
【试题来源】浙江省杭州高级中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】
【解析】令，则 在为增函数，
在在为减函数， 从而，
当且仅当时取等号．故答案为．
13．已知首项与公比相等且不为1的等比数列中，若，满足，则的最小值为_________．
【试题来源】天津市经济技术开发区第一中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】将写成等比数列基本量和的形式，结合可得，从而利用，展开后使用基本不等式即得结果．
【解析】设等比数列公比为，则首项，
由得，则： ．


则（当且仅当，即时取等号），即，．故答案为．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的动点，且，设，则的最大值是_________．

【试题来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【分析】设，建立直角坐标系，求得的坐标，根据题设用表示出，再利用函数的性质，即可求解．
【解析】建立如图所示的直角坐标系，其边长为2，，
则，所以，
由，得，解得其中，
所以，
令，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为．故答案为．

15．若正实数满足，则的最小值为_________．
【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】
【分析】根据，利用一元二次方程的解法结合，得到，进而得到，利用基本不等式求解．
【解析】因为正实数满足，所以，
解得，
因为，所以，
所以，当且仅当，取等号，
所以的最小值为，故答案为．
四、双空题
1．已知均为正实数，且，则的最小值为_________，此时的值为_________．
【试题来源】天津市八校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】8
【解析】因为均为正实数，且，所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，故答案为8；
2．已知二次函数(，，均为正数)过点，值域为，则的最大值为_________；实数满足，则取值范围为_________．
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】因为二次函数(，，均为正数)过点，
，开口向上且值域为，，
，，，，
，即，当且仅当时等号成立．
即，当且仅当时等号成立，
的最大值为 (当且仅当时最大)，
，
，
，即，，
，，
，当且仅当时，即时，等号成立．
又时，，，故答案为；．
3．已知中，，则的取值范围是_________，若，则的最小值是_________．
【试题来源】浙江省温州中学2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】
【解析】第一空：；
第二空：若，则，当时取等号．故答案为；．
4．已知，则的最小值为_________，此时x的值为_________．
【试题来源】北京市第七中学2021届高三上学期期中考试
【答案】
【分析】先将变形为，再根据基本不等式求解即可．
【解析】因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立．故答案为；．
5．如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为_________，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为_________．

【试题来源】陕西省榆林市2020届高三下学期第四次高考模拟（文）
【答案】8π
【解析】（1）由题知，表面积增加的部分为新“长方体”的左右两个侧面，设原圆柱的底面半径为，高为，则可得，所以圆柱的侧面积为；
（2）设圆柱的外接球的半径为，依题得，所以外接球的表面积，
当且仅当时，最小，此时，外接球的体积．
故答案为（1）8π；（2）．
6．已知递增等差数列{an}，其前n项和为Sn，，则当公差d的值为_________时，S13的最小值为_________．
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】1 13
【分析】由，得，化简可得，从而可得，然后利用基本不等式可得答案
【解析】设等差数列{an}的公差为（），
因为，所以，
所以 ，化简得，
所以，所以
，当且仅当，即时取等号，所以当公差时，有最小值13，故答案为1，13．
7．已知正实数满足，则当_________时，取得最小值是_________．
【试题来源】湖北省鄂西北五校（宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中）2020-2021学年高三上学期期中
【答案】 9
【解析】因为，所以，解得，当且仅当，即时，取等号，所以
，
所以的最小值是9，故答案为，9．
8．已知，则的最小值为_________，此时x的值为_________．
【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测
【答案】
【解析】由，可得，
则，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为，此时．故答案为，．
9．已知，，则的最小值是_________，最小值是_________．
【试题来源】浙江省“数海漫游”2020-2021学年高三上学期8月线上模拟考试
【答案】 0
【解析】已知，，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是．
因为，且，，
所以当时，有最小值0．故答案为；0．
10．已知函数在R上单调递增，且，则的最小值为_________，的最小值为_________．
【试题来源】江苏省苏州市新草桥中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【解析】因为在R上单调递增，则，
所以，所以，因为，所以，则，
所以，
因为，取等号时，
且函数在上递增，所以，
所以的最小值为，取等号时；
因为，因为对勾函数在上单调递减，
所以，所以的最小值为，取等号时，
故答案为；．